LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
Propriété : La courbe d'équation = de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine du repère. La fonction cube est impaire. 2. Positions
Première ES - Fonction cube
Conclusion : si deux nombres sont de même signe la fonction cube préserve Dans ce cas encore
CONVEXITÉ
La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I
COURS TERMINALE STD2A LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
La courbe représentative de la fonction cube est appelée une cubique. Cette courbe admet un centre de symétrie le point O origine du repère.
VARIATIONS DUNE FONCTION
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : En effet la fonction cube étant croissante
FONCTIONS DE REFERENCE
Remarque : Dans un repère orthogonal la courbe de la fonction cube est symétrique par rapport au centre du repère. Hors du cadre de la classe
I. Fonction paire impaire
Dans un repère orthogonal la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine. Exemple 2: La fonction cube (représentée
A la dcouverte de la fonction cube
Comme pour les fonctions polynômes du second degré le nombre dérivé f '(xK) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf représentative de la
INTÉGRATION (Partie 1)
époque on partait de l'équation de la courbe pour calculer l'aire sous la courbe
106. 1. Pour tracer la courbe de la fonction cube notée f ici
https://indice.editions-bordas.fr/9782047336281/assets/chapitre-4-parcours-1-exercice-106-correction-detaillee/download
[PDF] Fonction cube - Parfenoff org
4) Courbe de la fonction cube a) Courbe : On observe sur ce dessin que la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère b) Explications:
[PDF] Fonction cube - Parfenoff org
III) Courbe représentative de la fonction cube La courbe est bien symétrique par rapport à l'origine du repère
[PDF] I Définition et étude de la fonction cube - Landatome
LA FONCTION CUBE Remarque n°2 Parité imparité et représentation graphique Dans un repère orthogonal on donne C f la courbe représentative de la
Fonction cube : cours de maths en 2de à télécharger en PDF
Cours sur la fonction cube en 2de cette leçon sur la fonction cube avec ses propriétés et le tracé de sa courbe représentative en seconde
[PDF] fonction cube
courbe de la fonction cube sur [?3; 3] 2 tableau de variations de la fonction cube : valeur de x ?? +? variations de f(x) = x3 la fonction cube : x
[PDF] COURS TERMINALE STD2A LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
d) Représentation graphique : La courbe représentative de la fonction cube est appelée une cubique Cette courbe admet un centre de symétrie
[PDF] À la découverte de la fonction cube - mediaeduscoleducationfr
Il s'agit dans un premier temps de déterminer le sens de variation de la fonction f définie par f (x) = x3 et de visualiser sa courbe représentative à l'aide de
[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques
La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O la fonction cube est symétrique par rapport au centre du repère
Quelles sont les propriétés de la fonction cube ?
La fonction cube est la fonction �� ( �� ) = �� ? . Elle a les propriétés suivantes : L'image de la fonction est positive lorsque �� est positif, négative lorsque �� est négatif et nulle lorsque �� = 0 . Quand �� augmente vers l'infini, �� ( �� ) augmente également vers l'infini.Comment déterminer l'antécédent par la fonction cube ?
L'unique antécédent de par la fonction cube est noté ? . Attention Ce nombre est du même signe que . Exemples : comme 3 27, on peut affirmer que 27 admet 3 comme antécédent par .Quelle est la courbe de la fonction cube ?
La fonction cube est une fonction impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. Comme la fonction cube est strictement croissante sur , si et sont deux réels positif, négatifs ou nuls, alors équivaut à (l'inégalité ne change pas de sens).- on trace la courbe de la fonction cube ; on trace la droite horizontale d'équation y = k y=k y=k ; on note l'abscisse du point d'intersection ; on note l'intervalle de tous les réels inférieurs à cette abscisse.
CONVEXITÉ
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/gge4xdn6cFAPartie 1 : Dérivée seconde
Définition : Soit une fonction dérivable sur un intervalle dont la dérivée ′ est dérivable
sur .On appelle fonction dérivée seconde de sur la dérivée de ′ et on note :
Méthode : Calculer la dérivée seconde d'une fonctionVidéo https://youtu.be/W6rypabq8uA
Calculer la dérivée seconde de chacune des fonctions , et ℎ définies par :
=3 -5 +1 =cos(2)Correction
=9 -10 )′=18-10 ()=1× (1+)1+
×1=
(2+) =-2sin(2) =-2×2cos2
=-4cos(2)Partie 2 : Fonction convexe et fonction concave
1) Définitions avec les cordes
Définition : Une corde est un segment reliant deux points d'une courbe. 2 Définitions : Soit une fonction définie sur un intervalle .- La fonction est convexe sur , si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune
de ses cordes.- La fonction est concave sur , si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune
de ses cordes.Fonction convexe Fonction concave
2) Définitions avec les tangentes
Définitions : Soit une fonction dérivable sur un intervalle .- La fonction est convexe sur , si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune
de ses tangentes.- La fonction est concave sur , si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune
de ses tangentes.Fonction convexe Fonction concave
Méthode : Reconnaître graphiquement la convexitéVidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E
Reconnaître graphiquement la convexité des deux fonctions représentées sur l'intervalle [-3;5]. 3 a) b)Correction
a) La fonction est concave. Sa courbe est en effet entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. b) La fonction est d'abord convexe puis concave. Remarque : On aurait pu obtenir ses résultats en utilisant les cordes. 43) Propriétés
Propriétés :
- La fonction carré ⟼ est convexe sur ℝ. - La fonction cube ⟼ est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
- La fonction inverse ⟼ est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
- La fonction racine carrée ⟼ est concave sur0;+∞
- Admis -Propriété :
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle .- Dire que la fonction est convexe sur , revient à dire que sa dérivée ′ est croissante sur
, soit : ′′()≥0.- Dire que la fonction est concave sur , revient à dire que sa dérivée ′ est décroissante
Remarque : Dans la pratique, pour étudier la convexité d'une fonction, on détermine le signe
de la dérivée seconde.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/-OG8l5Batuo
- Démontrons que : est convexe, si ′ est croissante : On considère la fonction dérivable sur I et définie par :Alors : ′
Or ′ est croissante sur I, donc ′ est également croissante.De plus, ′
On peut donc compléter le tableau de variations de .En effet :
=0Donc
≥0 sur I.Soit
On en déduit que la courbe représentative de est au-dessus de ses tangentes sur I et donc
que est convexe sur I.- Démonstration analogue pour prouver que : est concave, si ′ est décroissante.
5 Méthode : Étudier la convexité d'une fonctionVidéo https://youtu.be/8H2aYKN8NGE
Soit la fonction définie sur ℝ par 1 3 -9 +4.Étudier la convexité de la fonction .
Correction
-18. =2-18On a :
=0pour =9.Pour tout ≥9, ′′
≥0.Donc est concave sur
-∞;9 et est convexe sur9;+∞
Partie 3 : Point d'inflexion
Définition : Soit une fonction dérivable sur un intervalle .Un point d'inflexion est un point où la courbe
traverse sa tangente. Propriété : Au point d'inflexion, la fonction change de convexité.Exemple :
On considère la fonction cube ⟼La tangente en 0 est l'axe des abscisses.
Pour ≥0, la courbe est au-dessus de sa tangente. L'origine est donc le point d'inflexion de la courbe de la fonction cube. La tangente à la courbe traverse donc la courbe en ce point. 6 Méthode : Reconnaître graphiquement un point d'inflexionVidéo https://youtu.be/r8sYr6ToeLo
Déterminer graphiquement le point d'inflexion des fonctions représentées ci-dessous. a) b)Correction
a) La fonction est d'abord concave puis convexe. Le point de coordonnées (0 ; 1) semble être un point d'inflexion de la courbe. b) La fonction est d'abord convexe puis concave. Le point de coordonnées (2 ; 1) semble être un point d'inflexion de la courbe. 7 Méthode : Étudier la convexité pour résoudre un problèmeVidéo https://youtu.be/_XlgCeLcN1k
Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10 000 par mois.Le coût de fabrication (en milliers d'euros) de milliers de clés produites s'exprime par :
=0,05 -1,05 +8+4, définie sur l'intervalle [0 ; 10].1) À l'aide de la calculatrice, conjecturer la convexité de la fonction .
En déduire si la courbe possède un point d'inflexion.2) Démontrer ces résultats.
3) Interpréter les résultats obtenus au regard du contexte de l'exercice.
Correction
1) La fonction semble concave sur l'intervalle [0 ; 7] et convexe sur l'intervalle
[7 ; 10]. La courbe semble posséder un point d'inflexion pour =7.2)
=0,05 -1,05 +8+4 =0,15 -2,1+8 =0,3-2,1Or, 0,3-2,1=0 pour =7.
8On peut ainsi résumer les variations de ′ et la convexité de dans le tableau suivant :
7 =25,7 Ainsi, le point de coordonnées (7 ; 25,7) est un point d'inflexion de la courbe.3) Avant le point d'inflexion, la fonction est concave, la croissance du coût de fabrication
ralentie. Après le point d'inflexion, la fonction est convexe, la croissance du coût de fabrication s'accélère.Ainsi, à partir de 7000 clés produites, la croissance du coût de fabrication s'accélère.
Méthode : Prouver une inégalité en utilisant la convexité d'une fonctionVidéo https://youtu.be/AaxQHlsxZkg
Soit la fonction définie sur ℝ par -2 a) Étudier la convexité de la fonction . b) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction en -1. c) En déduire que pour tout réel négatif, on a : -2Correction
a) ′ =3 -4. =6-4 qui s'annule pour = 2 3Pour tout ≥
2 3 ≥0.Donc est concave sur M-∞;
2 3M et est convexe sur N
2 3 ;+∞N. b) L'équation de la tangente à la courbe de la fonction en -1 est de la forme : -1 -1 -1On a :
-1 =3× -1 -4× -1 =7 -1 -1 -2× -1 =-3 Donc, l'équation de la tangente en -1 est : =7 +1 -3 soit : =7+4 c) est concave sur M-∞; 2 3 M donc sur cet intervalle, la courbe représentative de est située en dessous de ses tangentes. Soit, en particulier, la courbe de est située en dessous de la tangente en -1. 0 7 10 - O + Convexité de concave convexe 9On a ainsi,
2 3 M.Soit
-2 2 3 M et donc en particulier pour tout négatif.Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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