Fonction carré et fonctions associées
appelle la courbe une parabole d'équation y = x². 2- Parité. La représentation graphique de la fonction carré possède un axe de symétrie qui est l'axe des
I. Sens de variation dune fonction ; extréma
2) Cas d'une fonction dérivable ou monotone sur un intervalle I de IR : a) Observation des fonctions de référence : x ? x². Tableau de variation :.
Seconde Cours – fonction carrée et fonctions de degré 2
Propriété : Dans un repère la courbe représentative de la fonction carré est située au dessus de l'axe des abscisses. En effet
FICHE METHODE sur les FONCTION CARREE I) A quoi sert la
R(x) = x(100 –x) = 100x – x² . b) Remarques : Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de ces évolutions.
Dérivation
Soit f la fonction définie par f(x) = x² – 2. Cette fonction est dérivable en 2 et f '(2) = 4. L'équation de la tangente en 2 est y = f '(2)(x – 2) + f(2).
CHAPITRE 7 – Fonction carré et fonction inverse
Cours de Mathématiques – Classe de Seconde - CHAPITRE 7 – Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f(x) = x².
FONCTION LOGARITHME
Etudier la limite en +? de chacune des fonctions suivantes. a) Pour tout réel x > 3 f(x) = ln(x² – 3x + 1). b) Pour
FONCTIONS DE REFERENCE
Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 ? 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+????? . Soit a et b deux nombres réels
Correction (très rapide) des exercices de révision
f(x)=x² f(x)=1/x. 2. Donne sans aucun calcul et sans utiliser la calculatrice
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Définition : La fonction carré est la fonction f définie sur R par f (x) = x2 Propriété : La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle
[PDF] LES FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques
On considère la fonction f définie par f(x) = x2 1) Compléter le tableau de valeurs suivant : x -3 -2 -1 0
[PDF] Fonctions de deux variables
a) Le graphe de (xy) ?? x + y + 1 est le plan passant par (001) (102) et (012) b) Le graphe de (xy) ?? ?1 ? x2 ? y2 est ”l'hémisph`ere nord”
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FORMULAIRE d'INTÉGRATION Dans ce qui suit "c" est une constante réelle PRIMITIVES connues en terminale ? a dx = ax + c ? x dx = x2 2 + c ? xm dx =
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Dans ce module il est question de fonctions de plusieurs variables et d'équations différentielles Certains passages de ce cours comportent des trous ils sont
[PDF] Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables Limites dans R
Exercice 6 Déterminer et représenter le domaine de définition maximal des fonctions de deux variables suivantes : f1 : (x y) ?? ??y + x2
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Pour calculer cette intégrale il suffit de trouver une primitive de f c'est-`a-dire une fonction F dont la dérivée est égale `a f ; on a alors ?
[PDF] Feuille 9 Limites et continuité des fonctions
Feuille 9 Limites et continuité des fonctions Exercice 1 Calculer les limites suivantes : a) lim x!+1 2x + 5 3x 4 b) lim x!2 x2
[PDF] GENERALITES SUR LES FONCTIONS
f est une fonction définie sur un intervalle I Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels x1 et x2 de I si x1 ? x2 alors f(x1) ?
Comment calculer la fonction carré ?
La fonction carré est la fonction f définie sur ? qui, à tout réel x, associe son carré x2, soit f(x) = x2.Comment Etudier une fonction à plusieurs variables ?
Ainsi, pour une fonction de deux variables (x, y) ?? f(x, y) : — le graphe de f est un sous-ensemble de l'espace R3 muni des coordonnées (x, y, z); — l'ensemble de définition de f est un sous-ensemble du plan horizontal muni des coor- données (x, y); — le dessin des lignes de niveau de f se situe lui-aussi dans le planComment déterminer le domaine de définition d'une fonction à plusieurs variables ?
Si f est une fonction (à 2 ou 3 variables), l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ). f : R×R ? R (x,y) ? 1 x ? y . D(f ) = {(x,y) ? R×R: x = y}.- 0 a > , alors f est croissante sur ?. 0 a < , alors f est décroissante sur ?. 0 a = , alors f est constante sur ?.
FICHE METHODE sur les FONCTION CARREE
a) Exemples :?. Son abscisse est égale à 0 mètres et il s"éloigne en accélérant de 5m.s-1 par seconde !
Comment varie son abscisse en fonction du nombre t de secondes ? f(t) = 2,5t² ?. Il a lâché la pierre du haut du pont ! A quelle distance du point de départ la pierre sera t-elle dans t secondes ? f(t) = 5t² ?. Il s"est entraîné 1 minute aujourd"hui et s"entraîne chaque jour 1 minute de plus que leprécédent ! Combien se sera t-il "entraîné au total dans x jours ? : f(x) = 0,5x² + 1,5x + 1
?. Un carré a un coté de x mètres ! Que vaut son aire en fonction de x ? : f(x) = x²?. Si le prix est de 100 euros, il en vend 0 et chaque fois qu"il baisse le prix de 1 euro, il en vend
1 de plus ! Quelle somme gagne t-il s"il baisse le prix de x euros ? R(x) = x(100 -x) = 100x - x²
b) Remarques :Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de
ces évolutions. Les évolutions que l"on constate dans la réalité ne sont pas toutes de même nature
( la vitesse de croissance d"un arbre, la position d"une pierre en chute libre,...), à une certaine
" façon » d"évoluer correspond un certain type de fonction, de la même façon que les fonctions
affines permettent de décrire une " sorte » d"évolution, certains phénomène peuvent-être décrits
grâce à la fonction carrée, fonction dont il faut connaître les propriétés principales !
Définition 1 : ( fonction carrée )
La fonction carrée associe à tous nombre réel x Î IR le carré de ce nombre : x² ( x² = x´ x )
On note : f : ??? IR
¾¾® IR
x ½¾¾® x² ou encore : f(x) = x² pour x Î IR .Exemples :
.Le carré de 3 est : 3² = 9. .Le carré de -3 est : (-3)² = 9. .Le carré de2 est : (2)² = 2.
I) A quoi sert la fonction carrée ?
II) Qu"est ce que la fonction carrée ?
La fonction carrée a des propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes naturels
qu"elle permet de décrire. Définition 2 : GRAPHIQUE DE LA FONCTION CARREE . La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole d"équation y = x² . Voici un tableau de valeurs de la fonction carrée : On place dans un repère les points de coordonnées (x ; y = f(x) ) et on obtient le graphique partiel de la fonction carrée ci dessous. ( on joint les points par une courbe intuitive ) .Propriété 1 : PARITE DE LA FONCTION CARREE
La fonction carrée est telle que pour tout nombre réel x Î IR on a x² = (-x)² ( le carré d"un nombre est égal au carré de l"opposé de ce nombre ) On dit alors que la fonction carrée est " paire ».Une conséquence est que la courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à (oy).
Preuve
(-x)² = (-1´ x)² = (-1)² ´ x² = 1´x² = x² C.Q.F.D.Exemples :
? (-1) ² = 1² = 1 ? (-10) ² = 10² = 100 ? (-2) ² = 2² = 2 x y -5-4-3-2-1012345 0 5 10 15 20VALEURS de f(x) = x²
VALEURS de x
III) Propriétés de la fonction carrée
Valeurs de x -5 - 4,5 - 4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 - 0,5 Valeur de x² 25 20,25 16 12,25 9 6,25 4 2,25 1 0,25 Valeurs de x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Valeur de x² 0,25 1 2,25 4 3,25 9 12,25 16 20,25 25 " La courbe est une parabole qui passe par l"origine » Propriété 2 : SENS DE VARIATION DE LA FONCTION CAREE . Pour la fonction carrée, on a le tableau de variations suivant : Valeurs de x -¥¥¥¥ 0 + ¥¥¥¥Variations de
x ½¾¾® x² 0 La fonction carrée est décroissante sur ]- ¥¥¥¥ ; 0 ]. ( plus un nombre négatif est grand et plus son carré est petit ) La fonction carrée est croissante sur [ 0 ; + ¥¥¥¥ [. ( plus un nombre positif est grand et plus son carré est grand )Preuve :
Démontrons que : si a < b < 0 alors a² > b² ( ce qui montrera la décroissance sur ]-
¥ ; 0 ] )
Supposons que a < b < 0
l"inégalité a² > b² est équivalente à a² - b² > 0 mais aussi à (a - b)(a +b) > 0 ( en factorisant )
or ( a - b) est négatif car a < b et ( a + b) est négatif car a et b sont négatifs, donc par produit,
(a - b)(a +b) est positif donc (a - b)(a +b) > 0 donc a² > b² finalement : si a < b < 0 alors a² > b² .On démontre la croissance sur [0 ; +
¥ [ de la même façon :
Supposons que a > b > 0
Donc (a - b) est positif et (a + b) est positif donc (a - b)(a +b) > 0 donc a² > b² finalement : si a > b > 0 alors a² > b² . C.Q.F.DPropriété 3 :
INEGALITE ET FONCTION CAREE .
la propriété suivante sert à démontrer que certaines fonctions en rapport avec la fonction
carrée sont croissantes ou décroissantes elle est démontrée ci dessus.Quels que soient les nombres réels a et b :
Pour a et b négatifs : Si a < b alors a² > b²Si on élève au carré les membres d"une inégalité entre des nombres négatifs alors on obtient
une inégalité de sens inverse. Pour a et b positifs : si a < b alors a² < b²Si on élève au carré les membres d"une inégalité entre des nombres positifs alors on obtient
une inégalité du même sens que la première.Exemples :
? -3 < -1 donc (-3)² > (-1)² donc 9 > 1. ? Si x < -4 alors x² > 16
? 2 < 5 donc 2² < 5² donc 4 < 25 . ? Si x > 3 alors x² > 9Propriété 4 : SIGNE DE LA FONCTION CARREE.
Valeurs de x -¥¥¥¥ 0 + ¥¥¥¥Variations
de x ½¾¾® x² 0Signe de x²
+ 0 + Quel que soit le nombre réel x Î IR , le carré x² de ce nombre est positif ou nulPreuve : si x est négatif alors x ´ x = x² est positif et si x > 0 alors x ´ x = x² > 0.
Exemple : (-2)² = 4 est positif
Propriété 5 : MINIMUM DE LA FONCTION CARREE. Preuve : Résulte immédiatement des variations de la fonction carrée. Application : ( x - 4)² + 10 est minimum pour x - 4 = 0 soit x = 4 et le minimum vaut 10.Propriété 6 :
EQUATION ET FONCTION CARREE.
Preuve :
.Si a = 0 : x² = 0 Û x´x = 0 Û x = 0 ou x = 0 Û x = 0.Si a < 0 : x² = a Û x² est négatif strict, ce qui est impossible car le carré d"un réel est positif.
Donc x² = a n"a pas de solution réelle.
.Si a > 0 : x² = a Û x² = ( a)² Û x² - (a)² = 0 Û (x - a)(x + a) = 0Û x -
a = 0 ou x + a = 0 Û x = -a ou x = -a .C.Q.F.D.
Application :
? x² = -7 n"a aucune solution dans IR et S = AE. ? x² = 7 a deux solutions x = 7 ou x = -7 donc S = {-7 , 7 }.Propriété 7 :
INEQUATION ET FONCTION CARREE. (admis )
Applications :
? x² < -7 n"a aucune solution dans IR donc S = AE.? x² > -7 S = IR. ? x² < 7 S = ]-7 ; 7 [. ? x² > 7 S = ]- ¥ ; -7 [ È ] 7 ; + ¥ [.
Le minimum de la fonction carrée vaut 0 et est atteint pour x = 0. Soit l" équation x² = a où a est un nombre réel donné et x un réel cherché. On distingue trois cas selon les valeurs de " a ». Pour a positif strict : Si x² = a alors x = a ou x = -aPour a nul: Si x² = 0 alors x = 0
Pour a négatif strict : x² = a est une inégalité fausseSoient les inéquations x² > a , x² < a où a est un nombre réel donné et x un réel cherché.
On distingue 3 cas selon les valeurs de " a ».
Pour a positif strict: Si x² > a alors x < a ou x > a c"est à dire x Î]- ¥,-a [ È ]a , + ¥[.
Si x² < a alors -a < x < a c"est à dire x Î ]-a , a[. ( voir la courbe de la propriété 6 ci dessus pour une illustration ) Pour a = 0 : Si x² > 0 alors x ÎÎÎÎ IR- {0} x² < 0 est une inégalité fausse pour toute valeur de x ÎÎÎÎ IR Pour a négatif strict : Si x² > a alors x ÎÎÎÎ IR x² < a est une inégalité fausse pour tout x ÎÎÎÎ IR y = a a>0 -a a y = a a < 0quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] arctan valeurs particulières
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