Première STI 2D - Cercle trigonométrique et mesures dangles
Le sens positif du cercle trigonométrique correspond au sens de rotation de la terre. II) Enroulement de la droite autour du cercle trigonométrique. Le radian.
Chapitre 3 TRIGONOMETRIE 1re STI2D - spé
On attribue à Hipparque de Nicée (-190 ; -120) les premières tables trigonométriques. Elles font correspondre l'angle au centre et la longueur de la corde
Cosinus sinus dangles orientés
première STI2D
Classe de Première STI2D - Chapitre 2 - Trigonométrie
Cours de Mathématiques – Classe de Première STI2D - Chapitre 2 - Trigonométrie b) Radians degrés et grades. Les angles se mesurent principalement en degrés
Exercices supplémentaires : Trigonométrie
Exercices supplémentaires : Trigonométrie. Partie A : Cercle trigonométrique cosinus et sinus. Exercice 1. Convertir en radians les mesures d'angles
Lycée militaire de Saint-Cyr Exercices sur la trigonométrie 1re STI2D
Exercice 1. Sur les figures ci-dessous ABCD est un carré et IMNPQR est un hexagone régulier
Angles orientés cours
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Nombres complexes cours
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TRIGONOMÉTRIE
Première STI2D 3 année 2013-2014. TRIGONOMÉTRIE. Exercices • 1/2. TRIGONOMÉTRIE. NOM : Exercice 1. Sur le cercle trigonométrique ci-.
STI2D - 1N3 - F a. Repérage dun point sur le cercle trigonométrique
STI2D - 1N3 - FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES. COURS (1/6). PROGRAMMES. CAPACITES ATTENDUES. COMMENTAIRES. Fonctions circulaires. Éléments de trigonométrie.
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Le cercle trigonométrique de centre O est un cercle qui a pour rayon 1 et qui est muni d'un sens direct : le sens inverse des aiguilles d'une montre Remarque :
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Equations trigonométriques I) Equations de la forme cos = cos a a est un nombre réel donné • Si a est différent de 0 +
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Fichier: Type: Cours: File type: pdf : Télécharger: pdf icon Description: Cours de mathématiques 1ère STI2D - trigonométrie; Niveau: Première STI2D
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Propriété : Un angle plein (tour complet) mesure 2? radians Démonstration : La longueur du cercle trigonométrique est égale à 2? En effet son rayon est 1
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28 jui 2015 · Cosinus sinus d'angles orientés cours classe de première STI2D j) un repère orthonorm—l et C le ™er™le trigonométrique de ™entre yF
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Angles orientés cours première STI2D F Gaudon 28 juin 2015 Table des matières 1 Cercle trigonométrique et radian 2 2 Angles orientés
[PDF] ij) Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O de rayon 1
b) Calculer cos( ? 10) LUC GIRAUD Page 6 sur 7 Page 7 Lycée Oiselet TRIGONOMÉTRIE : EXERCICES 1re STI2D EXERCICE 3 Résoudre les équations suivantes
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Première STI2D 3 année 2013-2014 TRIGONOMÉTRIE Exercices • 1/2 TRIGONOMÉTRIE NOM : Exercice 1 Sur le cercle trigonométrique ci-
Comment retenir les formules de trigonométrie ?
En prenant l'exemple de cos(?/2 + x), on commence de ?/2, puis on rajoute x, on regarde alors dans quel intervalle on se situe (ici ]?/2 ; ?[ , et l'on remarque le sinus est négatif et que le cosinus est positif, on a donc cos(?/2 + x) = – sin(x), ainsi que sin(?/2 + x) = cos(x).Quelles sont les trois formules de trigonométrie ?
Le sinus, le cosinus et la tangente sont les trois fonctions de trigonométrie que vous devez retenir.Quelle est la formule fondamentale liant cosinus et sinus ?
Cosinus  = Côté adjacent (noté a) / Hypoténuse (noté h).
Éléments de trigonométrie : cercle
trigonométrique, radian, mesure d'un angle orienté, mesure principale.Fonctions de référence :
x → cos x et x → sin x. - Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour : - déterminer les cosinus et sinus d'angles associés ; - résoudre dans R les équations d'inconnue t : cos t = cos a et sin t = sin a. - Connaître la représentation graphique de ces fonctions. - Connaître certaines propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité. On fait le lien entre : - les résultats obtenus en utilisant le cercle trigonométrique ; - les représentations graphiques des fonctions x cos x et x → sin x.Selon les besoins, on peut introduire les
coordonnées polaires pour l'étude de certaines situations.La lecture graphique est privilégiée.
I.MESURE D'UN ANGLE EN RADIANS
a. Repérage d'un point sur le cercle trigonométriqueOn appelle
cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 (le sens anti- horaire), autour du quel on a " enroulé » la droite numérique. L'origine est le point I. On définit ensuite un sens de rotation appelé " sens direct » A tout réel x, on associe un point M sur le cercle de la façon suivante : - si x > 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens direct. - si x < 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens indirect.La longueur de l'arc IM est alors ||x.
Exemples :
La longueur totale du cercle est : 2 × π × R = 2 × π × 1 = 2πLe point J est repéré par le nombre :
2π 42 (un quart de tour dans le sens direct)
Le point J' est repéré par le nombre : -
2 (un quart de tour dans le sens indirect) ou 3π2 (trois quarts de tour
dans le sens direct) b. Radian La longueur de l'arc intercepté par un angle au centre du cercle trigonométrique est proportionnelle à la mesure de l'angle en degré. Cet angle est orienté, c'est-à-dire positif ou négatif suivant le sens dans lequel on tourne. Cette longueur est appelée mesure en radians de l'angleExemples :
IOA = 45° = 1
8 de tour = 1
8 × 2π = π
4 radIOB = 60° = 1
6 de tour = 16 × 2π = π
3 radIOC = 120° = 1
3 de tour = 13 × 2π = 2π
3 radIOD = 30° = 1
12 de tour (sens indirect) = - 1
12 × 2π = - π
6 radIOI' = 180° = un demi-tour = π rad
O II' J J ' M O II' J J ' 120°60°
45°
30°
A B C D www.mathsenligne.com STI2D - 1N3 - FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES COURS (2/6)Remarque :
Tout angle admet une infinité de mesures. Par exemple l'angle 0 peut aussi avoir pour mesure 2π (un tour),
4π (deux tours...), -2π...
On appellera mesure principale LA mesure en radian appartenant à l'intervalle ]-π ;π]. Toutes les autres
mesures sont obtenues en ajoutant/retranchant un nombre entier de " tours » de mesure 2π .Exemple :
Déterminer la mesure principale de l'angle
43π
4 On va retrancher un certain nombre de fois 2π c'est à dire 8π 4 pour obtenir une mesure entre -π et π.43π
4 - 8π4 = 35π
4 ; 35π
4 - 8π
4 = 27π
4 ; 27π
4 - 8π
4 = 19π
4 ; 19π
4 - 8π
4 = 11π
4 ; 11π
4 - 8π
4 = 3π
4. Et 3π 4 ? ]-π ;π]. C'est la mesure principale de cet angle. II.COSINUS ET SINUS
a. Définition Soit x la mesure en radian d'un angle, et M le point tel que IOM = xOn appelle cos x l'abscisse de M.
On appelle sin x l'ordonnée de M.
Remarques :
- Pour tout x, on a -1 cos x 1 et -1 sin x 1 - Dans le triangle OAM rectangle en A on a OM = 1, OA = cos x et AM = sin x, alors d'après le théorème de Pythagore OA² + AM² = OM² et donc : cos²x+ sin²x = 1 b. Signe c. PropriétésPour tout x, on a :
-1 cos x 1 -1 sin x 1 cos²x+ sin²x = 1 -π = π 0π 2 2 sin x ≥≥≥≥ 0 cos x ≥≥≥≥ 0 sin cos x ≥≥≥≥ 0 sin x ≥≥≥≥ 0 O I J M x A B www.mathsenligne.com STI2D - 1N3 - FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES COURS (3/6) d. Valeurs remarquables d. Propriétés de symétrie cos (-x) = cos x sin (-x) = - sin x cos (π - x) = - cos x sin (π - x) = sin x cos (π + x) = - cos x sin (π + x) = - sin x cos (π2 - x) = sin x sin (π
2 - x) = cos x
cos (π2 + x) = - sin x sin (π
2 + x) = cos x
III.LES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
a. La fonction cosinusTout nombre réel a un cosinus (c'est l'abscisse du point M associé à ce nombre sur le cercle
trigonométrique). On appelle fonction cosinus la fonction f : x cos x définie sur ]-∞ ; +∞[.Remarques :
- Puisque pour tout x, cos (x + 2π) = cos x, on n'étudiera la fonction que sur l'intervalle ]-π ; π]. On dit
que cette fonction est périodique, de période 2π.- Pour tout x, cos(-x) = cos(x), donc la fonction cosinus est paire (la courbe est donc symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées). Sens de variation de la fonction cosinus sur l'intervalle ]-ππππ ; ππππ] x (radians)0 ππππ
64 ππππ
3 ππππ
2 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 2 O 0 2 xʌ - xʌ + x-x
2 - x ʌ 2 + x -π = π 0π 2 2La fonction est
croissante et négative. (cos x varie de -1 à 0)La fonction est
décroissante et négative. (cos x varie de 0 à -1)La fonction est
croissante et positive. (cos x varie de 0 à 1)La fonction est
décroissante et positive. (cos x varie de 1 à 0) www.mathsenligne.com STI2D - 1N3 - FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES COURS (4/6)Conclusion :
Représentation graphique :
b. La fonction sinusTout nombre réel a un sinus (c'est l'ordonnée du point M associé à ce nombre sur le cercle trigonométrique).
On appelle fonction sinus la fonction f : x cos x définie sur ]-∞ ; +∞[.Remarque :
- Puisque pour tout x, sin (x + 2π) = sin x, on n'étudiera la fonction que sur l'intervalle ]-π ; π]. On dit
que cette fonction est périodique, de période 2π.- Pour tout x, sin(-x) = -sin(x), donc la fonction cosinus est impaire (la courbe est donc symétrique par
rapport à l'origine du repère). Sens de variation de la fonction sinus sur l'intervalle ]-ππππ ; ππππ] -π = π 0π 2 2La fonction est
décroissante et négative. (sin x varie de 0 à -1)La fonction est
décroissante et positive. (sin x varie de 1 à 0)La fonction est
croissante et négative. (si x varie de -1 à 0)La fonction est
croissante et positive. (sin x varie de 0 à 1) x cos x-π +π 0
-1 - 2 2 1 -1 00 2 3π2 - π
2 - 3π
2 π 2π- π -2π 1
-1 0 www.mathsenligne.com STI2D - 1N3 - FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES COURS (5/6)Conclusion :
Représentation graphique :
IV.EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
a. Equation du type " cos x = cos a »Exemple :
Résoudre sur [-2π ; 2π] l'équation : cos x = 1 2On sait que cos π
3 = 12, donc les solutions de l'équation sont de la forme :
x = π 3 + k2π ou x = - π3 + k2π avec k ?
C'est-à-dire : ...
-5ππππ 33 ; 7π
3 ; 13π
3 ... ou ... -7π
3 ; -ππππ
3 ; 5ππππ
3 ; 11π
3 ... donc S = { -5π
3 ; π
3 ; -π
3 ; 5π
3 } cos a = -1 L'équation cos x = -1 admet pour solution tous
les nombres sous la forme : x = ππππ + k2ππππ, avec k ???? -1 < cos a < 1 L'équation cos x = cos a admet pour solution tous les nombres sous la forme : x = a + k2ππππ ou x = -a + k2ππππ, avec k ???? cos a = 1 L'équation cos x = 1 admet pour solution tous les nombres sous la forme : x = k2ππππ, avec k ???? 2 O 0 2 x -x x sin x -π +π 0- 2 2 1 0 0 -10 2 3π2 - π
2 - 3π
2 π 2π- π -2π 1
-1 0 www.mathsenligne.com STI2D - 1N3 - FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES COURS (6/6) b. Equation du type " sin x = sin a »Exemple :
Résoudre sur [-2π ; 2π] l'équation : sin x = 1 2On sait que sin π
6 = 12, donc les solutions de l'équation sont de la forme :
x = π 6 + k2π ou x = 5π6 + k2π avec k ?
C'est-à-dire : ...
-11ππππ 66 ; 13π
6 ; 25π
6 ... ou ... -19π
6 ; -7ππππ
6 ; 5ππππ
6 ; 17π
6 ... donc S = { -11ππππ
6 ; -7ππππ
6 ; ππππ
6 ; 5ππππ
6 } sin a = -1 L'équation sin x = -1 admet pour solution tous les nombres sous la forme : x = - ππππ 2 + k2ππππ, avec k ???? -1 < sin a < 1 L'équation sin x = αααα admet pour solution tous les nombres sous la forme : x = a + k2ππππ ou x = ππππ - a + k2ππππ, avec k ???? sin a = 1 L'équation sin x = 1 admet pour solution tous les nombres sous la forme : x = ππππ 2 + k2ππππ, avec k ???? 2 O 0 2 xʌ - x
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