Fonction carré et fonctions associées
appelle la courbe une parabole d'équation y = x². 2- Parité. La représentation graphique de la fonction carré possède un axe de symétrie qui est l'axe des
I. Sens de variation dune fonction ; extréma
2) Cas d'une fonction dérivable ou monotone sur un intervalle I de IR : a) Observation des fonctions de référence : x ? x². Tableau de variation :.
Seconde Cours – fonction carrée et fonctions de degré 2
Propriété : Dans un repère la courbe représentative de la fonction carré est située au dessus de l'axe des abscisses. En effet
FICHE METHODE sur les FONCTION CARREE I) A quoi sert la
R(x) = x(100 –x) = 100x – x² . b) Remarques : Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de ces évolutions.
Dérivation
Soit f la fonction définie par f(x) = x² – 2. Cette fonction est dérivable en 2 et f '(2) = 4. L'équation de la tangente en 2 est y = f '(2)(x – 2) + f(2).
CHAPITRE 7 – Fonction carré et fonction inverse
Cours de Mathématiques – Classe de Seconde - CHAPITRE 7 – Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f(x) = x².
FONCTION LOGARITHME
Etudier la limite en +? de chacune des fonctions suivantes. a) Pour tout réel x > 3 f(x) = ln(x² – 3x + 1). b) Pour
FONCTIONS DE REFERENCE
Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 ? 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+????? . Soit a et b deux nombres réels
Correction (très rapide) des exercices de révision
f(x)=x² f(x)=1/x. 2. Donne sans aucun calcul et sans utiliser la calculatrice
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Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f (x) = x2 Propriété : La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle
[PDF] LES FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques
On considère la fonction f définie par f(x) = x2 1) Compléter le tableau de valeurs suivant : x -3 -2 -1 0
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a) Le graphe de (xy) ?? x + y + 1 est le plan passant par (001) (102) et (012) b) Le graphe de (xy) ?? ?1 ? x2 ? y2 est ”l'hémisph`ere nord”
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FORMULAIRE d'INTÉGRATION Dans ce qui suit "c" est une constante réelle PRIMITIVES connues en terminale ? a dx = ax + c ? x dx = x2 2 + c ? xm dx =
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Dans ce module il est question de fonctions de plusieurs variables et d'équations différentielles Certains passages de ce cours comportent des trous ils sont
[PDF] Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables Limites dans R
Exercice 6 Déterminer et représenter le domaine de définition maximal des fonctions de deux variables suivantes : f1 : (x y) ?? ??y + x2
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Pour calculer cette intégrale il suffit de trouver une primitive de f c'est-`a-dire une fonction F dont la dérivée est égale `a f ; on a alors ?
[PDF] Feuille 9 Limites et continuité des fonctions
Feuille 9 Limites et continuité des fonctions Exercice 1 Calculer les limites suivantes : a) lim x!+1 2x + 5 3x 4 b) lim x!2 x2
[PDF] GENERALITES SUR LES FONCTIONS
f est une fonction définie sur un intervalle I Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels x1 et x2 de I si x1 ? x2 alors f(x1) ?
Comment calculer la fonction carré ?
La fonction carré est la fonction f définie sur ? qui, à tout réel x, associe son carré x2, soit f(x) = x2.Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le planComment déterminer le domaine de définition d'une fonction à plusieurs variables ?
Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables), l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ). f : R×R ? R (x,y) ? 1 x ? y . D(f ) = {(x,y) ? R×R: x = y}.- 0 a > , alors f est croissante sur ?. 0 a < , alors f est décroissante sur ?. 0 a = , alors f est constante sur ?.
Fonction carré et fonctions associées
A. Fonction carré
La fonction carré est la fonction qui à tout réel x associe le réel x².1- Représentation graphique
Commençons par construire la représentation graphique de la fonction carré à partir d'un tableau de valeurs. x-4-3-2-101234 x²16941014916 On obtient la représentation graphique ci-contre, on appelle la courbe une parabole d'équation y = x².2- Parité
La représentation graphique de la fonction carré possède un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées. Le segment [MM'] joignant deux points de la courbe d'abscisses opposées est coupé perpendiculairement en son milieu par l'axe des ordonnées. Celui-ci est donc un axe de symétrie. Voyons comment cette propriété géométrique se traduit de façon algébrique. Pour tout réel x, l'image de x est x² et l'image de -x est (-x)² qui est aussi égal à x². Ainsi, pour tout réel x, x et -x ont la même image. a) DéfinitionUne fonction f est paire si pour tout réel x de son ensemble de définition, le nombre -x fait aussi
partie de l'ensemble de définition et f (-x) = f (x). La fonction carré est donc un exemple de fonction paire. b) Propriété La représentation graphique de toute fonction paire admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.3- Tableau de variations
La représentation graphique de la fonction carrée nous suggère le tableau de variations suivant :
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Notons que 0 est un minimum pour x², car un carré est toujours positif.4- Équation x² = a
Soit a un nombre réel.
Si a < 0, alors l'équation x² = a n'a pas de solutions car un carré est toujours positif. Si a = 0, alors l'équation x² = 0 a une solution unique qui est 0.B. Fonctions polynômes du second degré
1- Définition
On dit qu'une fonction f est un polynôme du second degré s'il existe trois réels a, b et c avec
a ≠ 0 tels que f (x) = ax² + bx + c.Exemples
a) La fonction carré est une fonction polynôme du second degré avec a = 1 et b = c = 0.b) La fonction f définie par f (x) = -x² + 2x - 3 est une fonction polynôme du second degré avec
a = -1, b = 2 et c = -3. c) La fonction g définie par g(x) = x22-4 est une fonction polynôme du second degré avec
a = 12, b = 0 et c = -4.
2- Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. On peut distinguer deux cas selon le signe du coefficient de x².Si a > 0
La parabole présente un minimum et ses deux branches sont tournées vers le haut.Si a < 0 La parabole présente un maximum et ses deux branches sont tournées vers le bas.KB 2 sur 3
x x² - ∞ + ∞ 0 03- Forme canonique
Si f est la fonction polynôme du second degré définie par f (x) = ax² + bx + c (avec a ≠ 0),
alors il existe deux réels et tels que f (x) = a(x - )² + .La forme f (x) = a(x - )² + est appelée la forme canonique de f . Elle permet de construire le
tableau de variations de f et de trouver son extremum.Propriété
Soit f la fonction polynôme du second degré dont la forme canonique est f (x) = a(x - )² +
(avec a ≠ 0)Si a > 0, f a le tableau de variations suivant :
f a un minimum égal à et atteint pour x = .Si a < 0, f a le tableau de variations suivant :
f a un maximum égal à et atteint pour x = .Exemples
a) Soit f définie par f(x) = x² - 4x + 5. Montrer que f (x) = (x - 2)² + 1, en déduire l'extremum de f. (x - 2)² + 1 = x² - 4x + 4 + 1 = x² - 4x + 5 = f (x).La forme canonique de f est donc f (x) = (x - 2)² + 1, on en déduit que f possède un minimum
égal à 1 et atteint pour x = 2.
b) Soit g définie par g(x) = -2x² + 4x + 6. Montrer que g(x) = -2(x - 1)² + 8, en déduire l'extremum de f. -2(x - 1)² + 8 = -2(x² - 2x + 1) + 8 = -2x² + 4x - 2 + 8 = -2x² + 4x + 6 = g(x).La forme canonique de g est donc g(x) = -2(x - 1)² + 8, on en déduit que g possède un maximum
égal à 8 et atteint pour x = 1.
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