Chapitre 6 : Fonctions homographiques PDF

Chapitre 6 : Fonctions homographiques

On appelle fonction homographique toute fonction du type f x Exemples de fonctions homographiques. §. (fonction affine).

Fonctions homographiques

7 janv. 2014 On dit que l'hyperbole a pour asymptotes les axes du repère. II FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES. 1 – DÉFINITION. On appelle fonction homographique ...

1.7 Les fonctions homographiques

Nous admettrons que le sens de variation de la fonction homographique dépend du signe de la différence : D = ad ? bc. Théorème.

LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Toutes les fonctions homographiques sont définies sur l'ensemble des nombres réels privé d'une valeur. Pour cette valeur la fonction homographique n'a pas

Exercices sur les fonctions homographiques EXERCICE 1 Soit f la

Exercices sur les fonctions homographiques. 2014-2015. EXERCICE 1 Soit f la fonction définie sur R{?2} par f(x) = 3x + 2 x + 2 . 1. Déterminer l'image de.

Chapitre 13 Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonctions homographiques. Sommaire. 13.1Activités . Toute fonction homographique peut s'écrire sous la forme f (x) = ? x?? +?. On l'admettra.

FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES

On appelle fonction homographique toute fonction f définie sur R ? {? Exemple de fonctions homographiques : fonction ensemble de définition.

2nde : TD sur les fonctions homographiques

Montrer que ces fonctions sont des fonctions homographiques. 3. Tracer la courbe représentative de f et celle de g dans un même repère orthonormé.

Chapitre n°11 : Étude de fonctions polynômes et homographiques

propriété de symétrie de leur courbe. b) Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction homographique. Cours n°1.

Fonctions homographiques Inéquations rationnelles

Fonctions homographiques. Inéquations rationnelles. 1. Fonctions homographiques p2. 3. Signe d'un quotient p13. 2. Équations quotients.

CHAPITRE 6

Fonctions homographiques

1. Fonctions homographiques

Définition. On appelle fonction homographique toute fonction du type fx axb cxd H H où a, b, c et d sont des constantes réelles vérifiant : ab cd

Ö0 (6.1)

Remarques.

Ô=Si , alors a (sinon l'hypothèse (6.1) ne serait pas vérifée) et : cZ0 dÖ0 et Ö0 ()ab x dd +xfx=??o. f est donc une fonction affine non constante dans ce cas.

Ô=L'hypothèse (6.1) assure que f ne soit pas une fonction constante. En effet, soit par exemple

fx x x 2 48J
J 1 . Alors le déterminant des coefficients est 21
48
0 J J

Zet on a :

1 2 211
\constante 2212
x xfx x o.

Exemples de fonctions homographiques.

Ä= (fonction affine) fxx:~3J21abcdZZJZZ320,,,

Ä=gx

x x J H41 abcdZJZZZ104,,,1Ä=hx x 3 5 abcdZZZZ305,,,0

Ä=kx

x x 3 4 J H abcdZJZZZ131,,,4

Nous écarterons dans la suite

le cas qui correspond aux fonctions affines : ces fonctions ont

été étudiées au chapitre 4. La fonction homographique la plus simple (qui n'est pas affine) est :

cZ0 hx x 1 1 :~ avec abcdZZZZ101,,,0 La représentation graphique de est l'hyperbole d'équation h 1 y x Z 1

La figure suivante montre la courbe représentative de , tracée dans un repère orthonormé h

1 Oij,, ch C h 1

Définition. Une hyperbole est une courbe d'équation Définition. Une hyperbole est une courbe d'équation Y dans un repère

X Z 1 OIJ,, d bien choisi i du plan cartésien.

2. Etude des fonctions hx

a x a :~ avec aÖ0 Ô=Au paragraphe précédent, on a représenté la fonction hx x 1 1 :~. Remarquons que cette fonction est strictement décroissante sur o et strictement décroissante sur . o

Ô=La courbe représentative de hx

x J J 1 1 :~ s'obtient à partir de celle de par la symétrie orthogonale d'axe b. Voici la courbe représentative de : h 1 Oxgh J1 C h J1 6..22 Remarquons que la fonction est strictement croissante sur et strictement croissante sur .

Généralisons :

Remarquons que la fonction est strictement croissante sur et strictement croissante sur .

Généralisons :

h J1 h J1 o o o o

Proposition. Proposition.

Ô=Les courbes :

a h a y x =-` et : a h a y x =-` sont symétriques par rapport à bg. Ox Ô=Si alors est strictement décroissante sur et strictement décroissante suro. a[0h a o Ô=Si alors est strictement croissante sur o et strictement croissante sur . aY0h a o

Démonstration. Les deux points Mx

a x ,bg et Mx a x ',Jbg g , appartenant respectivement à ` et sont symétriques par rapport à b puisque leurs ordonnées sont opposées. Donc a h a h Ox: a h a x y` et a a x h y =-` sont symétriques par rapport à bg. Ox Etudions maintenant le sens de variation de , . Remarquons que h est impaire : il suffit donc de calculer le taux de variation de sur o. h a aÖ0 a h a J J Z J J Z J J ZJ H xxTxx hxhx xx xx axx xxxx a xx ha aa a x a x R chbg bgbg bg bg >0 Ô=Si alors ce taux de variation est strictement négatif sur o. Donc est strictement décroissante sur et par symétrie, strictement décroissante sur dans ce cas. a[0 o h a o Ô=Si alors ce taux de variation est strictement positif sur . Donc est strictement croissante sur o et par symétrie, strictement croissante sur dans ce cas. aY0 oh a o Voici quelques courbes représentatives de fonctions : h a C C C h h h 2 1 1 2 C C C h h h J J J 2 1 1 2 6..33

Remarquons que la courbe représentative de est bien une hyperbole suivant notre définition page 2.

En effet, on montre comme au chapitre précédent que C admet comme équation h a h a Y X Z 1 dans le repère Oiaj,, c . La petite démonstration de ce fait est laissée comme exercice au lecteur. h

3. Etude de quelques fonctions homographiques plus compliquées

a) Etude de la fonction fx x 2 1 3 J H Ô=Tout d'abord : s'agit-il bien d'une fonction homographique ? Oui, car : ()22313 \13 11 xx xfx xx o 1 1x- 1 La définition s'applique avec et on vérifie que le déterminant des coefficients n'est pas nul ! abcdZZJZZJ311,,,

Ô=Le domaine de f est évidemment {}\1o.

Ô=Pour représenter graphiquement f, on utilise la méthode du changement de repère, vue au

chapitre précédent :

õ=Equation de

f ` dans Oij,, ch : y x y x Z J

HøJZ

J 2 1 33
2 1

õ=Changement de repère :

6.4 x X Yy Xx Yy ZJ ZJ R S T 1 3

õ=Equation de

f ` dans Oij',, ch : Y X hXZZ 2 2 bg

Nouvelle origine : O',13bg

Nouveau repère : Oij',,

Donc :

f `dans Oij,,quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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CHAPITRE 6

Fonctions homographiques

1. Fonctions homographiques

Ö0 (6.1)

Remarques.

Zet on a :

Exemples de fonctions homographiques.

Ä=gx

Ä=kx

Nous écarterons dans la suite

2. Etude des fonctions hx

Ô=La courbe représentative de hx

Généralisons :

Généralisons :

Proposition. Proposition.

Ô=Les courbes :

Démonstration. Les deux points Mx

3. Etude de quelques fonctions homographiques plus compliquées

Ô=Le domaine de f est évidemment {}\1o.

õ=Equation de

HøJZ

õ=Changement de repère :

õ=Equation de

Nouvelle origine : O',13bg

Nouveau repère : Oij',,

Donc :