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TABLE DES MATIÈRES 1

Fonctions carrée et inverse.

Autres fonctions élémentairesPaul Milan

LMA Seconde le 6 février 2010

Table des matières

1 La fonction carrée

2

1.1 Fonction paire

2

1.2 Étude de la fonction carrée

3

1.3 Représentation de la fonction carrée

3

1.4 Fonctions se ramenant à la fonction carrée

4

1.5 Application

5

2 La fonction inverse

6

2.1 Fonction impaire

6

2.2 Étude de la fonction inverse

8

2.3 Représentation de la fonction inverse

8

2.4 Fonctions se ramenant à la fonction inverse

9

2.5 Application

10

3 La fonction racine carrée

11

3.1 Étude de la fonction racine carrée

11

3.2 Représentation

12

4 La fonction cube

13

4.1 Étude de la fonction cube

13

4.2 Représentation

14

4.3 Application

15 2

1 La fonction carrée

1.1 Fonction paireDéfinition 1On dit qu"une fonction f définie dans l"ensemble de définition Dfest

une fonction paire si et seulement si : 1) l"ensemble D fest symétrique par rapport à "zéro»

2)8x2Dfon a f(x)=f(x)Remarque :Dfdoit être symétrique par rapport à l"origine.

C"est à dire que six2Dfalorsx2Df.

Rf2gn"est pas symétrique. On ne peut pas comparerf(2) àf(2) (qui n"existe pas).

Par contreRf2;2gest symétrique.

Exemples :

2La fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=x2est paire. En eet on a :

f(x)=(x)2=x2=f(x) etRest bien évidemment symétrique

2Soit les fonctionf1etf2les fonctions définies par :

f

1(x)=2x4+x21 etf2(x)=1x

21
Montrer que les fonctionsf1etf2sont paires sur leur ensemble de définition. f

1est définie surRdonc symétrique et :

f

1(x)=2(x)4+(x)21=2x4+x21=f1(x)

Doncf1est paire.

f

2est définie surRf1;1gdonc symétrique et :

f

2(x)=1(x)21=f2(x)

Doncf2est paire.

2Montrons que la fonctiongdéfinie surRparg(x)=x23xn"est pas paire. Pour

montrer que la proposition est fausse, trouvons un contre-exemple : g(2)=(2)23(2)=4+6=10 etg(2)=223(2)=46=2

Commeg(2),g(2), la fonctiongn"est pas paire.

D"autres fonctions que l"on a pas encore vues sont paires. C"est par exemple le cas de la fonction cosx

de puissances paires possèdent cette propriété.Propriété 1La courbe représentativeCfd"une fonction fonction paire f est symé-

trique par rapport à l"axe des ordonnée.paul milan6 février 2010lma seconde

1.2 Étude de la fonction carr´ee3Tout pointM(x;f(x)) de la courbeCfpossède un point symétrique

M

0(x;f(x)=f(x)) sur la courbe.

1.2 Étude de la fonction carréeDéfinition 2On appelle fonction carrée, la fonction définie surRpar :

f(x)=x2Propriétés :La fonction carrée est une fonction paire, donc sa représentation est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées. Variation :Soit deux réelsx1etx2tels quex2>x1. Calculons alors la quantité : f(x2)f(x1)=x2 2x2 1 =(x2x1)(x2+x1) On sait quex2>x1doncx2x1>0. Le signe def(x2)f(x1) est du signe dex2+x1. Six2>x1>0 alorsf(x2)f(x1)>0 donc la fonction est croissante. Six10%+11.3 Représentation de la fonction carrée

Définition 3La représentation de la fonction carrée est une parabole de sommet O.Comme cette parabole est symétrique par rapport à l"axe des ordonnée, on cherchera

des points dont les abscisses sont positives. On complétera alors par les point symétriques. Tableau de valeurspaul milan6 février 2010lma seconde

1.4 Fonctions se ramenant`a la fonction carr´ee4x00,511,52

x

200,2512,254

On obtient alors la parabole suivante :

Remarque :La parabole était bien connue des grecs, soit donc bien avant la création du concept de fonction. Cette courbe fait partie de ce que les grec appelait les " conniques ». Elles correspondent aux section d"un cone par un plan. La parabole est

obtenue avec un plan parallèle à un génératrice du cone.1.4 Fonctions se ramenant à la fonction carrée

Définition 4On définit une fonction f surRpar : f(x)=ax2 La représentation de ces fonctions sont des paraboles. Les variations de f sont identiques à la fonction carrée lorsque a>0. La parabole est tournée vers le haut. Les variations de f sont contraires à la fonction carrée lorsque a<0. La parabole est tournée vers le bas.Variations : paul milan6 février 2010lma seconde

1.5 Application5a>0x10+1x

2+1& 0%+1a

2>a1a<0x10+1x

21
%0&1ja2j>ja1j Remarque :Une parabole de sommetS(x0;y0) a pour fonction associéefde la forme : f(x)=a(xx0)2+y0

1.5 Application

En géométrie, on appelle parabole une courbe constituée des point M équidistants d"un point F appelé foyer et d"une droite fixe.

1)Construction de la parabole

On donne le foyer de la paraboleF(0;1) et la droitedfixe d"équationy=1.Hest le

projeté orthogonal deMsur la droited. On obtient alors la figure suivante :Comme les pointMsont équidistants deFet de la droited, on peut écrire :

MF=MH Mest donc sur la médiatrice de [FH]. Pour tracer un pointM, on prend un point quelconqueHsur la droited. On trace ensuite la médiatrice de [FH].Mest alors l"intersection de cette médiatrice avec la perpendiculaire àdenH. Avec un logiciel,

on peut alors obtenir l"ensemble des pointsMlorsqueHparcourtd. On obtient alors :paul milan6 février 2010lma seconde

6 Remarque :On remarque que la médiatrice est alors la tangente enMà la parabole ainsi tracée.

2)Relation entre les coordonnées

On noteM(x;y) les coordonnées du pointM. On obtient alors les coordonnées de H(x;1). On calcule alors les distances au carréeMF2etMH2. MF

2=(xxF)2+(yyF)2=x2+(y1)2

MH

2=(xxH)2+(yyH)2=(y+1)2

De l"égalité des distances, on en déduit : x

2+(y1)2=(y+1)2

x

2+y22y+1=y2+2y+1

4y=x2 y=14 x2

On retrouve la fonctionf(x)=14

x2qui est représentée par un parabole.

2 La fonction inverse

2.1 Fonction impaireDéfinition 5On dit qu"une fonction est impaire sur son ensemble de définition Df

si, et seulement si : 1) l"ensemble D fest symétrique par rapport à "zéro»

2)8x2Dfon a f(x)=f(x)paul milan6 février 2010lma seconde

2.1 Fonction impaire7Exemples :

1) La fonction fdéfinie parf(x)=xsurRet la fonctiongdéfinie parg(x)=1x surR sont impaire. En eet : f(x)=x=f(x) g(x)=1x=1x =g(x) 2)

La fonction fdéfinie surRparf(x)=x3+2xx

2+1est impaire. En eet :

f(x)=(x)3+2(x)(x)2+1=x3+2xx

2+1=f(x)

3) P arcontre la fonction fdéfinie surRparf(x)=5x3 n"est pas impaire. Montrons le par un contre exemple : f(1)=2 etf(1)=8 doncf(1),f(1) Remarque :La fonction impaire tire son nom par le fait que les polynôme dont les

puissances sont uniquement impaires vérifient cette propriété.Propriété 2La courbeCfd"une fonction impaire f est symétrique par rapport à

l"origine du repère.Tout pointM(x;f(x)) de la courbeCfpossède un point symétrique M

0(x;f(x)=f(x)) sur la courbe.

Remarque :Toute courbe d"une fonction impaire, définie en 0, passe par l"origine.paul milan6 février 2010lma seconde

2.2 Étude de la fonction inverse82.2 Étude de la fonction inverse

Définition 6On appelle fonction inverse, la fonction définie surRpar : f(x)=1x Propriétés :La fonction inverse est une fonction impaire. VariationsSoit deux réels non nulsx1etx2tels quex2>x1. Calculons la quantité : f(x2)f(x1)=1x 21x
1 =x1x2x 1x2 commex2>x1alors le numérateur est négatif six2>x1>0 ou six1Tableau de valeurx1 41
2124
1 x4211 21
4

On obtient alors l"hyperbole suivante :

paul milan6 février 2010lma seconde

2.4 Fonctions se ramenant`a la fonction inverse9Remarque :

2L"hyperbole possède deux asymmptotes : droites dont la courbe se rapproche de

plus en plus lorsquexse rapproche de 0 ou de l"infini. Ces deux asymptotes sont les axes de coordonnées. L"hyperbole est dite équilatère car les asymptotes sont perpendiculaires.

2l"hyperpole est une conique obtenue par la section d"un cone par un plan dont la

pente est supérieure aux génératrices du cone.

2L"hyperbole possède deux axes de symétrie : les deux bissectrices des axes de

coordonnées.

2L"hyperbole se trouve dans les cadrans 1 et 3 du repère.

2.4 Fonctions se ramenant à la fonction inverseDéfinition 8On définit une fonction f surRpar :

f(x)=ax La représentation de ces fonctions sont des hyperboles. Les variations de f sont identiques à la fonction inverse lorsque a>0. L"hyperbole se situe dans les cadran 1 et 3 du repère. Les variations de f sont contraires à la fonction inverse lorsque a<0. L"hyperbole se situe dans les cadrans 2 et 4 du repère.Variations : paul milan6 février 2010lma seconde

2.5 Application10a>0x10+11

x0 &1+1&0a

2>a1a<0x10+11

x0 %+11 %0ja2j>ja1j

2.5 Application

ABCDest un rectangle tel queAB=2 etAD=1. A tout réel positifx, on aassocie le pointMtel que les pointsA,BetMsont alignés dans cet ordre avecBM=x. On noteI le milieu du segment [BM]. La droiteMC) coupe (AD) enN. Déterminer la position du pointMpour queDN=AI.

On fait une figure, pour comprendre le problème :Comme les droites (DC) et (AM) sont paralèlle, nous avons une configuration de

Thalès. Appliquons le théorème de Thalès dans le trianglesDCNetAMN, on a alors : NDNA =DCAM ,DN1+DN=22+x

On fait un produit en croix, on obtient alors :

DN(2+x)=2(1+DN),2DN+xDN=2+2DNsoitDN=2x

paul milan6 février 2010lma seconde 11

On calcule ensuiteAI:

AI=AB+BM2

=2+x2 =2x .Pourrésoudregraphiquement ce problème, on trace alors la droitey=2+x2 et l"hyperboley=2x . On obtient alors la représentation suivante :On obtient donc la solution approchée :x'0;8. si l"on cherche le résultat exact, il faut résoudre l"équation suivante : x2 +2=2x on multiplie par 2x x

2+4x=4 or (x+2)2=x2+4x+4 doncx2+4x=(x+2)24

(x+2)24=4 (x+2)2=8

On obtient comme solution positive :

x+2=p8 soitx=2p22'0;83

3 La fonction racine carrée

3.1 Étude de la fonction racine carréeDéfinition 9On appelle fonction racine carrée, la fonction définie surR+par :

f(x)=px paul milan6 février 2010lma seconde

3.2 Repr´esentation12Remarque :La fonction racine carrée est lafonction réciproquede la fonction

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