[PDF] DÉRIVABILITÉ existe même des fonctions





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Chapitre 2 Continuité

Une fonction lipschitzienne est continue. En effet étant donnés un a ? X et un ? > 0



Fonctions continues et uniformement continues

Alors ƒ est uniformément continue sur I. Démonstration. Soit ƒ une fonction lipschitzienne sur I. Soit ? ? +. ? .



Continuité

15 févr. 2013 Une fonction Lipschitzienne sur un intervalle I est continue sur I. Démonstration. C'est une conséquence du théorème des gendarmes : 0 ?



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18 avr. 2011 Dans ce chapitre on donnera la démonstration du théor`eme de ... o`u f:U ? R × Rn ? Rn est une fonction lipschitzienne définie sur un.





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Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I (3) (a) Montrer que pour tous réels x et y on a : ? ?x? 



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Démonstration La fonction f étant continue et l'intervalle [a b] fermé et borné d'après le théorème de Weierstrass on sait que f admet un maximum et un 



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Alors ¦ est uniformément continue sur I Démonstration Soit ¦ une fonction lipschitzienne sur I e Soit e Î *+ Posons h = Soient x et y dans I tels 



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THÉORÈME 12 41 Une fonction lipschitzienne est continue Si une fonction f : I ? R est lipschitzienne sur l'intervalle I alors f est continue sur l'intervalle 



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a) Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est continue sur I b) Soient a et b deux réels tels que a

  • Comment montrer que f est lipschitzienne ?

    Une fonction f définie sur un intervalle I est lipschitzienne sur I s'il existe un réel k tel que : ?(x, y) ? I2, f(x) ? f(y) ? kx ? y. On dit aussi que f est k-lipschitzienne.

  • Est-ce que toute fonction continue est lipschitzienne ?

    Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.

  • Comment démontrer qu'une fonction est uniformément continue ?

    f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.
  • Propriétés : 1) Les fonctions x xn (n ?N ) et plus généralement les fonctions polynômes sont continues sur R .

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

DÉRIVABILITÉ

Les fonctions qu"on étudie en analyse sont généralement définies sur des intervalles ou des réunions d"intervalles comme

?ou[0,1[?[2,3], voire

2,π2

+π?.Dans tout ce chapitre, les lettresD,E... qui nous serviront d"ensembles de définition

désigneront cependant des parties quelconques de?. On notera par ailleurs?l"un des corps?ou?, et quand on emploiera

les notations[a,b]ou]a,b[, il sera sous-entendu queaetbsont deux réels et quea1 DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS

1.1 DÉFINITIONS DE LA DÉRIVABILITÉ

Définition(Dérivabilité en un point ou sur une partie de?, tangente)Soientf:D-→?une fonction eta?D.

•Dérivabilité :On dit quefestdérivable en asi la limite limx→af(x)-f(a) x-aexiste et est finie. Cette limite est alors appelée lenombre dérivé de f en aet notéef?(a).

L"ensemble des fonctions dérivables surDet à valeurs dans?, i.e. dérivables en tout point deD, est noté?(D,?).

Pour toutf? ?(D,?), la fonctionx?-→f?(x)surDest appelée ladérivée de f.

•Tangente :Sifest dérivable ena, la droite d"équationy=f(a)+f?(a)(x-a)est appelée latangente de f en

a. Et si limx→af(x)-f(a) x-a=±∞, la droite d"équationx=aest appelée latangente de f en a.

Sifest dérivable ena:f(x)-f(a)

x-a≈f?(a)pourx≈a, doncf(x)≈f(a)+f?(a)(x-a). Ce n"est pas rigoureux,

mais cela nous convainc que la tangente defenaest la droite la plus proche du graphe defau voisinage dea.

ExemplePour toutn??, la fonctionx?-→xnest dérivable sur?de dérivéex?-→nxn-1. DémonstrationSoita??. Pour toutx??\a:xn-anx-a=n-1? k=0a kxn-k-1---→x→an-1? k=0a kan-k-1=nan-1. ExempleLa fonction valeur absolue|·|n"est pas dérivable en 0.

DémonstrationPourtoutx???:|x|-|0|x-0=!1 six>0

-1 six<0,donc limx→0+|x|-|0|x-0=1et limx→0-|x|-|0|x-0=-1.

La fonctionx?-→|x|-|0|

x-0n"a donc pas de limite en 0.

Théorème(Dérivabilité implique continuité)Soientf:D-→?une fonction eta?D. Sifest dérivable ena,

alorsfest continue ena.

?Attention !La réciproque est totalement fausse, pensez à la fonction valeur absolue en 0. C"est contre-intuitif, mais il

existe même des fonctions qui sont continues sur tout?mais dérivables en aucun point.

DémonstrationSifest dérivable ena:f(x) =f(x)-f(a)x-a×(x-a)+f(a)---→x→af?(a)×0+f(a) =f(a),

doncfest continue ena.

Le résultat suivant est la version dérivable d"un résultat analogue sur les limites du chapitre " Limites d"une fonction».

Théorème(Caractérisation de la dérivabilité à partir des parties réelle et imaginaire)Soientf:D-→?une

fonction eta?D. fest dérivable enasi et seulement si Re(f)et Im(f)le sont. De plus, dans ce cas :f?(a) =Re(f)?(a)+i Im(f)?(a). 1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Définition(Dérivabilité à gauche/à droite en un point)Soientf:D-→?une fonction eta?D.

•Dérivabilité à gauche :On dit quefestdérivable à gauche en asif D∩]-∞,a]est dérivable ena, i.e. si la limite lim x→a-f(x)-f(a) x-aexiste et est finie. Cette limite est notéef? g(a). •Dérivabilité à droite :On dit quefestdérivable à droite en asif D∩[a,+∞[est dérivable ena, i.e. si la limite lim x→a+f(x)-f(a) x-aexiste et est finie. Cette limite est notéef? d(a).

Parce qu"elle n"est qu"un cas particulier de la dérivabilité en général, la dérivabilité à gauche (resp. à droite) implique la

continuité à gauche (resp. à droite).

Théorème(Caractérisation de la dérivabilité à l"aide des dérivabilités à gauche/à droite)Soientf:D-→?

une fonction eta?Dun point au voisinage duquelfest définie à gauche et à droite.

fest dérivable enasi et seulement sifest dérivable à gauche et à droite enaavec de plusf?

g(a) =f? d(a). y=f(x) a f(a) Ci-contre,fest dérivable à gauche et à droite ena, mais pas enacarf? g(a)?=f? d(a).

Démonstration

fest dérivable ena??limx→af(x)-f(a)x-aexiste et est finie ??limx→a-f(x)-f(a) x-aet limx→a+f(x)-f(a)x-aexistent, sont finies et égales ??fest dérivable à gauche et à droite enaetf? g(a) =f? d(a).

ExempleLa fonctionxf?-→"ln(1+x)six?0

sinxsix<0est dérivable en 0.

Démonstrationf?

g(0) =f? d(0) =1, doncfest dérivable en 0 etf?(0) =1.

?Attention !Une fonction peut n"être ni dérivable à gauche ni dérivable àdroite en un point. C"est le cas de la fonction

x f?-→xsin1

xen 0 prolongée par continuité en 0 parf(0) =0, carx?-→f(x)-f(0)x-0=sin1xn"a pas de limite en 0, ni à

gauche ni à droite. Zoom

1.2 OPÉRATIONS SUR LA DÉRIVABILITÉ

Théorème(Opérations sur la dérivabilité)

(i)Combinaison linéaire, produit, quotient :Pour toutes fonctionsf,g? ?(D,?)etλ,μ??, les fonctions

λf+μgetf gsont dérivables surD, ainsi quef gsigne s"annule pas. En outre : (λf+μg)?=λf?+μg?,(f g)?=f?g+f g?et!f g! =f?g-f g?g2. (ii)Composition :Pour toutes fonctionsf? ?(D,E)etg? ?(E,?),g◦fest dérivable surDet : (g◦f)?=f?×g?◦f.

(iii)Réciproque :SoitIun intervalle. Pour toute fonctionf? ?(I,?)bijective deIsurJ=f(I),SIf?NE S"ANNULE

PAS SURI, alorsf-1est dérivable surJet :f-1?=1

f?◦f-1.

On aurait pu énoncer ce résultat dans le cadre de la dérivabilité en un seul point. Dans le cas de la composition, le

théorème énoncerait que sifest dérivable ena?Det sigest dérivable eng(a)?E, alorsg◦fest dérivable ena.

2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

y=x y= f(x) y=f-1(x) ?Attention !L"hypothèse de non-annulation def?estCRUCIALE! Sur la figure ci-contre,f?s"an- nule ena, doncfpossède une tangenteHORIZONTALEena. Il en découle quef-1possède une tan- genteVERTICALEenf(a), doncN"estPASdérivable enf(a).

Démonstration

(i) Fixonsa?D. La dérivabilité degenaimplique sa continuité, donc limx→ag(x) =g(a).

Tout d"abord :

(λf+μg)(x)-(λf+μg)(a)

Ensuite :

(f g)(x)-(f g)(a)

Enfin, sig(a)?=0 :1

g(x)-1g(a) (ii) Fixonsa?D. Pour touty?E, posonsτ(y) =???g(y)-gf(a) y-f(a)siy?=f(a) g ?f(a)siy=f(a).Par dérivabilité degen f(a): lim y→f(a)τ(y) =g?f(a), et pour toutx?E:τf(x)f(x)-f(a)=g◦f(x)-g◦f(a), y compris pourx=a, donc :g◦f(x)-g◦f(a) (iii) Fixonsb?J. Parce quefest continue enf-1(b),f-1l"est enb, donc limy→bf-1(y) =f-1(b)♣.

Ensuite,fest dérivable enf-1(b): lim

x→f-1(b)f(x)-ff-1(b) x-f-1(b)=f?f-1(b), donc commef?ne s"an- nule pas enf-1(b): lim x→f-1(b)x-f-1(b) f(x)-ff-1(b)=1f?f-1(b)♠.

Composons enfin♣et♠: limy→bf

-1(y)-f-1(b) y-b=limy→bf -1(y)-f-1(b)ff-1(y)-ff-1(b)=1f?f-1(b). ExempleLa fonctionx?-→?x3Arcsinxest dérivable sur]-1,1[.

Démonstration

•La fonctionx?-→x3Arcsinxest dérivable sur]-1,1[par produit. Positive sur[-1,1]et nulle seulement

en 0, cette fonction est donc dérivable sur]-1,1[\0 À VALEURS DANS??+. La fonction racine carrée étant dérivable sur??+SEULEMENT,x?-→? x3Arcsinxest dérivable sur]-1,1[\0par composition. •Ce raisonnement ne nous apprend rien sur la fonctionx?-→? x3Arcsinxen 0 car nos théorèmes d"opé-

rations sur la dérivabilité nous parlent de dérivabilité mais pas deNON-dérivabilité. De fait, la fonction

x?-→? x3Arcsinxest quand même dérivable en 0 car : x3Arcsinx-0 x-0=? x4 x×??

Arcsinx

x=x??

Arcsinx-Arcsin0

x-0---→x→00×Arcsin?(0) =0.

On pourrait montrer en revanche quex?-→?

x3ArcsinxN"estPASdérivable en-1 et 1.

1.3 DÉRIVÉES SUCCESSIVES

Définition(Dérivées successives et fonction de classe?k)Soitf:D-→?une fonction.

•Dérivées successives:On posef(0)=f. Ensuite, pour toutk???,si ona réussi au cours des étapes précédentes

à définir la fonctionf(k-1)surDet si elle est dérivable surD, on dit quefestk fois dérivable sur Det on pose

f (k)=f(k-1)?. •Classe?k:Pour toutk??, on dit quefestde classe?ksur Dsifestkfois dérivable surDet sif(k)est continue surD. On note?k(D,?)l"ensemble des fonctions de classe?ksurDà valeurs dans?.

•Classe?∞:On dit quefestde classe?∞sur Dsifest dérivable autant de fois qu"on le veut surD.

On note?∞(D,?)l"ensemble des fonctions de classe?∞surDà valeurs dans?. 3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

?Attention !Être de classe?1, ce n"est pas être " dérivable et continue » — puisqu"on est toujours continu quand on

est dérivable — mais être " dérivable à dérivée continue ». Sur la figure ci-dessous, chaque flèche décrit une implication. deux foisClasse?1DérivabilitéContinuité =Classe?0 Théorème(Opérations sur les dérivées successives)Soitk??.

•Combinaison linéaire, produit, quotient :Pour toutes fonctionsf? ?k(D,?)etλ,μ??, les fonctionsλf+μg

etf gsont de classe?ksurD, ainsi quef gsigne s"annule pas. En outre : (λf+μg)(k)=λf(k)+μg(k)et(f g)(k)=k p=0! k p! f (p)g(k-p)(formule de Leibniz). •Composition :Pour toutes fonctionsf? ?k(D,E)etg? ?k(E,?),g◦fest de classe?ksurD.

•Réciproque :SoitIun intervalle. Pour toute fonctionf? ?k(I,?)bijective deIsurJ=f(I),SIf?NE S"ANNULE

PAS SURI,f-1est de classe?ksurJ.

On peut remplacer dans chacune de ces assertions " de classe?k» par "kfois dérivable » ou " de classe?∞».

Pour montrer qu"une fonction est deux fois dérivable, on applique directement le théorème précédent, on ne s"amuse pas

à montrer qu"elle est dérivable, à la dériver, puis à montrerque sa dérivée est de nouveau dérivable!

DémonstrationPour commencer, le théorème " Opérations sur la dérivabilité » se généralise aux fonctions de

classe?1car les dérivées obtenues sont toutes continues si les fonctions de départ le sont. On raisonne ensuite

par récurrence surk, avec des initialisations toutes triviales. Le cas des combinaisons linéaires tombe sous le sens.

•Produit :Au rangk: "?f,g? ?k(D,?),f g? ?k(I,?)et(f g)(k)=k p=0! k p! f (p)g(k-p)».

Hérédité :On suppose le résultat vrai au rangk. Soientf,g? ?k+1(D,?). Les fonctionsfetgsont

de classe?1, doncf gaussi et(f g)?=f?g+f g?, maisf?getf g?sont de classe?kpar hypothèse de récurrence, donc(f g)?aussi, ce qui prouve quef gest de classe?k+1. Ensuite : (f g)(k+1)=f?g(k)+f g?(k)HDR=k p=0! k p!quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
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