LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
Propriété : La courbe d'équation = de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine du repère. La fonction cube est impaire. 2. Positions
Première ES - Fonction cube
Conclusion : si deux nombres sont de même signe la fonction cube préserve Dans ce cas encore
CONVEXITÉ
La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I
COURS TERMINALE STD2A LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
La courbe représentative de la fonction cube est appelée une cubique. Cette courbe admet un centre de symétrie le point O origine du repère.
VARIATIONS DUNE FONCTION
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : En effet la fonction cube étant croissante
FONCTIONS DE REFERENCE
Remarque : Dans un repère orthogonal la courbe de la fonction cube est symétrique par rapport au centre du repère. Hors du cadre de la classe
I. Fonction paire impaire
Dans un repère orthogonal la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine. Exemple 2: La fonction cube (représentée
A la dcouverte de la fonction cube
Comme pour les fonctions polynômes du second degré le nombre dérivé f '(xK) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf représentative de la
INTÉGRATION (Partie 1)
époque on partait de l'équation de la courbe pour calculer l'aire sous la courbe
106. 1. Pour tracer la courbe de la fonction cube notée f ici
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4) Courbe de la fonction cube a) Courbe : On observe sur ce dessin que la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère b) Explications:
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III) Courbe représentative de la fonction cube La courbe est bien symétrique par rapport à l'origine du repère
[PDF] I Définition et étude de la fonction cube - Landatome
LA FONCTION CUBE Remarque n°2 Parité imparité et représentation graphique Dans un repère orthogonal on donne C f la courbe représentative de la
Fonction cube : cours de maths en 2de à télécharger en PDF
Cours sur la fonction cube en 2de cette leçon sur la fonction cube avec ses propriétés et le tracé de sa courbe représentative en seconde
[PDF] fonction cube
courbe de la fonction cube sur [?3; 3] 2 tableau de variations de la fonction cube : valeur de x ?? +? variations de f(x) = x3 la fonction cube : x
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d) Représentation graphique : La courbe représentative de la fonction cube est appelée une cubique Cette courbe admet un centre de symétrie
[PDF] À la découverte de la fonction cube - mediaeduscoleducationfr
Il s'agit dans un premier temps de déterminer le sens de variation de la fonction f définie par f (x) = x3 et de visualiser sa courbe représentative à l'aide de
[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques
La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O la fonction cube est symétrique par rapport au centre du repère
Quelles sont les propriétés de la fonction cube ?
La fonction cube est la fonction �� ( �� ) = �� ? . Elle a les propriétés suivantes : L'image de la fonction est positive lorsque �� est positif, négative lorsque �� est négatif et nulle lorsque �� = 0 . Quand �� augmente vers l'infini, �� ( �� ) augmente également vers l'infini.Comment déterminer l'antécédent par la fonction cube ?
L'unique antécédent de par la fonction cube est noté ? . Attention Ce nombre est du même signe que . Exemples : comme 3 27, on peut affirmer que 27 admet 3 comme antécédent par .Quelle est la courbe de la fonction cube ?
La fonction cube est une fonction impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. Comme la fonction cube est strictement croissante sur , si et sont deux réels positif, négatifs ou nuls, alors équivaut à (l'inégalité ne change pas de sens).- on trace la courbe de la fonction cube ; on trace la droite horizontale d'équation y = k y=k y=k ; on note l'abscisse du point d'intersection ; on note l'intervalle de tous les réels inférieurs à cette abscisse.
Fonction cube.
I) Définition
Soit ࢌ la fonction définie sur un Թ par :Exemples :
= 8 A L@ 6 9 A 7 L 6 9 L 569II) Etude de la fonction cube
1) Variations de f sur Թ La fonction ࢌ est strictement croissante sur Թ.
On peut reformuler le théorème ainsi :
Soit ࢇ et ࢈ deux nombres réels tels que ࢇ൏࢈ alors ࢌሺ ൏ࢌሺ࢈ሻ. Preuve. Soit deux réels ܽ et ܾ Tout d'abord montrons que ሺܽ െ ܾሻሺܽ En développant ሺܽ െ ܾሻሺܽ On a donc finalement :ሺࢇ െ ࢈ሻሺࢇ • Lorsque les deux nombres ࢇ et ࢈ ont le même signe : - Premier cas : on suppose ࢇ൏࢈.Alors ܽെܾ൏Ͳ et ܽ
Donc ሺܽ െ ܾሻሺܽ
On obtient donc ܽ
Donc finalement :
C'est-à-dire :
- Second cas: on suppose ࢇ൏࢈Alors ܽെܾ
Or ܾܽest positif comme produit de deux nombres négatifs. ܽ et ܾ donc :Donc ሺܽ െ ܾሻሺܽ
On obtient donc ܽ
Donc finalement :
C'est-à-dire :
Conclusion : si deux nombres sont de même signe, la fonction cube préserve leur ordre strict. • Lorsque les deux nombres ࢇ et ࢈ sont de signes différents : Si deux nombres sont de signes opposés, celui qui est négatif a son image négative, celui qui est positif a une image positive. Dans ce cas encore, la fonction cube préserve leur ordre strict.2) Tableau de variations
ݔ െλ 0 + 03) Tableau de valeurs
࢞ -100 -10 -5 -2 -1 0 1 2 5 10 1 00 ࢌሺ࢞ሻ -1 000 000 -1 000 -125 -8 -1 0 1 8 125 1 000 1 000 0004) Courbe de la fonction cube.
a) Courbe : On observe sur ce dessin que la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. b) Explications: • La fonction cube est symétrique par rapport à l'origine du repère: Soit ݔ un nombre réel, son opposé െݔ a pour image :donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻ
donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳሻൈሺെͳሻൈሺെͳሻൈݔൈݔൈݔ
donc ݂ሺെݔሻൌെͳൈݔ enfin ݂ሺെݔሻൌെ݂ሺݔሻ Conclusion : l'image de l'opposé de ࢞ est l'opposé de l'image de ࢞ Graphiquement cela a pour conséquence que la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. • Comportement de la fonction lorsque les valeurs de ࢞ sont grandes1°) Images de nombres entiers naturels.
࢞ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ࢌሺ࢞ሻ 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 A partir de ces résultats, on peut donner quelques conjectures concernant la fonction cube : Quand ݔ devient grand, ݂ሺݔሻ semble devenir très grand aussi2°) Images de puissances de 10.
On utilise la règle de calcul : ൫ࢇ
Par exemple, pour ݔൌͳͲ
ൌ ͳͲͲͲͲ ൌ ݀݅ݔ݈݈݉݅݁, on obtient: Là encore la conjecture semble aussi se confirmer3°) Images des nombres négatifs.
Exemple : ݂ሺെʹሻൌሺെʹሻൈሺെʹሻൈሺെʹሻൌͶൈሺെʹሻൌെͺ
On constate (voir tableau précédent au 1°) que ݂ሺെʹሻ est l'opposé de ݂ሺʹሻ.
Ce fait se généralise à tous les nombres négatifs, en vertu de la remarque suivante : Soit ݔ un nombre réel, son opposé െݔ a pour image :donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻ
donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳሻൈሺെͳሻൈሺെͳሻൈݔൈݔൈݔ = െݔ
ainsi lorsque ࢞ devient très petit ࢌሺ࢞ሻ l'est aussi.IV) Les problèmes que posent la fonction cube.
La fonction cube est présente au programme de la classe de première économique et sociale. A l'instar de la fonction racine carrée, elle présente deux difficultés spécifiques : • Un problème lié à la recherche d'antécédents ;• Un problème lié à la notion de nombre dérivé.(Voir les fiches de cours sur la notion
de dérivé) La compréhension de ces problèmes est essentielle pour un élève de première. Ils sont les précurseurs de difficultés rencontrées dans le parcours des années suivantes sur l'étude de fonctions incontournables en mathématiques financières. Recherche d'antécédents pour la fonction cube.Soit ࢇ un nombre réel donné.
Il relève de la classe de seconde de connaître la définition d'antécédent du nombre ܽ
On peut se convaincre de l'existence d'un antécédent du nombre ܽ cube à l'aide de la représentation graphique de celle-ci : On constate ici l'existence d'un antécédent de la valeur ܽThéorème :
Soit ࢇ un nombre réel et ࢞
un antécédent de ࢇ par la fonction cube. Alors, quel que soit ࢞ un nombre réel, si ്࢞࢞ , alors ࢌሺ࢞ሻ്ࢇ.En d'autres termes, ࢞
est l'unique antécédent de ࢇ. Preuve. Soit ݔun nombre réel. Si ݔ്ݔ , alors ݔ൏ݔ ou ݔݔ Comme la fonction cube est strictement croissante, ݂ሺݔሻ൏݂ሺݔ ሻ ou, respectivement, ሻ. Donc ݂ሺݔሻ ് ݂ሺݔ ሻ, donc ݂ሺݔሻ ് ܽ Notation. L'unique antécédent de ܽ par la fonction cube est noté ξܽ Attention ! Ce nombre est du même signe que ܽExemples : comme ݂ሺ͵ሻൌʹ, on peut affirmer que ʹ admet ͵comme antécédent par
݂. En vertu du théorème précédent, c'est le seul.On pourra donc noter :
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