Chapitre 2 Continuité
Une fonction lipschitzienne est continue. En effet étant donnés un a ? X et un ? > 0
Fonctions continues et uniformement continues
Alors ƒ est uniformément continue sur I. Démonstration. Soit ƒ une fonction lipschitzienne sur I. Soit ? ? +. ? .
Continuité
15 févr. 2013 Une fonction Lipschitzienne sur un intervalle I est continue sur I. Démonstration. C'est une conséquence du théorème des gendarmes : 0 ?
Université Paul Sabatier 2011/12 - Exercice 1. (extrait capes 2012
19 janv. 2012 uniformément continue sur R. (b) La fonction h est-elle lipschitzienne sur R? (6) On considère les fonctions définies sur R+ par h1( ...
Fonctions continues - exercices
a) Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est continue sur I. b) Soient a et b deux réels tels que a<b. montrer que toute fonction de classe C1 sur
DÉRIVABILITÉ
existe même des fonctions qui sont continues sur tout Démonstration Si f est dérivable en a : ... La fonction f est K-lipschitzienne sur D si.
Espaces vectoriels normés
Démonstration Le fait que .2 soit une une norme a été prouvé dans la Sur l'espace E = C ([ab]) des fonctions continues sur le segment [a
INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
(ii) Toute fonction lipschitzienne sur un intervalle y est uniformément continue. Démonstration. (i) Évident ! S'il existe un ? UNIFORME valable pour tout
Chapitre 4. Théor`emes dexistence et dunicite
18 avr. 2011 Dans ce chapitre on donnera la démonstration du théor`eme de ... o`u f:U ? R × Rn ? Rn est une fonction lipschitzienne définie sur un.
Complément 1 Quelques démonstrations en théorie de lintégration
?. ? f (x)? f (y)?. ?. C ·
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Démonstration Soit ƒ une fonction lipschitzienne sur I Soit ? ? + ? Posons ? = k ?
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15 fév 2013 · Une fonction Lipschitzienne sur un intervalle I est continue sur I Démonstration C'est une conséquence du théorème des gendarmes : 0 ? f(x)
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Exercices 4 3 24 à 4 3 26 La notion d'application lipschitzienne est plus facile à appréhender que celle d'application uniformément continue car
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Démonstration : Le sens réciproque est immédiat : montrons le sens direct Par le théorème de prolongement des applications uniformément continues sur
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Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I (3) (a) Montrer que pour tous réels x et y on a : ? ?x?
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Démonstration La fonction f étant continue et l'intervalle [a b] fermé et borné d'après le théorème de Weierstrass on sait que f admet un maximum et un
Fonction Continue PDF Séquence Limite (mathématiques) - Scribd
Alors ¦ est uniformément continue sur I Démonstration Soit ¦ une fonction lipschitzienne sur I e Soit e Î *+ Posons h = Soient x et y dans I tels
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THÉORÈME 12 41 Une fonction lipschitzienne est continue Si une fonction f : I ? R est lipschitzienne sur l'intervalle I alors f est continue sur l'intervalle
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a) Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est continue sur I b) Soient a et b deux réels tels que a
Comment montrer que f est lipschitzienne ?
Une fonction f définie sur un intervalle I est lipschitzienne sur I s'il existe un réel k tel que : ?(x, y) ? I2, f(x) ? f(y) ? kx ? y. On dit aussi que f est k-lipschitzienne.Est-ce que toute fonction continue est lipschitzienne ?
Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.Comment démontrer qu'une fonction est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.- Propriétés : 1) Les fonctions x xn (n ?N ) et plus généralement les fonctions polynômes sont continues sur R .
Chapitre 4.
Th´eor`emes d"existence et d"unicite
()April 18, 2011 1 / 39Table des mati`eres
1Condition de Lipschitz
2Th´eor`eme du point fixe
3Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz
4Existence et unicite globale des solutions
()April 18, 2011 2 / 39 Dans ce chapitre on donnera la d´emonstration du th´eor`emede Cauchy-Lipschitz qui affirme l"existence et unicit´e des solutions de l"´equation diff´erentielle ?x?(t) = f(t,x(t)) x(t0) = x0
()April 18, 2011 3 / 39 Dans ce chapitre on donnera la d´emonstration du th´eor`emede Cauchy-Lipschitz qui affirme l"existence et unicit´e des solutions de l"´equation diff´erentielle ?x?(t) = f(t,x(t)) x(t0) = x0
o`uf : U?R×Rn→Rnest une fonctionlipschitzienned´efinie sur un sous-ensemble ouvertU?R×Rn`a valeurs dansRnetx : I→Rnune fonction inconnue d´efinie sur un intervalleIcontenantt0. ()April 18, 2011 3 / 39 Dans ce chapitre on donnera la d´emonstration du th´eor`emede Cauchy-Lipschitz qui affirme l"existence et unicit´e des solutions de l"´equation diff´erentielle ?x?(t) = f(t,x(t)) x(t0) = x0
o`uf : U?R×Rn→Rnest une fonctionlipschitzienned´efinie sur un sous-ensemble ouvertU?R×Rn`a valeurs dansRnetx : I→Rnune fonction inconnue d´efinie sur un intervalleIcontenantt0. On commence par un rappel sur les fonctions lipschitziennes. ()April 18, 2011 3 / 393. Condition de Lipschitz
D´efinition
1SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert. Une fonctionf : U→Rnest
ditek-lipschitziennesi ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?U ()April 18, 2011 4 / 393. Condition de Lipschitz
D´efinition
1SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert. Une fonctionf : U→Rnest
ditek-lipschitziennesi ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?U2Une fonction est ditelipschitziennesi elle estk-lipschitzienne pour
unk. ()April 18, 2011 4 / 393. Condition de Lipschitz
D´efinition
1SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert. Une fonctionf : U→Rnest
ditek-lipschitziennesi ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?U2Une fonction est ditelipschitziennesi elle estk-lipschitzienne pour
unk.3Une fonction est ditelocalement lipschitziennesi pour chaque point
a?Uil existe un voisinageVdea, tel quef|Vsoit lipschitzienne. ()April 18, 2011 4 / 393. Condition de Lipschitz
D´efinition
1SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert. Une fonctionf : U→Rnest
ditek-lipschitziennesi ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?U2Une fonction est ditelipschitziennesi elle estk-lipschitzienne pour
unk.3Une fonction est ditelocalement lipschitziennesi pour chaque point
a?Uil existe un voisinageVdea, tel quef|Vsoit lipschitzienne. Dans la proposition suivante on montrera qu"une fonction diff´erentiable est lipschizienne, si sa d´eriv´ee est born´ee. ()April 18, 2011 4 / 39Proposition
1Sif : U→Rnest diff´erentiable en chaque pointx?Ud"un
sous-ensembleUouvert et convexe, et||f?(x)||?kpour toutx?U alorsfestk-lipschitzienne dansU. ()April 18, 2011 5 / 39Proposition
1Sif : U→Rnest diff´erentiable en chaque pointx?Ud"un
sous-ensembleUouvert et convexe, et||f?(x)||?kpour toutx?U alorsfestk-lipschitzienne dansU.2Sif : U→Rnest de classeC1alors elle est localement
lipschitzienne. ()April 18, 2011 5 / 39Proposition
1Sif : U→Rnest diff´erentiable en chaque pointx?Ud"un
sous-ensembleUouvert et convexe, et||f?(x)||?kpour toutx?U alorsfestk-lipschitzienne dansU.2Sif : U→Rnest de classeC1alors elle est localement
lipschitzienne. D´emonstration.1) Par le th´eor`eme des accroissements finis on a ||f(x)-f(y)||?||x-y||sup x?U||f?(x)||?k||x-y||. ()April 18, 2011 5 / 39Proposition
1Sif : U→Rnest diff´erentiable en chaque pointx?Ud"un
sous-ensembleUouvert et convexe, et||f?(x)||?kpour toutx?U alorsfestk-lipschitzienne dansU.2Sif : U→Rnest de classeC1alors elle est localement
lipschitzienne. D´emonstration.1) Par le th´eor`eme des accroissements finis on a ||f(x)-f(y)||?||x-y||sup x?U||f?(x)||?k||x-y||.2) Sifest de classeC1, alors la fonctionx???
||f?(x)||est born´ee sur toute partie compacteKdeU, en particulier sur tout disque ferm´eD(a,r) ={x?Rn| ||x-a||?r}contenu dansU.
()April 18, 2011 5 / 39Proposition
1Sif : U→Rnest diff´erentiable en chaque pointx?Ud"un
sous-ensembleUouvert et convexe, et||f?(x)||?kpour toutx?U alorsfestk-lipschitzienne dansU.2Sif : U→Rnest de classeC1alors elle est localement
lipschitzienne. D´emonstration.1) Par le th´eor`eme des accroissements finis on a ||f(x)-f(y)||?||x-y||sup x?U||f?(x)||?k||x-y||.2) Sifest de classeC1, alors la fonctionx???
||f?(x)||est born´ee sur toute partie compacteKdeU, en particulier sur tout disque ferm´e D(a,r) ={x?Rn| ||x-a||?r}contenu dansU. En appliquant la partie 1) de la proposition `a la disque ouvert B(a,r) ={x?Rn| ||x-a||Exemple
La fonctionf :R→Rd´efinie parf(x) =?|x|n"est pas lipschitzienne dans aucun voisinageUde0.En effet si|f(x)-f(0)| |x|?k|x|et 1 ⎷|x|?kpour toutx?U ()April 18, 2011 6 / 39 Exemple
La fonctionf :R→Rd´efinie parf(x) =?|x|n"est pas lipschitzienne dans aucun voisinageUde0. En effet si|f(x)-f(0)| |x|?k|x|et 1 ⎷|x|?kpour toutx?Uce qui est impossible carlimx→01⎷|x|=∞. ()April 18, 2011 6 / 39 Exemple
La fonctionf :R→Rd´efinie parf(x) =?|x|n"est pas lipschitzienne dans aucun voisinageUde0. En effet si|f(x)-f(0)| |x|?k|x|et 1 ⎷|x|?kpour toutx?Uce qui est impossible carlimx→01⎷|x|=∞. Exemple
Non-unicit´e des solutions dans le cas non lipschitzienne: Consid´erons l"´equation diff´erentielle
(R)? x?(t) =? |x(t)| x(0) = 0 ()April 18, 2011 6 / 39 Exemple
La fonctionf :R→Rd´efinie parf(x) =?|x|n"est pas lipschitzienne dans aucun voisinageUde0. En effet si|f(x)-f(0)| |x|?k|x|et 1 ⎷|x|?kpour toutx?Uce qui est impossible carlimx→01⎷|x|=∞. Exemple
Non-unicit´e des solutions dans le cas non lipschitzienne: Consid´erons l"´equation diff´erentielle
(R)? x?(t) =? |x(t)| x(0) = 0 Icif(t,x) =?
|x|, cette fonction n"est pas lipchitzienne. La fonction x(t) = 0est une solution de l"´equation. ()April 18, 2011 6 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. Il s"agit du seau cylindrique dont l"aire du fond est not´eA, l"aire du trou dans le fond est not´ea. Soitρla densit´e de l"eau. Notons parh(t)la hauteur de l"eau en fonction du temps t. (dessin). ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. Il s"agit du seau cylindrique dont l"aire du fond est not´eA, l"aire du trou dans le fond est not´ea. Soitρla densit´e de l"eau. Notons parh(t)la hauteur de l"eau en fonction du temps t. (dessin).Soitv(t)la vitesse d"ecoulement, alorsv(t) =-A ah?(t). Pour d´eduire l"´equation diff´erentielle pourh(t)consid´erons un petit intervalle de tempsΔt. ()April 18, 2011 7 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.
()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0). ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0).Pour simplifier les formules supposons que D = 1. Alors il s"agit de l"´equationh?(t) =-?
h(t), qui admet des solutions diff´erentes v´erifiant la mˆeme condition initialeh(0) = 0. ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0).Pour simplifier les formules supposons que D = 1. Alors il s"agit de l"´equationh?(t) =-?
h(t), qui admet des solutions diff´erentes v´erifiant la mˆeme condition initialeh(0) = 0. En particulier pour chaquea?0la fonction
h a(t) =? (t-a)2 4si t?a
0 si t?a
est une solution. ()April 18, 2011 8 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. D´efinition
SoitEun espace vectoriel norm´e,X?Eun sous-ensemble deEet f : X→Eune application. On dit quefestcontractantes"il existe un nombre r´eel0?k<1, tel que ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?X. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. D´efinition
SoitEun espace vectoriel norm´e,X?Eun sous-ensemble deEet f : X→Eune application. On dit quefestcontractantes"il existe un nombre r´eel0?k<1, tel que ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?X. C"est-`a-dire, l"applicationfdiminueles distances entre les ´el´ements deX. ()April 18, 2011 9 / 39 Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. ()April 18, 2011 10 / 39 Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exercice
1Montrer qu"une application contractante est continue.
()April 18, 2011 10 / 39 Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exercice
Exemple
La fonctionf :R→Rd´efinie parf(x) =?|x|n"est pas lipschitzienne dans aucun voisinageUde0.En effet si|f(x)-f(0)| |x|?k|x|et 1 ⎷|x|?kpour toutx?Uce qui est impossible carlimx→01⎷|x|=∞. ()April 18, 2011 6 / 39 Exemple
La fonctionf :R→Rd´efinie parf(x) =?|x|n"est pas lipschitzienne dans aucun voisinageUde0. En effet si|f(x)-f(0)| |x|?k|x|et 1 ⎷|x|?kpour toutx?Uce qui est impossible carlimx→01⎷|x|=∞. Exemple
Non-unicit´e des solutions dans le cas non lipschitzienne: Consid´erons l"´equation diff´erentielle
(R)? x?(t) =? |x(t)| x(0) = 0 ()April 18, 2011 6 / 39 Exemple
La fonctionf :R→Rd´efinie parf(x) =?|x|n"est pas lipschitzienne dans aucun voisinageUde0. En effet si|f(x)-f(0)| |x|?k|x|et 1 ⎷|x|?kpour toutx?Uce qui est impossible carlimx→01⎷|x|=∞. Exemple
Non-unicit´e des solutions dans le cas non lipschitzienne: Consid´erons l"´equation diff´erentielle
(R)? x?(t) =? |x(t)| x(0) = 0 Icif(t,x) =?
|x|, cette fonction n"est pas lipchitzienne. La fonction x(t) = 0est une solution de l"´equation. ()April 18, 2011 6 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. Il s"agit du seau cylindrique dont l"aire du fond est not´eA, l"aire du trou dans le fond est not´ea. Soitρla densit´e de l"eau. Notons parh(t)la hauteur de l"eau en fonction du temps t. (dessin). ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. Il s"agit du seau cylindrique dont l"aire du fond est not´eA, l"aire du trou dans le fond est not´ea. Soitρla densit´e de l"eau. Notons parh(t)la hauteur de l"eau en fonction du temps t. (dessin).Soitv(t)la vitesse d"ecoulement, alorsv(t) =-A ah?(t). Pour d´eduire l"´equation diff´erentielle pourh(t)consid´erons un petit intervalle de tempsΔt. ()April 18, 2011 7 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.
()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0). ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0).Pour simplifier les formules supposons que D = 1. Alors il s"agit de l"´equationh?(t) =-?
h(t), qui admet des solutions diff´erentes v´erifiant la mˆeme condition initialeh(0) = 0. ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0).Pour simplifier les formules supposons que D = 1. Alors il s"agit de l"´equationh?(t) =-?
h(t), qui admet des solutions diff´erentes v´erifiant la mˆeme condition initialeh(0) = 0. En particulier pour chaquea?0la fonction
h a(t) =? (t-a)2 4si t?a
0 si t?a
est une solution. ()April 18, 2011 8 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. D´efinition
SoitEun espace vectoriel norm´e,X?Eun sous-ensemble deEet f : X→Eune application. On dit quefestcontractantes"il existe un nombre r´eel0?k<1, tel que ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?X. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. D´efinition
SoitEun espace vectoriel norm´e,X?Eun sous-ensemble deEet f : X→Eune application. On dit quefestcontractantes"il existe un nombre r´eel0?k<1, tel que ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?X. C"est-`a-dire, l"applicationfdiminueles distances entre les ´el´ements deX. ()April 18, 2011 9 / 39 Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. ()April 18, 2011 10 / 39 Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exercice
Exemple
La fonctionf :R→Rd´efinie parf(x) =?|x|n"est pas lipschitzienne dans aucun voisinageUde0.En effet si|f(x)-f(0)| |x|?k|x|et 1 ⎷|x|?kpour toutx?Uce qui est impossible carlimx→01⎷|x|=∞. Exemple
Non-unicit´e des solutions dans le cas non lipschitzienne: Consid´erons l"´equation diff´erentielle
(R)? x?(t) =? |x(t)| x(0) = 0 ()April 18, 2011 6 / 39 Exemple
La fonctionf :R→Rd´efinie parf(x) =?|x|n"est pas lipschitzienne dans aucun voisinageUde0. En effet si|f(x)-f(0)| |x|?k|x|et 1 ⎷|x|?kpour toutx?Uce qui est impossible carlimx→01⎷|x|=∞. Exemple
Non-unicit´e des solutions dans le cas non lipschitzienne: Consid´erons l"´equation diff´erentielle
(R)? x?(t) =? |x(t)| x(0) = 0 Icif(t,x) =?
|x|, cette fonction n"est pas lipchitzienne. La fonction x(t) = 0est une solution de l"´equation. ()April 18, 2011 6 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. Il s"agit du seau cylindrique dont l"aire du fond est not´eA, l"aire du trou dans le fond est not´ea. Soitρla densit´e de l"eau. Notons parh(t)la hauteur de l"eau en fonction du temps t. (dessin). ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. Il s"agit du seau cylindrique dont l"aire du fond est not´eA, l"aire du trou dans le fond est not´ea. Soitρla densit´e de l"eau. Notons parh(t)la hauteur de l"eau en fonction du temps t. (dessin).Soitv(t)la vitesse d"ecoulement, alorsv(t) =-A ah?(t). Pour d´eduire l"´equation diff´erentielle pourh(t)consid´erons un petit intervalle de tempsΔt. ()April 18, 2011 7 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.
()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0). ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0).Pour simplifier les formules supposons que D = 1. Alors il s"agit de l"´equationh?(t) =-?
h(t), qui admet des solutions diff´erentes v´erifiant la mˆeme condition initialeh(0) = 0. ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0).Pour simplifier les formules supposons que D = 1. Alors il s"agit de l"´equationh?(t) =-?
h(t), qui admet des solutions diff´erentes v´erifiant la mˆeme condition initialeh(0) = 0. En particulier pour chaquea?0la fonction
h a(t) =? (t-a)2 4si t?a
0 si t?a
est une solution. ()April 18, 2011 8 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. D´efinition
SoitEun espace vectoriel norm´e,X?Eun sous-ensemble deEet f : X→Eune application. On dit quefestcontractantes"il existe un nombre r´eel0?k<1, tel que ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?X. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. D´efinition
SoitEun espace vectoriel norm´e,X?Eun sous-ensemble deEet f : X→Eune application. On dit quefestcontractantes"il existe un nombre r´eel0?k<1, tel que ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?X. C"est-`a-dire, l"applicationfdiminueles distances entre les ´el´ements deX. ()April 18, 2011 9 / 39 Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. ()April 18, 2011 10 / 39 Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
Non-unicit´e des solutions dans le cas non lipschitzienne:Consid´erons l"´equation diff´erentielle
(R)? x?(t) =? |x(t)| x(0) = 0 ()April 18, 2011 6 / 39Exemple
La fonctionf :R→Rd´efinie parf(x) =?|x|n"est pas lipschitzienne dans aucun voisinageUde0.En effet si|f(x)-f(0)| |x|?k|x|et 1 ⎷|x|?kpour toutx?Uce qui est impossible carlimx→01⎷|x|=∞. Exemple
Non-unicit´e des solutions dans le cas non lipschitzienne: Consid´erons l"´equation diff´erentielle
(R)? x?(t) =? |x(t)| x(0) = 0 Icif(t,x) =?
|x|, cette fonction n"est pas lipchitzienne. La fonction x(t) = 0est une solution de l"´equation. ()April 18, 2011 6 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. Il s"agit du seau cylindrique dont l"aire du fond est not´eA, l"aire du trou dans le fond est not´ea. Soitρla densit´e de l"eau. Notons parh(t)la hauteur de l"eau en fonction du temps t. (dessin). ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)2 4si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)2 4=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. Il s"agit du seau cylindrique dont l"aire du fond est not´eA, l"aire du trou dans le fond est not´ea. Soitρla densit´e de l"eau. Notons parh(t)la hauteur de l"eau en fonction du temps t. (dessin).Soitv(t)la vitesse d"ecoulement, alorsv(t) =-A ah?(t). Pour d´eduire l"´equation diff´erentielle pourh(t)consid´erons un petit intervalle de tempsΔt. ()April 18, 2011 7 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.
()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0). ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0).Pour simplifier les formules supposons que D = 1. Alors il s"agit de l"´equationh?(t) =-?
h(t), qui admet des solutions diff´erentes v´erifiant la mˆeme condition initialeh(0) = 0. ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 1 2Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2 A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0).Pour simplifier les formules supposons que D = 1. Alors il s"agit de l"´equationh?(t) =-?
h(t), qui admet des solutions diff´erentes v´erifiant la mˆeme condition initialeh(0) = 0. En particulier pour chaquea?0la fonction
h a(t) =? (t-a)2 4si t?a
0 si t?a
est une solution. ()April 18, 2011 8 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. D´efinition
SoitEun espace vectoriel norm´e,X?Eun sous-ensemble deEet f : X→Eune application. On dit quefestcontractantes"il existe un nombre r´eel0?k<1, tel que ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?X. ()April 18, 2011 9 / 39 2. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. D´efinition
SoitEun espace vectoriel norm´e,X?Eun sous-ensemble deEet f : X→Eune application. On dit quefestcontractantes"il existe un nombre r´eel0?k<1, tel que ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?X. C"est-`a-dire, l"applicationfdiminueles distances entre les ´el´ements deX. ()April 18, 2011 9 / 39 Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. ()April 18, 2011 10 / 39 Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. Exemple
Non-unicit´e des solutions dans le cas non lipschitzienne:Consid´erons l"´equation diff´erentielle
(R)? x?(t) =? |x(t)| x(0) = 0Icif(t,x) =?
|x|, cette fonction n"est pas lipchitzienne. La fonction x(t) = 0est une solution de l"´equation. ()April 18, 2011 6 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)24si t?a.
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)24si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)24=?|xa(t)|si t?a.
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)24si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)24=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)24si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)24=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)24si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)24=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)24si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)24=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. Il s"agit du seau cylindrique dont l"aire du fond est not´eA, l"aire du trou dans le fond est not´ea. Soitρla densit´e de l"eau. Notons parh(t)la hauteur de l"eau en fonction du temps t. (dessin). ()April 18, 2011 7 / 39 Pour chaquea?0la fonction suivante est aussi une solution de(R): x a(t) =?0 si t?a, (t-a)24si t?a.En effet,
x a(t) =?0 si t?a, t-a 2=? (t-a)24=?|xa(t)|si t?a.(faire le dessin).
Exercice
A-t-on trouv´etoutes les solutions (maximales)de l"´equation? Cette non-unicit´e apparaˆıt dans certains proc´ed´es physiques, tels que l"´ecoulement de l"eau du seau perc´e. Il s"agit du seau cylindrique dont l"aire du fond est not´eA, l"aire du trou dans le fond est not´ea. Soitρla densit´e de l"eau. Notons parh(t)la hauteur de l"eau en fonction du temps t. (dessin).Soitv(t)la vitesse d"ecoulement, alorsv(t) =-A ah?(t). Pour d´eduire l"´equation diff´erentielle pourh(t)consid´erons un petit intervalle de tempsΔt. ()April 18, 2011 7 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 12Δm·v2=12Δh·Aρv2.
()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 12Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0). ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 12Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0).Pour simplifier les formules supposons queD = 1. Alors il s"agit de l"´equationh?(t) =-?
h(t), qui admet des solutions diff´erentes v´erifiant la mˆeme condition initialeh(0) = 0. ()April 18, 2011 8 / 39 Pendant ce temps le niveau de l"eau a baiss´e; soitΔhla diminution de la hauteurh. La masseΔmde l"eau ´ecoul´ee est ´egale `aΔh·A·ρ; l"´energie potentielle a donc diminu´ee deΔm·gh = ΔhA·ρ·ghce qui doit ˆetre compens´e par la valeur de l"´energie cin´etique 12Δm·v2=12Δh·Aρv2.On obtientgh =v22, et finalement
(h ?)2=2ga2A2·h,ouh?(t) =-D?h(t)avecD>0
(sachant queh?(t)?0).Pour simplifier les formules supposons queD = 1. Alors il s"agit de l"´equationh?(t) =-?
h(t), qui admet des solutions diff´erentes v´erifiant la mˆeme condition initialeh(0) = 0.En particulier pour chaquea?0la fonction
h a(t) =? (t-a)24si t?a
0 si t?a
est une solution. ()April 18, 2011 8 / 392. Th´eor`eme du point fixe
()April 18, 2011 9 / 392. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations. ()April 18, 2011 9 / 392. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations.D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. ()April 18, 2011 9 / 392. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations.D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet. ()April 18, 2011 9 / 392. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations.D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet.D´efinition
SoitEun espace vectoriel norm´e,X?Eun sous-ensemble deEet f : X→Eune application. On dit quefestcontractantes"il existe un nombre r´eel0?k<1, tel que ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?X. ()April 18, 2011 9 / 392. Th´eor`eme du point fixe
L"´equation diff´erentielle est une ´equation o`u l"inconnue est une fonction, donc un ´el´ement d"un espace vectoriel norm´e de dimensioninfinie. Le th´eor`eme du point fixe est un outil de r´esolution de telles´equations.D´efinition
Un espace vectoriel norm´e est appel´ecompletsi chaque suite de Cauchy est convergente. Par exemple l"espace vectorielRnmuni de la norme euclidienne ||x||=? x21+...+ x2nest complet.D´efinition
SoitEun espace vectoriel norm´e,X?Eun sous-ensemble deEet f : X→Eune application. On dit quefestcontractantes"il existe un nombre r´eel0?k<1, tel que ||f(x)-f(y)||?k||x-y||pour tousx,y?X. C"est-`a-dire, l"applicationfdiminueles distances entre les ´el´ements deX. ()April 18, 2011 9 / 39Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||. ()April 18, 2011 10 / 39Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||.Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre0Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre01Montrer qu"une application contractante est continue.
()April 18, 2011 10 / 39Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||.Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre01Montrer qu"une application contractante est continue.
2Montrer que pour une application contractantefon a
||fn(x)-fn(y)||?kn||x-y||. ()April 18, 2011 10 / 39Exemple
SoitA :Rn→Rnune application lin´eaire, telle que||A||<1. AlorsA est contractante. En effet,||Ax-Ay||?||A|| · ||x-y||.Exemple
SoitU?Rnun sous-ensemble ouvert convexe etf : U→Rnune application de classeC1telle que pour un nombre01Montrer qu"une application contractante est continue.
2Montrer que pour une application contractantefon a
||fn(x)-fn(y)||?kn||x-y||.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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