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1/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

Chapitre n°11 : Étude de fonctions polynômes et homographiques

Objectifs.

a) Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leur courbe. b) Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction homographique.

Cours n°1

Chapitre n°11 : Étude de fonctions polynômes et homographiques

I) Forme canonique

Pour information :

. Un polynôme est une expression de la forme a0 + a1 x + a2x2 + a3x3 +... . Le " degré » d'un polynôme est le nombre qui correspond à la plus grande puissance de x (exemple : 3 + 2 x + 5x2 + 7x3 est de degré 3) Définition n°1 : fonction polynôme de degré 2

Soit a,b,c trois nombres réels avec a≠0

On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction p définie sur R

pouvant être exprimée sous la forme : p(x)=...........................................................

On parle aussi (plus rarement) de fonction trinôme.

Exemple n°1

Parmi les fonctions suivantes, indiquez lesquelles sont des fonctions polynômes de degré 2 : g(x)=2x²+5x+4 .......................... m(x)=4x+4

5x+4..........................

j(x)=2x+5 .......................... f(x)=3x²+2x+5 .......................... k(x)=5x+5

3x+4..........................

h(x)=4x+4 .......................... 1/19

2/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

Propriété n°1 : forme canonique

Soit p une fonction polynôme de degré 2 exprimée sous la forme p(x) = ax2 + bx + c. Il existe deux nombres réels  et  permettant d'écrire p sous la forme p(x)=a(x ................................... + ........

Cette forme s'appelle la forme canonique.

Exemple n°2

Voici une liste de fonctions trinômes. Certaines d'entre elles sont les mêmes,

écrites sous différentes formes :

•f(x) = 3(x - 3)(x - 1) •g(x) = x² •h(x) = (x + 2)² + 1 •k(x) = -1

2 (x-3

2)(x+5

2) •l(x) = -4x²+5 •m(x) = - 1

5 (x+5

2)2 - 2•n(x) = -1 2 (x+1

2)2 + 2

•p(x) = 3x² - 12x + 9 •r(x) = - 1

5x² -

13

4•s(x) = 3(x - 2)² - 3

•t(x) = x² + 4x + 5 •u(x) = - 1

2x² -

1 2x + 15

41. Quelles sont celles qui sont sous forme canonique ?

2. Pour ces fonctions mises sous forme canonique, indiquez les valeurs de a, ,

et .

3. Déterminez quelles fonctions sont égales :

4. Calculez

 pour la fonction t. 2/19

3/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

II) Courbes représentatives des polynomes du second degré

Propriété n°2

La courbe d'un fonction polynome du second degré est une p................................., possèdant un a............ de s.................................. verticale.

Exercice n°1

Ex.15 p.105 (Hyperbole 2010)

Exercice n°2

Ex.16 p.105 (Hyperbole 2010)

Activité d'approche n°2

Comme on peut le constater, avoir un polynôme du second degré sous forme canonique permet d'obtenir beaucoup d'informations utiles. Analysons le cas général :

Soit f(x) = a(x - )² + .

a. Complétez l'enchainement suivant, qui correspond à f : 3/19

4/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

sur ]-∞;] : si x1

Là, deux cas :

si a<0 : ...(x1 - ...)² ... ...(x2 - ...)² , et donc ...(x1 - ...)² ... ... ... ... ...(x2 - ...)² ... ... ...

... : f est ...................................................... sur ]-∞;]

si a>0 : ...(x1 - ...)² ... ...(x2 - ...)² , et donc ...(x1 - ...)² ... ... ... ... ...(x2 - ...)² ... ... ...

... : f est ...................................................... sur ]-∞;]

sur ];+∞] : si 

Là, deux cas :

si a<0 : ...(x1 - ...)² ... ...(x2 - ...)² , et donc ...(x1 - ...)² ... ... ... ... ...(x2 - ...)² ... ... ...

... : f est ...................................................... sur ];+

si a>0 : ...(x1 - ...)² ... ...(x2 - ...)² , et donc ...(x1 - ...)² ... ... ... ... ...(x2 - ...)² ... ... ...

... : f est ...................................................... sur ];+

En , f()=...........................................................................................................................

Tableaux de variation :

Si a<0 :Si a>0

Cours n°2

II) Étude de la f° polynôme du 2nd degré mise sous forme canonique

1) Variations

Propriété n°2

Soit a,

 et  trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré deux définie sur R par sa forme canonique : f(x) = a(x - )² + . Le sens de variation de f dépend alors du signe de a : x-∞+∞ f avec a<0...x-∞+∞ f avec a>0

Exemple n°3

Soit g la fonction définie par g(x) = - 4(x + 6)² + 9. 4/19

5/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

Après avoir précisé les valeurs de a,  et , dressez le tableau de variation de g. En déduire les coordonnées du sommet de la courbe représentative de g

Exemple n°4

Soit h la fonction définie par h(x)=4x2 - 3x + 1

1. Résoudre h(x)=1

2. En déduire les coordonnées des points d'intersections de la courbe

représentative de h avec la droite d'équation y=1.

3. En utilisant les questions précédentes et la symétrie de la courbe,

déterminer l'abscisse de l'extremum de la courbe, puis on ordonnée. 5/19

6/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

Exercice n°3 (source : sésamath)

Dresser les tableaux de variations des fonctions suivantes :

1. f(x) = 5(x - 7)² + 4

2. g(x) = -(x - 3)² + 7

3. h(x) = -4(x + 1)² - 34. k(x) = 2(x + 1)² - 3

5. l(x) = -2(x + 3)² - 3

6. m(x) = 6(x - 8)² +2.

Exercice n°4 (source : sésamath)

Retrouvez les tableaux de variations correspondants aux fonctions suivantes : . f(x) = -3(x + 1)² +2 . g(x) = 3(x - 1)² + 2. h(x) = 3(x - 2)² + 1 . j(x) = 3(x - 2)² - 1 1. x-∞1+∞ 2 2. x-∞-1+∞ 2 3. x-∞2+∞ 1 4. x-∞2+∞ 6/19

7/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

-1

Exercice n°5 (source : sésamath)

Déterminez trois fonctions polynômes f, g et h qui vérifient chacune le tableau de variations ci-dessous. x-∞-1+∞ f(x) 2 x-∞2+∞ g(x) -4 x-∞-4+∞ h(x)3

Exercice n°6 (source : sésamath)

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction polynôme du second degré. Déterminez sur quel ensemble f(x)2. x-∞1+∞

7/19-2

8/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

f(x) 0

Exercice n°7

On donne les courbes représentatives suivantes, qui correspondent toutes à la représentation graphique de polynômes du second degré de la forme ax2 + bx + c. Dans chaque cas, déterminer le signe de a,les valeurs de α et β. Quand c'est possible, déterminer la valeur de c.

Graphique 1 :Graphique 2

Graphique 3 :Graphique 4

Activité d'approche n°3

Soit a,  et  trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré deux 8/192

9/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

définie sur R par sa forme canonique : f(x) = a(x - )² + .

1. Étudiez le signe de f si a et  sont négatifs.

2. Étudiez le signe de f si a et  sont positifs.

3. Dans les autres cas, que peut-on dire du signe de f sur ]-∞;[ ? Et sur ];

Cours n°3

2) Signes

Propriété n°3

Soit a,  et  trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré deux définie sur R par sa forme canonique : f(x) = a(x - )² + . 9/19

10/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

. Si a et  sont négatifs, f est ...............................................................

. Si a et  sont positifs, f est ...............................................................

. Dans les autres cas :

.sur ]-∞;[, f .................................................................................

.sur ];+∞[, f .................................................................................

Exemple n°4 :

Voici deux fonctions polynômes du second degré. Étudiez leur signe. . f(x)= -3(x-3)²-2. j(x)= 3(x-2)²+2

Exercice n°8

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 2(x - 2)² - 8

1. Calculez f(4).

2. En déduire sur quel ensemble f est négative, en expliquant le raisonnement.

Exercice n°9

On considère trois fonctions f, g, et h définies par : f(x) = -16(x - 3)² - 9 ; g(x)= 16(x - 3)² - 9 ; h(x) = 16(x - 3)² + 9.

1. Factorisez g

2. Étudiez le signe de chaque fonction.

Activité d'approche n°4

La courbe représentative de la fonction carrée a un axe de symétrie : l'axe des ordonnées. Quel est l'équation de l'axe de symétrie de la courbe représentative de la 10/19

11/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

fonction f(x) = a(x - )² +  ? (suggestion : faites plusieurs essais).

Cours n°4

III) Courbe représentative d'une fonction polynôme de degré deux.

Définition n°2

La courbe représentative d'une fonction polynôme de degré deux est une parabole.

Propriété n°4

Soit a,  et  trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré deux définie sur R par sa forme canonique : f(x) = a(x - )² + . La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui admet un axe de symétrie : la droite d'équation ...................

Exemple n°5

Voici une fonction polynôme du second degré : gx) = -3(x+3)²+5 11/19

12/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

Quel est l'équation de l'axe de symétrie ? ......................................................

Exercice n°10

Ex.26 p.107 (Hyperbole 2010)

Exercice n°11

f est une fonction polynôme de degré 2. Son maximum est atteint pour x = 3. f(-

2)= -8. En déduire f(8).

Exercice n°12*

f est une fonction polynôme de degré 2. f(0) = 1 et f(-1)=4, et c'est son maximum.Trouvez l'expression de f sous forme canonique et en déduire l'expression de f sous forme développée.

Exercice n°13*

g est une fonction polynôme de degré 2. g(2) = 3 et g(3)=5, et c'est son maximum. Trouvez l'expression de g sous forme canonique et en déduire l'expression de f sous forme développée.

Exercice n°14**

Ex.40 p,109 (Hyperbole 2010)

12/19

13/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

Exercice n°15**

Soit f une fonction polynôme du second degré. On donne son expression sous forme canonique : f(x) = a(x - )² + .

1. Développez f.

2. En déduire que si la forme développée de f s'écrit f(x) = ax² + bx + c, alors = - b

2a (on admettra que si f est une fonction polynôme de degré deux, les

formes canoniques et développées de f sont uniques)

Cours n°5

IV) Fonctions homographiques

Définition n°3

On appelle fonction homographique une fonction f pouvant s'écrire sous la forme f(x) = ax+b cx+d avec a,b,c et d quatre nombres réels, c ≠ 0

Exemple n°6 :

f(x) = 3x-4

9x-4 est une fonction homographique : a = .... ; b = .... ; c = ....; d = ....

Propriété n°6

Soit une fonction f une fonction homographique telle que f(x) = ax+b cx+davec a,b,c et d quatre nombres réels, c ≠ 0 Alors, f est définie pour toutes les valeurs n'annulant pas le dénominateur :

Df=]-∞ ; -d

c[ U ]-d c;+∞[

Exemple n°7 :

La fonction f de l'exemple n°6 a pour ensemble de définition : 13/19

14/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

Exercice n°16

f(x) = 9x-9 -5x-5 est une fonction homographique :

1. Donnez les valeurs de a, b, c et d.

2. Quel est son ensemble de définition ?

Exercice n°17

g(x) = 5x-2

4x-7 est une fonction homographique :

1. Donnez les valeurs de a, b, c et d.

2. Quel est son ensemble de définition ?

3. Tracez la courbe représentative de g.

Exercice n°18*

h(x) = 2x+5 -6x+3 est une fonction homographique :

1. Donnez les valeurs de a, b, c et d.

2. Quel est son ensemble de définition ?

3. Tracez la courbe représentative de h.

4. On cherche à résoudre l'équation h(x)=3.

i. Pour quelle valeur de x ne peut-on pas résoudre cette équation ? ii. Si on exclut cette valeur, montrez que résoudre h(x) revient à résoudre 2x+5=3(-6x+3). iii. Résoudre cette équation.

Exercice n°19*** (source : Sésamath)

On considère la droite (d) d'équation y = 2x+3 et A le point de coordonnées (1;1). M est un point quelconque de la droite (d) et on note x l'abscisse de M.

1. On définit la fonction f par : f(x)=AM2.

a. Justifiez que l'ordonnée de M est yM= 2x+3 . Vérifiez que f(x) = 5x² + 6x +5 b. Vérifiez que l'expression 5(x + 0,6)² + 3,2 est la forme canonique de f. c. Étudiez les variations de f. Pour quelle valeur xmin la fonction atteint- elle son extremum ? d. Mmin est le point de la droite (d) tel que la distance AM² soit minimale. Justifiez que les coordonnées de Mmin sont (-0,6;1,8).

2. On considère le point B de coordonnées (0;3).

a. Vérifiez que B est un point de la droite (d). b. Déterminez la nature du triangle ABMmin. Que peut-on dire des droites (Ammin) et (d) ? 14/19

15/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

Exercice n°20*** (source : Sésamath)

Un artisan fabrique entre 0 et 60 vases par jour et estime que le coût de production de x vases est modélisé par la fonction C données par C(x)=x² - 10x + 500. On note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases fabriqués. Un vase est vendu 50€.

1. Exprimez R(x) en fonction de x.

2. Calculez le coût, la recette et le bénéfice réalisé lorsque l'artisan vend 50

vases.

3. Vérifiez que le bénéfice, en euros, réalisé par l'artisan, est donné par la

fonction B dont l'expression est : B(x)= -x² + 60x - 500.

4. Développez l'expression : - (x - 30)² + 400. Déduisez-en le nombre de vases à

vendre pour réaliser un bénéfice maximum.

Exercice n°21***

Ex.57 p.112 (Hyperbole 2010)

Exercice n°22****

Ex.59 p.113 (Hyperbole 2010)

Exercice n°23****

Lorsqu'on lance un objet en l'air avec un angle  avec l'horizontal, on obtient la hauteur h en mètre en fonction de la distance parcourue horizontalement x en mètre à l'aide de la formule : h0(x)= -g

2(V0)²(1+ (tan )²) × x2 + tan  × x

où :

V0 est la vitesse initiale en m.s-1,

g est une constante appelée accélération de la pesanteur (en m.s-2) qui vaut, sur la Terre, 9,81 m.s-2. A. Dans cette partie, on étudie h si  vaut 45°, et si V0 vaut

3,1 m.s-1.

1. Donner l'expression de h en ce cas.

2. Résoudre h0(x)=0. À quelles situations cela correspond-il ?

3. Montrer que h(x)= -(x - 1

2)² + 1

4.

4. Étudier le sens de variation à l'aide des fonctions de références (cf

chapitre 10). Sur quel intervalle h0 est-elle croissante ? Décroissante ? Pour quelle valeur atteint-elle son maximum ? 15/19

16/19 - Chapitre n°11: Étude de fonctions polynômes et homographiques

5. Héloïse, située au sommet d'un poteau de 3,75 mètres de hauteur,

lance son projectile. i. Démontrez que la nouvelle formule est maintenant, par rapport au sol qui entoure le poteau : h1(x) = - x2 + x + 15 4 , ii. Démontrez que h1(x) = - (x - 1

2)2 + 4.

iii. À quelle distance du poteau le projectile va-t-il retomber ? iv. Quelle sera sa hauteur maximale ? B. Dans cette partie, on étudie la même fonction si  vaut 45°, mais Héloïse, toujours sur son poteau, utilise un lance-pierre. Du coup, V0 vaut environ 6,3 m.s-1.

1. Démontrez que h2(x) = - 1

4 x2 + x + 15

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