Chapitre 6 : Fonctions homographiques
On appelle fonction homographique toute fonction du type f x Exemples de fonctions homographiques. §. (fonction affine).
Fonctions homographiques
7 janv. 2014 On dit que l'hyperbole a pour asymptotes les axes du repère. II FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES. 1 – DÉFINITION. On appelle fonction homographique ...
1.7 Les fonctions homographiques
Nous admettrons que le sens de variation de la fonction homographique dépend du signe de la différence : D = ad ? bc. Théorème.
LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
Toutes les fonctions homographiques sont définies sur l'ensemble des nombres réels privé d'une valeur. Pour cette valeur la fonction homographique n'a pas
Exercices sur les fonctions homographiques EXERCICE 1 Soit f la
Exercices sur les fonctions homographiques. 2014-2015. EXERCICE 1 Soit f la fonction définie sur R{?2} par f(x) = 3x + 2 x + 2 . 1. Déterminer l'image de.
Chapitre 13 Fonction inverse Fonctions homographiques
Fonctions homographiques. Sommaire. 13.1Activités . Toute fonction homographique peut s'écrire sous la forme f (x) = ? x?? +?. On l'admettra.
FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
On appelle fonction homographique toute fonction f définie sur R ? {? Exemple de fonctions homographiques : fonction ensemble de définition.
2nde : TD sur les fonctions homographiques
Montrer que ces fonctions sont des fonctions homographiques. 3. Tracer la courbe représentative de f et celle de g dans un même repère orthonormé.
Chapitre n°11 : Étude de fonctions polynômes et homographiques
propriété de symétrie de leur courbe. b) Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction homographique. Cours n°1.
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Fonctions homographiques. Inéquations rationnelles. 1. Fonctions homographiques p2. 3. Signe d'un quotient p13. 2. Équations quotients.
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
IFONCTION INVERSE
1 -DÉFINITION
La fonction inverse est la fonction définie pour tout réelx?=0 parf(x) =1xENSEMBLE DE DÉFINITION
L'ensemble de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réels non nuls notéR?, c'est la réunion de
deux intervalles]-∞;0[?]0;+∞[2 -VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE
La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie.
TABLEAU DES VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE
x-∞0+∞ f(x) ❊DÉMONSTRATIONSoientaetbdeux réels non nuls tels quea Étudions le signe def(a)-f(b) =1
a-1b=b-aabsur chacun des intervalles]-∞;0[ou]0;+∞[ aSia0 etab>0 doncb-aab>0
soitf(a)-f(b)>0 Ainsi, pour tous réelsaetbstrictement négatifs, si aÉtudions le signe def(a)-f(b) =1
a-1b=b-aabsur chacun des intervalles]-∞;0[ou]0;+∞[ aSia0 etab>0 doncb-aab>03 -COURBE REPRÉSENTATIVE
La courbe représentative de la fonction inverse est l'hyperbole d'équationy=1x.REMARQUE:
Pour tout réelx?=0,f(-x) =-1
x=-f(x). Les pointsM(x;f(x))etM?(-x;f(-x))sont symétriques par rapport à l'origine du repère. L'hyperbole admet l'origine du repère comme centre de symétrie.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
011 M M ?x1 x -x 1 xREMARQUE:
- On peut rendref(x) =1 xaussi grand que l'on veut, pourvu quexsoit suffisamment proche de 0 et positif. - On peut rendref(x) =1 xaussi proche de 0 que l'on veut, pourvu quexsoit suffisamment grand.Graphiquement, l'hyperbole se rapproche de l'axe des abscisses lorsquextend vers+∞, et de l'axe des
ordonnées lorsquexse rapproche de 0. On dit que l'hyperbole a pour asymptotes les axes du repère.IIFONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
1 -DÉFINITION
On appelle fonction homographique toute fonctionfqui peut s'écrire sous la formef(x) =ax+bcx+doùa,b,
c?=0 etdsont des réels tels quead-bc?=0REMARQUE
La conditionad-bc?=0 traduit le fait queax+betcx+dne sont pas pas proportionnels.Sic?=0 etad-bc=0 alors le quotientax+b
cx+dest constant. En effet ax+b cx+d=cax+bcc(cx+d)=cax+adc(cx+d)=ac2 -ENSEMBLE DE DÉFINITION
Une fonction homographique est définie pour tout réelxtel que le dénominateurcx+dne s'annule pas.
La fonctionf:x?→ax+b
cx+dest définie sur? -∞;-dc? -dc;+∞;?EXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie parf(x) =2x+1 3-2x3-2x?=0 lorsquex?=3
2, donc l'ensemble de définition defestD=?
-∞;32? ??32;+∞;? que l'on note aussiR-?3 2?A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
3 -PROPRIÉTÉ
Toute fonction homographique peut se mettre sous la forme réduitex?→A+Bx-aavecB?=0. ❊PREUVE Soitfla fonction homographique définie parf(x) =ax+b cx+d(avecc?=0 etad-bc?=0) - Sia=0 alors pour tout réelx?=-d c, b cx+d=bc? x+dc? =b c x+dc - Sia?=0 alors pour tout réelx?=-d c, ax+b cx+d=ac×x+b a x+dc= a c×? x+d c? +?ba-dc? x+dc= a c+bc-ad c2 x+dcEXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie pour tout réelx?=-2 parf(x) =2x-113x+6Pour tout réelx?=-2,
2x-113x+6=23×x-11
2 x+2=23×(x+2)-15 2 x+2=23-23×152
x+2=23-5x+2Ainsi, pour tout réelx?=-2,f(x) =2
3-5x+2
4 -VARIATIONS
La forme réduitef:x?→A+Bx-aavecB?=0 d'une fonction homographique permet de déduire les variations
de la fonctionfà partir des variations de la fonction inverse. B<0 x-∞a+∞ f(x) B>0 x-∞a+∞ f(x)EXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie pour tout réelx?=-2 parf(x) =23-5x+2.
Étudions les variations de la fonctionfsur chacun des intervalles]-∞;-2[ou]-2;+∞[ a) Soientaetbdeux réels de l'intervalle]-∞;-2[tels queaA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
D'où
-5 a+2<-5b+2(on change le sens de l'inégalité en multipliant les deux membres par-5)Par conséquent,
23-5a+2<23-5b+2.
Ainsi, sia1b+2D'où
-5 a+2<-5b+2(on change le sens de l'inégalité en multipliant les deux membres par-5)Par conséquent,
23-5a+2<23-5b+2.
Ainsi, siaD'où le tableau des variations de la fonctionf x-∞-2+∞ f(x)5 -COURBE REPRÉSENTATIVE
La courbe représentative d'une fonction homographique estune hyperbole.REMARQUE
La forme réduitef:x?→A+B
x-aavecB?=0 d'une fonction homographique fait apparaître le centre de symétrieW( a;A)ainsi que les deux asymptotes d'équationx=aety=Ade l'hyperbole. B<0 ?i? jOxy ?A a W B>0 ?i? jOxy ?A a WA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 4 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 1
Soientflafonction définie pour tout réelx?=0parf(x)=1xetglafonction affine définie surRparg(x)=2-x.
1. Tracer les courbes représentatives des deux fonctionsfetgdans le plan muni d'un repère orthonormé.
2. Étudier les positions relatives des deux courbes.
EXERCICE 2
1. Donner un encadrement de1xdans chacun des deux cas suivants :
a)-0,52. Dans chaque cas, trouver les réelsxqui satisfont la condition donnée :
a) 1 x?34; b)1x>2; c)-2<1x?-15; d)-13?1x?3EXERCICE 3
Existe-t-il deux entiers naturels consécutifs dont la différence des inverses est égale à l'inverse de 600?
EXERCICE 4
1. Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses.
a)x>4?1 x<14; b)x?-23?1x?-1,5; c)x>-2?1x<-12; d)x<0,6?1x>532. Pour chacune des implications précédentes, énoncer la réciproque et dire si celle ci est vraie ou fausse.
EXERCICE 5
1. Soitxun réel tel que 1 a) Montrer que(x-1)3?(x-1)2 b) Que peut-on en déduire pour 1 (x-1)3et1(x-1)2? 2. La proposition "Pour tout réelx>1,1
(x-1)3?1(x-1)2» est-elle vraie ou fausse? EXERCICE 6
Soita?=0 un réel. On souhaite ranger dans l'ordre croissant les trois nombresa,a2et1a 1. Les courbes représentatives des fonctionsf:x?→x2,g:x?→xeth:x?→1
xsont représentées sur le graphique ci-dessous 12 -1 -2 -31 2-1-2-30xy A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
Par lecture graphique, émettre une conjecture à propos de l'ordre croissant des trois nombresa,a2et1
aselon les différentes valeurs du réela. 2. Si 0 a EXERCICE 7
On suppose dans cet exercice, que le prix de la location d'unevoiture pour le week-end est de 90C, que la
consommation moyenne d'un véhicule est de 8 litres de carburant pour 100 km parcourus et que le prix d'un
litre de carburant est de 1,50 C. 1. Pierre loue un véhicule pendant le week-end et parcourt 120 km pendant le week-end.
Quel est le prix de revient moyen par kilomètre parcouru? 2. Soitx>0 le nombre de kilomètres parcourus par un client qui loue unevoiture pendant le week-end.
a) Exprimer en fonction dex, le montantf(x)du prix de revient moyen par kilomètre parcouru. b) Préciser les variations de la fonctionf. 3. Un client ayant loué une voiture pendant le week-end a calculé que le prix de revient moyen par kilomètre
parcouru a été de 0,52 C. a) Quelle distance ce client a-t-il parcouru pendant le week-end? b) Quel est le montant du coût total de la location pendant le week-end? EXERCICE 8
La courbeCfreprésentative d'une fonctionfa pour équationy=3x+1. La courbeCfest tracée dans le plan
muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Montrer que la fonctionfest strictement décroissante sur l'intervalle]-∞;-1[.
b) Donner le tableau des variations de la fonctionf. 3. Soitgla fonction affine telle queg(-5) =-7 etg(3) =9.
Déterminer l'expression degen fonction dex. Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le
repère orthogonal donné en annexe. 4. Résoudre dansR, l'inéquation3
x+1?2x+3. Interpréter graphiquement le résultat. 2468
-2 -4 -6 -8 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-80xy
Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 6 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 9
1. Quel est le domaine de définition de la fonctionfdéfinie parf(x) =1-2x+3?
2. Étudier les variations de la fonctionfet donner son tableau de variation.
EXERCICE 10
Soitfla fonction définie sur l'intervalle]-2;+∞[parf(x) =5x+2. Sa courbe représentativeCfest tracée
dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous. 12345678
-1 1 2 3 4 5 6-1-20xyCf
1. Résoudre graphiquementf(x)≥2.
2. Soitaetbdeux réels tels que-2 a) Comparerf(a)etf(b). b) En déduire le sens de variation de la fonctionfsur l'intervalle]-2;+∞[. 3. Soitgla fonction affine telle queg(-1,5) =4 etg(2,5) =0 .
a) Déterminer l'expression degen fonction dex.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
2. La proposition "Pour tout réelx>1,1
(x-1)3?1(x-1)2» est-elle vraie ou fausse?EXERCICE 6
Soita?=0 un réel. On souhaite ranger dans l'ordre croissant les trois nombresa,a2et1a1. Les courbes représentatives des fonctionsf:x?→x2,g:x?→xeth:x?→1
xsont représentées sur le graphique ci-dessous 12 -1 -2 -31 2-1-2-30xyA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
Par lecture graphique, émettre une conjecture à propos de l'ordre croissant des trois nombresa,a2et1
aselon les différentes valeurs du réela.2. Si 0 a EXERCICE 7
On suppose dans cet exercice, que le prix de la location d'unevoiture pour le week-end est de 90C, que la
consommation moyenne d'un véhicule est de 8 litres de carburant pour 100 km parcourus et que le prix d'un
litre de carburant est de 1,50 C. 1. Pierre loue un véhicule pendant le week-end et parcourt 120 km pendant le week-end.
Quel est le prix de revient moyen par kilomètre parcouru? 2. Soitx>0 le nombre de kilomètres parcourus par un client qui loue unevoiture pendant le week-end.
a) Exprimer en fonction dex, le montantf(x)du prix de revient moyen par kilomètre parcouru. b) Préciser les variations de la fonctionf. 3. Un client ayant loué une voiture pendant le week-end a calculé que le prix de revient moyen par kilomètre
parcouru a été de 0,52 C. a) Quelle distance ce client a-t-il parcouru pendant le week-end? b) Quel est le montant du coût total de la location pendant le week-end? EXERCICE 8
La courbeCfreprésentative d'une fonctionfa pour équationy=3x+1. La courbeCfest tracée dans le plan
muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Montrer que la fonctionfest strictement décroissante sur l'intervalle]-∞;-1[.
b) Donner le tableau des variations de la fonctionf. 3. Soitgla fonction affine telle queg(-5) =-7 etg(3) =9.
Déterminer l'expression degen fonction dex. Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le
repère orthogonal donné en annexe. 4. Résoudre dansR, l'inéquation3
x+1?2x+3. Interpréter graphiquement le résultat. 2468
-2 -4 -6 -8 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-80xy
Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 6 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 9
1. Quel est le domaine de définition de la fonctionfdéfinie parf(x) =1-2x+3?
2. Étudier les variations de la fonctionfet donner son tableau de variation.
EXERCICE 10
Soitfla fonction définie sur l'intervalle]-2;+∞[parf(x) =5x+2. Sa courbe représentativeCfest tracée
dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous. 12345678
-1 1 2 3 4 5 6-1-20xyCf
1. Résoudre graphiquementf(x)≥2.
2. Soitaetbdeux réels tels que-2 a) Comparerf(a)etf(b). b) En déduire le sens de variation de la fonctionfsur l'intervalle]-2;+∞[. 3. Soitgla fonction affine telle queg(-1,5) =4 etg(2,5) =0 .
a) Déterminer l'expression degen fonction dex.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
3. Soitgla fonction affine telle queg(-1,5) =4 etg(2,5) =0 .
a) Déterminer l'expression degen fonction dex.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les fonctions inverses
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