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Chapitre 1

Rappels sur les fonctions - Fonctions de références

Table des matières

1 Généralités sur les fonctions

3

1.1 Notion de fonction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Variations d"une fonction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Fonctions de référence5

2.1 Fonctions "puissances entières"

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Fonction Carré

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Fonction cube et fonctions "puissancen". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Fonctions polynômes et fonctions rationnelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Fonctions racinesn-ieme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Fonction exponentielle et logarithme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Fonctions trigonométriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.1 Fonctions Sinus et Cosinus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.2 Fonction Tangente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Fonction Valeur Absolue

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7 Fonction Partie Entière

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Continuité et dérivabilité9

3.1 Continuité, théorème de la bijection

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Fonction continue sur un intervalle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.2 Bijection entre deux intervalles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.3 Théorème de la bijection

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.3.1 Image d"un intervalle par une fonction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.3.2 Théorème de la bijection

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Dérivation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Dérivabilité d"une fonction en un point.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.2 Dérivabilité sur un intervalle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.3 Opérations sur les fonctions dérivables

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.3.1 Opérations algébriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.3.2 Dérivée d"une composée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Compléments15

4.1 Composée de deux fonctions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.1 Définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.2 Monotonie d"une composée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Parité et périodicité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Preuves et corrections18

2 Rappels sur les fonctions - Fonctions de références

ECS1 - Mathématiques

Rappels sur les fonctions - Fonctions de références 3

1 Généralités sur les fonctions

1.1 Notion de fonctionDéfinition 1. (Fonction d"une variable réelle)

On dit quefest une fonction numérique d"une variable réelle s"il existe une partieDf(appelé domaine de

définition def) deRtelle que à tout élémentxdeDf,fassocie un unique réel, notéf(x), appelé image dex

parf.

On note :

f:Df→R(Se lit "f, qui va deDfdansR")

f:x?→f(x)(Se lit "f, qui àxassocief(x).")Attention !Ne pas confondrefetf(x):fest une fonction alors quef(x)est un nombre.Exemple 1.

La fonction carré va dedans.

Le domaine de définition de la fonction inverse est.

Remarque.On peut définir une fonction sans préciser son domaine de définition. Celà sous-entend que ce

domaine est le plus grand possibleExemple 2.Soitfla fonction définie parf(x) =?2x2-5x-6. DéterminerDf.Remarque.On peut aussi restreindre artificiellement le domaine d"une fonction.Exemple 3.Soitgla fonction définie surR+parg(x) =x2. Dresser le tableau de variations deg.Définition 2. (Antécédent(s) d"un réel)

Soitbun réel etfune fonction.

On appelle antécédent debparfDéfinition 3. (Courbe d"une fonction)

Soitfune fonction. Dans un repère, on appelle courbe def(ou graphe def) l"ensemble des points de coordonnées

(x,f(x))avecx?Df. Si on noteCfcette courbe, on a donc : C f=ECS1 - Mathématiques

4 Rappels sur les fonctions - Fonctions de références

1.2 Variations d"une fonction

Définition 4. (Monotonie d"une fonction sur un intervalle)

Soitfune fonction définie sur un intervalleI.

On dit que :

fest décroissante surIlorsque :fest strictement décroissante surIlorsque :fest croissante surIlorsque :fest strictement croissante surIlorsque :Exemple 4.On notefla fonction dont la courbeCest donnée ci-dessous :Donner un (ou plusieurs) intervalle(s) sur lesquels :

1.fest strictement croissante.

2.fest strictement décroissante.

3.fest croissante mais pas strictement croissante.

4.fn"est ni croissante ni décroissante.

5.fest croissante et décroissante.Remarque.

Les quatre définitions ci-dessus utilisent desimplications. Leur réciproque sont fausses sifest seulement

croissante ou décroissante :

Par contre en cas de stricte monotonie, la réciproque est vraie. C"est l"objet de la proposition suivante.ECS1 - Mathématiques

Rappels sur les fonctions - Fonctions de références 5

Proposition 1. (Comparaison des antécédents dans le cas d"une fonction strictement monotone)(admis)

Soitfune fonction définie sur un intervalleIet soientx1,x2?I. Si ?feststrictementcroissante surI et f(x1)< f(x2)alorsSi ?feststrictementdécroissante surI et f(x1)< f(x2)alors2 Fonctions de référence

2.1 Fonctions "puissances entières"

2.1.1 Fonction Carré

Cette fonction doit vous être familière et nous ne revenons pas dessus ni sur les identités remarquables.

Il faut bien faire attention à l"utilisation d"un carré dans des égalités ou des inégalités :Proposition 2. (Carré et égalité/Inégalités)(admis)

Siaetbsont deux réels quelconques :

Sia=b, alorsa2=b2.

Sia2=b2, alors.

2.1.2 Fonction cube et fonctions "puissancen"

Voir les cartes d"identités des fonctions. On retiendra les inégalités suivantes :Proposition 3. (Classement des puissances dex)(admis)

Soitx?Retn,mdeux entiers tels quen < m. On a :

Six?]0,1[,0< xm< xn<1.

Six >1,1< xn< xm.Exemple 5.Soitx?R+. Classerx,x2,x3etx4selon la valeur dex.ECS1 - Mathématiques

6 Rappels sur les fonctions - Fonctions de références

2.2 Fonctions polynômes et fonctions rationnelles

Définition 5. (Polynôme de degrén≥0) Soitnun entier naturel eta0,a1,...,andes réelsavecan?= 0.

La fonctionfdéfinie surRpar :

f(x) =anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0=n? k=0a kxk est unpolynôme de degrénExemple 6.

x?→4x3+ 2x2-x+ 1est un polynôme de degréx?→x10-1est un polynôme de degréx?→2x+ 5est un polynôme de degréx?→2est un polynôme de degréDéfinition 6. (Fonction rationnelle)

On appellefonction rationnelletoute fonction qui peut s"écrire comme quotient de deux polynômes.Exemple 7.Les fonctions ci-dessous sont des fonctions rationnelles.

x?→2x+ 53x-1. x?→14x2-x+ 1. x?→3x5+ 3x2-14x6-x4+x.Proposition 4. (Limite d"un polynôme en±∞.)(admis) La limite en+∞ou en-∞d"un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.

Autrement dit :

Soitn?Neta0,a1,...,an, des réelsavecan?= 0.

lim x→+∞anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0= limx→+∞anxn lim x→-∞anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0= limx→-∞anxnECS1 - Mathématiques Rappels sur les fonctions - Fonctions de références 7

Exemple 8.

1.limx→+∞3x5-2x4+ 3x3-x2+x-3 =.

2.limx→-∞4x-3x3=.

3.limx→+∞3x5-2x6=.

Proposition 5. (Limite d"une fonction rationnelle en±∞.)(admis)

La limite en+∞ou en-∞d"une fonction rationnelle est celle du quotient des termes de plus haut degré.

Autrement dit :

Soitn?Neta0,a1,...,an, des réelsavecan?= 0.

etm?Netb0,b1,...,bm, des réelsavecbm?= 0 lim x→+∞a nxn+an-1xn-1+···+a1x+a0b mxm+bm-1xm-1+···+b1x+b0= limx→+∞a nxnb mxm lim x→-∞a nxn+an-1xn-1+···+a1x+a0b mxm+bm-1xm-1+···+b1x+b0= limx→-∞a nxnb mxmRemarque.On obtient ensuite la limite en simplifiant la fractionanxnb mxmobtenue.Exemple 9.

1.limx→+∞2x+ 53x-1=.

2.limx→-∞14x2-x+ 1=.

3.limx→+∞3x5+ 3x2-14x6-x4+x=.

4.limx→-∞3x9+ 3x2-14x6-x4+x=.

2.3 Fonctions racinesn-ieme

Voir les cartes d"identités des fonctions.Exemple 10.Soitx?R+. Classer les valeurs⎷x,3⎷x,xetx2selon les valeurs dex2.4 Fonction exponentielle et logarithme

Pour un rappel sur ces fonctions de référence, voir les cartes d"identités de fonctions.ECS1 - Mathématiques

8 Rappels sur les fonctions - Fonctions de références

2.5 Fonctions trigonométriques

2.5.1 Fonctions Sinus et Cosinus

Pour un rappel sur les fonction sin et cos, voir les cartes d"identités de fonctions.

2.5.2 Fonction TangenteDéfinition 7. (Fonction tangente)

On appelle fonction tangente la fonctiontandéfinie par : tanx=sinxcosx.Proposition 6. (Domaine de définition)(admis)

La fonctiontanest définie sur.

Proposition 7. (Parité et périodicité)(admis)

La fonctiontanest.

Proposition 8. (Dérivée)(admis)

La fonctiontanest dérivable sur son domaine de définition et on a, pour toutx? Dtan: tan ?(x) =.

On pourra aller voir les cartes d"identités des fonctions de référence pour la courbe, les limites et les valeurs

particulières de la fonctiontan(qui sont à connaître par coeur).

2.6 Fonction Valeur Absolue

Voir les cartes d"identités des fonctions.

2.7 Fonction Partie Entière

Voir les cartes d"identités des fonctions.ECS1 - Mathématiques Rappels sur les fonctions - Fonctions de références 9

3 Continuité et dérivabilité

3.1 Continuité, théorème de la bijection

3.1.1 Fonction continue sur un intervalle

Nous donnerons dans le chapitre dédié aux limites et à la continuité la définition précise de la continuité d"une

fonction en un point et sur un intervalle. Pour l"instant, nous nous contenterons de l"approche intuitive de la

continuité utilisée en terminale :Une fonction est continue sur un intervalle si elle est définie sur tout cet intervalle

et si sa courbe est en un seul morceau sur cet intervalle. Parmi les fonctions de référence, la seule qui n"est pas continue est la fonction.

On peut aussi définir des fonctions par morceaux. Il se peut alors que la fonction obtenue ne soit pas continue.Exemple 11.

Soitfla fonction définie sur[0,2]par :

f(x) =?1-xsix?[0,1]

2-xsix?]1,2].

Tracer ci-dessous la courbe defet dire si elle a l"air d"être continue :Même question avec la fonction définie sur[0,2]par :

10 Rappels sur les fonctions - Fonctions de références

3.1.2 Bijection entre deux intervalles

Définition 8. (Bijection)

Soientfune fonction etIetJdeux intervalles. On dit quefest une bijection deIsurJou encore quef réalise une bijection deIsurJsi : fest définie surI.

Pour toutx?I,f(x)?J.

Tout élément deJpossèdeun et un seulantécédent parfdansI.Exemple 12.Dans les exemples ci-dessous, déterminer si la fonctionfréalise une bijection deIsurJ:ECS1 - Mathématiques

Rappels sur les fonctions - Fonctions de références 11

3.1.3 Théorème de la bijection

3.1.3.1

Image d"un intervalle pa rune fonction Définition 9. (Image d"un intervalle par une fonction)

Soitfune fonction définie sur intervalleI.

On appelle image deIparfl"ensemble des images des éléments deIparf. On note cet ensemblef(I). f(I) =? f(x)|x?I?

.Attention !f(I)n"est donc pas un nombre : c"est un ensemble de nombres. C"est l"ensemble des images des

éléments deI.Exemple 13.Dans les exemples ci-dessous : Déterminer l"image deIparf:Proposition 9. (Image d"une intervalle par une fonction continue.)(admis)ECS1 - Mathématiques

12 Rappels sur les fonctions - Fonctions de références

3.1.3.2

Théo rèmede la bijection

Proposition 10. (Théorème de la bijection)(admis) Soitfune fonction définie sur intervalleI.Remarque.

Les bornes de l"intervalleJsont alors les images des bornes deIparfou les limites defen ces bornes.Exemple 14.

Montrer que l"équation-x3-2x+ 1 = 0admet une unique solutionx0surRet quex0?]0,1[Exemple 15.Pour tout entiern≥2, on définit la fonctionfnparfn(x) =xn-x-6.

1. Résoudre sur Rles équationsf2(x) = 0etf3(x) = 0. 2.

Montrer que, p ourtout entier n≥2, l"équationfn(x) = 0admet une unique solutionunsur[1,+∞[

3.

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé les courb esde fnpournallant de2à5. Conjecturez le sens

de variation de la suite(un).4.Démontrer que, p ourtout n≥2,fn+1(un)>0. En déduire que(un)est décroissante.

5.

En déduire que (un)converge vers une limite?.

6.

On supp osedans cette question que ? >1.

(a) En rema rquantque unn=enln(un), donner la limite de(unn). (b)

En déduire une contr adiction.

(c) En déduire la valeur de ?.ECS1 - Mathématiques Rappels sur les fonctions - Fonctions de références 13

3.2 Dérivation

3.2.1 Dérivabilité d"une fonction en un point.Définition 10. (Dérivabilité en un point)

Soitfune fonction définie sur un intervalleIet soita?I.

On dit quefest dérivable enalorsque le rapportf(x)-f(a)x-a, défini pourx?=aet appelétaux d"accroisse-

ment defentrexeta, admet une limite finie quandxtend versa. Ou de manière équivalente, lorsque le rapport f(a+h)-f(a)h , admet une limite finie quandhtend vers0. Cette limite est alors appeléenombre dérivé defena, notéf?(a).

Sous réserve d"existence, on a donc :

f ?(a) =Exemple 16.

Soitf:x?→⎷xet soita?R+. Étudions la dérivabilité defenaselon les valeurs dea.Remarque.

Sifest dérivable ena, la courbe defadmet une tangente au pointM(a,f(a))de coefficient directeur f

?(a). Cette tangente a alors pour équation :Si la limite du taux d"accroissement enaest±∞, la courbe defpossède alors une tangente verticale au

pointM(a,f(a)).Proposition 11. (Dérivable implique continue)(admis)Attention ! La réciproque est fausse.Par exemple,f:x?→ |x|est continue en0mais pas dérivable en0.

3.2.2 Dérivabilité sur un intervalleDéfinition 11. (Dérivabilité sur un intervalle)

On dit quefest dérivable sur un intervalleIsifest dérivable en tout point deI.Exemple 17. La fonctionf:x?→ |x|est dérivable surECS1 - Mathématiques

14 Rappels sur les fonctions - Fonctions de références

Proposition 12. (Dérivabilité des fonctions de référence)(admis) Toutes les fonctions de référence sont dérivables sur leur domaine de définition sauf : La fonction racine carré, non dérivable en0.

La fonction valeur absolue, non dérivable en0.

La fonction partie entière, non dérivable (car non continue) en touta?Z.

3.2.3 Opérations sur les fonctions dérivables

3.2.3.1

Op érationsal gébriquesProposition 13. (Opérations algébriques sur les fonctions dérivables.)(Voir la preuve)

Soituetvdeux fonctions dérivables sur un intervalleI. Pour tout réelλ,λuest dérivable et :(λu)?=. u+vest dérivable et(u+v)?=. uvest dérivable et(uv)?=. sivne s"annule pas surI, alors1v est dérivable et?1v sivne s"annule pas surIalors alorsuv est dérivable et?uv

3.2.3.2

Dérivée d"une comp oséeProposition 14. (Dérivée d"une composée)(Voir la preuve) Soitudérivable surIetfdérivable suru(I). La fonctionf◦uest dérivable surIet on a : f(u)? ?=En particulier, on a : (eu)?=. (lnu)?=. ?⎷u (cosu)?=. (sinu)?=. (tanu)?= On retrouvera toutes ces formules dans le formulaire de dérivation.ECS1 - Mathématiques Rappels sur les fonctions - Fonctions de références 15

4 Compléments

4.1 Composée de deux fonctions

4.1.1 DéfinitionDéfinition 12. (Composée de deux fonctions)

Soientfetgdeux fonctions respectivement définies surDetD?telles que?x?D,f(x)?D?.

On définit alors la fonctiong◦fsurDpar :

?x?D,g◦f(x) =Exemple 18.On considère la fonctionh:x?→?3x2+ 1. On peut décomposerhcomme la succession de deux fonctions :Donc, si on posef:etg:, on a : ?x?R,h(x) =Remarque :ici,f◦g(x) =Exercice de cours 1.

Donner l"expression def◦getg◦fdans les cas suivants, après avoir préciser leur domaine de définition.

1.f:x?→x2etg:x?→2x-1.

2.f:x?→x2etg:x?→sinx.3.f:x?→lnxetg:x?→1-⎷x.4.1.2 Monotonie d"une composée

Dans cette partie, on considère deux fonctionsfetgrespectivement définies sur des intervallesIetJet telles

queg◦fexiste et est définie surI.Proposition 15. (Critère de monotonie d"une composée)(admis)

Sifest monotone surIetgmonotone surJ, alorsg◦fest monotone surI.

Plus précisément :

Sifetgont même monotonie, alorsg◦fest croissante.

Sifetgn"ont pas même monotonie, alorsg◦fest décroissante.Exemple 19.On considère les fonctionsf:x?→⎷x+ 1etg:x?→1x

fest croissante surR+et à valeur dans[1,+∞[etgest définie et décroissante sur[1,+∞[doncg◦f

est définie surR+et commefetgn"ont pas même monotonie,g◦fest décroissante surR+ECS1 - Mathématiques

16 Rappels sur les fonctions - Fonctions de références

4.2 Parité et périodicité

Définition 13. (Fonctions paires et impaires)

Soitfune fonction.

On dit quefestpairesi :

On dit quefestimpairesi :

Exemple 20.

Les fonctionsx?→x2;x?→x4;x?→x6, etc. sont paires. Les fonctionsx?→x;x?→x3;x?→x5, etc. sont impaires.

La fonctioncosest paire et la fonctionsinest impaire.Remarque.L"exemple ci-dessus donne un indice quant à l"origine des mots "paire" et "impaire"Remarque.Une fonction peut n"être ni paire ni impaire (par exemple :f:x?→2x+ 3)Proposition 16. (Fonction paire et impaire.)(Voir la preuve)Proposition 17. (Symétries des courbes des fonctions paires et impaires.)(Voir la preuve)

Soitfune fonction.

fest paire si et seulement si sa courbe estfest impaire si et seulement si sa courbe estExercice de cours 2.

1. Étudier la pa ritéde la fonction f:x?→x1 +x2. 2. Démontrer que la fonction g:x?→ln?1-x1 +x? est impaire après avoir déterminé son domaine de définition.ECS1 - Mathématiques Rappels sur les fonctions - Fonctions de références 17

Définition 14. (Fonction T-périodique)

Soitf:x?→f(x)etT?R?+.

fest diteT-périodique si :Exercice de cours 3. Démontrer que la fonctionf:x?→cos(5x)est2π5 -périodique.Définition 15. (Fonction périodique)

Une fonctionfest dite périodique si il existe un réelT >0tel quefestT-périodique.Remarque.La courbe d"une fonctionT-périodique dans un repère(0,-→i ,-→j)est invariante par translation de

vecteurT-→i.Remarque.Une fonctionT-périodique est aussi2T-périodique,3T-périodique, etc.ECS1 - Mathématiques

18 Rappels sur les fonctions - Fonctions de références

5 Preuves et corrections

Preuve de la proposition

16 Il est clair que la fonction nulle est paire et impaire. Soit maintenantfune fonction paire et impaire sur un domaineDcentrée en0.

Pour toutxdeD, on a :f(-x) =f(x)etf(-x) =-f(x).

Doncf(x) =-f(x). Ce qui équivaut àf(x) = 0.

(retour à la proposition 16)Preuve de la proposition17 On démontre uniquement le premier point car la démonstration de l"autre est similaire. Supposons quefest paire. SoitM(x;y)un point deCf. On a doncy=f(x). Orf(x) =f(-x)d"où

y=f(-x), donc le pointM?(-x;y)appartient àCf. OrM?est le symétrique deMpar rapport à l"axe des

ordonnées. Supposons maintenant queCfest symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

Soitx? D.

M(x;f(x))?Cfdonc, par symétrie,M?(-x,f(x))?Cf, d"oùf(-x) =f(x). (retour à la proposition 17)ECS1 - Mathématiquesquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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