Fonction carré et fonctions associées
appelle la courbe une parabole d'équation y = x². 2- Parité. La représentation graphique de la fonction carré possède un axe de symétrie qui est l'axe des
I. Sens de variation dune fonction ; extréma
2) Cas d'une fonction dérivable ou monotone sur un intervalle I de IR : a) Observation des fonctions de référence : x ? x². Tableau de variation :.
Seconde Cours – fonction carrée et fonctions de degré 2
Propriété : Dans un repère la courbe représentative de la fonction carré est située au dessus de l'axe des abscisses. En effet
FICHE METHODE sur les FONCTION CARREE I) A quoi sert la
R(x) = x(100 –x) = 100x – x² . b) Remarques : Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de ces évolutions.
Dérivation
Soit f la fonction définie par f(x) = x² – 2. Cette fonction est dérivable en 2 et f '(2) = 4. L'équation de la tangente en 2 est y = f '(2)(x – 2) + f(2).
CHAPITRE 7 – Fonction carré et fonction inverse
Cours de Mathématiques – Classe de Seconde - CHAPITRE 7 – Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f(x) = x².
FONCTION LOGARITHME
Etudier la limite en +? de chacune des fonctions suivantes. a) Pour tout réel x > 3 f(x) = ln(x² – 3x + 1). b) Pour
FONCTIONS DE REFERENCE
Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 ? 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+????? . Soit a et b deux nombres réels
Correction (très rapide) des exercices de révision
f(x)=x² f(x)=1/x. 2. Donne sans aucun calcul et sans utiliser la calculatrice
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Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f (x) = x2 Propriété : La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle
[PDF] LES FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques
On considère la fonction f définie par f(x) = x2 1) Compléter le tableau de valeurs suivant : x -3 -2 -1 0
[PDF] Fonctions de deux variables
a) Le graphe de (xy) ?? x + y + 1 est le plan passant par (001) (102) et (012) b) Le graphe de (xy) ?? ?1 ? x2 ? y2 est ”l'hémisph`ere nord”
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FORMULAIRE d'INTÉGRATION Dans ce qui suit "c" est une constante réelle PRIMITIVES connues en terminale ? a dx = ax + c ? x dx = x2 2 + c ? xm dx =
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Dans ce module il est question de fonctions de plusieurs variables et d'équations différentielles Certains passages de ce cours comportent des trous ils sont
[PDF] Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables Limites dans R
Exercice 6 Déterminer et représenter le domaine de définition maximal des fonctions de deux variables suivantes : f1 : (x y) ?? ??y + x2
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Pour calculer cette intégrale il suffit de trouver une primitive de f c'est-`a-dire une fonction F dont la dérivée est égale `a f ; on a alors ?
[PDF] Feuille 9 Limites et continuité des fonctions
Feuille 9 Limites et continuité des fonctions Exercice 1 Calculer les limites suivantes : a) lim x!+1 2x + 5 3x 4 b) lim x!2 x2
[PDF] GENERALITES SUR LES FONCTIONS
f est une fonction définie sur un intervalle I Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels x1 et x2 de I si x1 ? x2 alors f(x1) ?
Comment calculer la fonction carré ?
La fonction carré est la fonction f définie sur ? qui, à tout réel x, associe son carré x2, soit f(x) = x2.Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le planComment déterminer le domaine de définition d'une fonction à plusieurs variables ?
Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables), l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ). f : R×R ? R (x,y) ? 1 x ? y . D(f ) = {(x,y) ? R×R: x = y}.- 0 a > , alors f est croissante sur ?. 0 a < , alors f est décroissante sur ?. 0 a = , alors f est constante sur ?.
DérivationA. Nombre dérivé1- Limite finie d'une fonction en 0.Soit f une fonction définie sur D tel que 0 est à l'intérieur de D ou est une borne de D.On dit que f a pour limite le nombre l lorsque x tend vers 0 et on écrit limx0
fx=l si les nombres f(x) peuvent devenir aussi proches de l qu'on le désire pour x suffisamment proche de 0.Exemple : limx052x=5 en effet pour que 5 + 2x soit compris entre 5 - e et 5 + e, c'est à dire 5 - e < 5 + 2x < 5 + e, il suffit de choisir x entre - e/2 et e/2.2- Fonction dérivable en un pointSoit f une fonction et a un point de son ensemble de définition.Dire que la fonction f est dérivable en a signifie que la fonction qui à h associe
fah-fah admet une limite finie lorsque h tend vers 0.Cette limite est le nombre dérivé de f en a, on la note f '(a).
f'a=limh0 fah-fa hExemple :Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 2. Montrons que f est dérivable en 2 et calculons f'(2).
f2h-f2 h=2h2 -2 -2 h=4hh2 h=4 h et limh04h=4.
On en déduit que f est dérivable en 2 et que f '(2) = 4.3- Interprétation graphique du nombre dérivéSoit f une fonction dérivable en a . On appelle C la représentation graphique de f dans un
repère. La courbe C admet une tangente au point d'abscisse a et f '(a) est le coefficientdirecteur de cette tangente.Une équation de la tangente au point d'abscisse a est y = f '(a)(x - a)+ f (a).
Exemple
Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 2. Cette fonction est dérivable en 2 et f '(2) = 4. L'équation de la tangente en 2 est y = f '(2)(x - 2) + f(2) soit y = 4(x - 2) + 2 soit y = 4x - 6.La fonction
x4x-6 est une approximation affine de la fonctionxx2 -2 au voisinage de 2.Pour x proche de 2, 4x - 6 et x² - 2 donnent des résultats très
voisins.KB 1 sur 4 B. Fonctions dérivées des fonctions usuellesSoit f une fonction dérivable sur D.La fonction qui à x associe f '(x), le nombre dérivé de f en x, est appelée fonction dérivée de f
sur D et on la note f '.Le tableau suivant donne les fonctions dérivées des fonctions usuelles.Fonction constanteℝk0
Fonction affineℝax+ba
Carréℝx2 2x
Cubeℝx3 3x2
Puissance de xℝxn (n > 0)n xn-1
Fonction inverseℝ+1
x -1 x2Fonction racine carréeℝ+* x12xC. Opérations sur les fonctions dérivables1- Somme et produit par un réelSoient u et v deux fonctions dérivables sur D et k un réel.La fonction dérivée de u + v est (u + v)' = u' + v'.La fonction dérivée de ku est (ku)' = ku'.ExempleCalculer la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f (x) = 2x² - 3x + 5.La dérivée de x² est 2x, donc la dérivée de 2x² est 2 x 2x = 4x.
La dérivée de - 3x est - 3.
La dérivée de 5 est 0.On en déduit que la dérivée de f est f '(x) = 4x - 3.2- Produit et quotient de deux fonctionsSoient u et v deux fonctions dérivables sur D.La fonction dérivée de uv est (uv)' = u'v + v'u.Si v ne s'annule pas sur D, - la fonction dérivée de
1 v est 1 v'=-v' v2 - la fonction dérivée de u v est u v'=u'v-v'uv2 ExempleSoit f la fonction définie sur ℝ par f (x) = (2x + 1)(x² - 3).On pose u(x) = 2x + 1, d'où u'(x) = 2 et v(x) = x² - 3, d'où v'(x) = 2x.
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On a alors : f '(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x) = 2(x² - 3) + 2x(2x + 1) = 2x² - 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x - 6.Remarque : on aurait pu développer f (x); f(x) = 2x3 + x2 - 6x - 3 d'où f '(x) = 6x2 + 2x - 6.
3- Dérivée de u(ax + b)
Soit u une fonction dérivable sur D, a et b deux réels tels que ax + b ∈ D.La dérivée de la fonction f définie par f (x) = u(ax + b) est f '(x) = u'(ax + b)×a.
RemarqueLa fonction f est la composée de la fonction u et de la fonction affine définie par ax + b.
Exemple Soit f la fonction définie sur ℝ+ par fx=2x3.On pose u(x) =
x; on a alors f (x) = u(2x + 3).Comme u'(x) =
12x, la dérivée de f est f'x=1
2 2x3×2 =1
2x3.D. Dérivée et sens de variationSoit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit f ' sa dérivée.Si f ' est strictement positive sur I, sauf peut être en quelques points où f ' s'annule, alors f est
strictement croissante sur I.Si f ' est strictement négative sur I, sauf peut être en quelques points où f ' s'annule, alors f
est strictement décroissante sur I.Si f ' est nulle sur I, alors f est constante sur I.Exemple Etudier les variations de la fonction f définie par f (x) = x² - 3x sur ℝ.
La dérivée de f est f '(x) = 2x - 3.
C'est une fonction affine qui s'annule pour x = 3/2.Sur ]-∞ ; 3/2] f ' est négative donc f est décroissante.Sur [3/2 ; +∞[ f ' est positive donc f est croissante.On résume cette étude dans le tableau suivant :Remarque La fonction f admet un minimum en x = 3/2.Quel que soit x, f (x) f (3/2).Comme la dérivée s'annule en x = 3/2, la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des
abscisses.KB 3 sur 4x signe de f '(x) f (x)3/2- ∞+∞ -+0 - 9/4 E. Approximation affine d'une fonctionSoit f une fonction dérivable en x0. Soit la fonction définie par h=fx0h-fx0 h-f'x0.On a d'une part
limh0h=0, et d'autre part fx0h=fx0hf'x0hh.
Lorsque h est petit, le terme
hh est " très » petit, on peut le " négliger ».On a ainsi :
fx0h≈fx0hf'x0 qui donne une approximation affine de f en x0.
Applications •pour
fx=x2 et x0=1, on obtient : 1h2 ≈1 2h. •pour fx=1 x et x0=1, on obtient : 11h≈1-h.
•pour fx=x et x0=1, on obtient : 1h≈1h 2.KB 4 sur 4
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