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Continuité

PTSI B Lycée Eiffel

15 février 2013

Un prof de maths explique à une blonde comment montrer quelimx81 x8=.

La blonde assure avoir parfaitement compris.

Pour vérifier, le prof lui demande ce que vautlimx51 x5. Et la blonde répond, très fière d"elle :limx51 x5=5. Une fois qu"on a passé les bornes, il n"y a plus de limite.

Alphonse Allais.

Introduction

Un petit chapitre de transition entre deux chapîtres d"algèbre pour reprendre de façon rigoureuse

la notion de limite et de continuité sur les fonctions réelles. Pour les limites, ce sera très simple

si vous avez bien assimilé le chapître correspondant sur lessuites. Quant à la continuité, ce n"est

finalement qu"une question de limite (notion locale) qu"on étend sur un intervalle (notion globale).

Elle mène toutefois à quelques théorèmes d"analyse fondamentaux que nous aborderons en fin de

chapître, donc le fameux théorème des valeurs intermédiaires que vous connaissez déjà bien mais que

vous appliquez en général fort mal.

Objectifs du chapitre :

savoir calculer des limites efficacement, et notamment bien saisir la notion d"équivalent sur les fonctions et les pièges qui lui sont associés.

comprendre la différence entre théorème des valeurs intermédiaires et théorème de la bijection,

et reconnaître les situations permettant d"utiliser chacun d"eux.

1 Limites

Remarque1.Comme nous avons déjà abordé dans le tout premier chapître del"année le vocabulaire

classique sur les fonction réelles, nous ne reviendrons pasdessus dans ce chapître. Ajoutons toutefois

la notationsupxIfqui désigne la borne supérieur de l"ensemblef(x)xI. On définit bien sûr de mêmeinfxIf. 1 Définition 1.Une fonctionfdéfinie sur un intervalle de la forme[a;+[admet pour limitelR en+siε >0,x0R,x?x0,f(x)l< ε. On définit de même une limite finie quandx tend versen reamplaçant simplement la conditionx?x0parx?x0(et on supposefdéfinie sur un intervalle de la forme] ;a]). On le note respectivementlimx+f(x) =letlimxf(x) =l.

Remarque2.Cette définition étant strictement identique à celle qu"on avue dans le cadre des suites,

nous allons rapidement passer à la suivante. Notons qu"elleest même plus facile à manier que dans

le cas des suites puisqu"on n"a pas besoin de s"embêter à prendre des parties entières pour la valeur

dex0si on veut l"appliquer à un calcul de limite pratique. Définition 2.Une fonctionfdéfinie sur un intervalle de la forme[a;+[admet pour limite+ (respectivement) en+siMR,x0R,x?x0,f(x)?M(resp.f(x)?M). On le

notelimx+f(x) = +(restp.), et on définit bien sûr de façon similaire des limites infinies en

Là encore, rien de nouveau sous le soleil.

Définition 3.Une fonctionfdéfinie sur un intervalle contenant le réela(mais pas nécessairement

définie ena)admet pour limitelRquandxtend versasiε >0,η >0,x]aη;a+

η[a,f(x)l< ε. On note alorslimxaf(x) =l.

Remarque3.Cette définition est au fond assez naturelle : on est aussi proche que souhaité delquitte

à se mettre suffisamment près deaau départ. Exemple :Montrons à l"aide de cette définition quelimx1x2= 1. Fixons donc (comme on le faisait pour les suites) unε >0, on souhaite vérifier la conditionx21< ε, soitx1x+1< ε. Quitte

à imposerη?1

2(on chercher simplement une valeur convenable de toute façon),12?x+ 1?32,

donc il faut avoirx+ 1?2ε

3. La constanteη= min?2ε3;12?

convient donc. Définition 4.Une fonctionfdéfinie sur un intervalle contenant le réelaadmet pour limite+ (resp.) quandxtend versasiMR,η >0,x]aη;a+η[a,f(x)?M(resp. f(x)?M). On note alorslimxaf(x) =.

Remarque4.Dans les deux dernières définitions, on a exclu la valeurade l"intervalle où l"inégalité

doit être vérifiée, ce qui est absolument nécessaire si on veut une définition raisonnable de la limite.

En effet, sinon, aucune fonction ne pourrait avoir de limite infinie en0(par exemple) car la valeur def(0)empêcherait la définition de fonctionner. Proposition 1.La limite d"une fonctionf(que ce soit enaou en), lorsqu"elle existe, est unique. Démonstration.C"est exactement la même preuve que dans le cas des suites. Définition 5.SoitaR, unvoisinagedeaest un intervalle ouvert deRcontenanta(ou dans le cas oùaest infini, un intervalle de la forme]b;+[ou] ;c[).

Remarque5.La notion de voisinage, même si elle peut paraître extrêmement rudimentaire, permet

d"unifier toutes les différentes définitions de la limite qu"on a données depuis le début du chapître. En

effet, queaetlsoient finis ou infinis, on pourra toujours traduirelimxaf(x) =lde la façon suivante :

pour tout voisinageVdel, il existe un voisinageWdeatel quef(W)V(je vous laisse vérifier).

Elle permet aussi de donner des démonstrations simples et élégantes de la plupart des propriétés

élémentaires sur les limites. On évitera toutefois un recours trop systématique à cette notion qui est

à la frontière du programme.

Proposition 2.Une fonction admettant une limite finie enaest bornée au voisinage dea. 2

Démonstration.Comme dans le cas des suites, il suffit de prendre par exempleε= 1dans la définition

pour trouver un intervalle sur lequelfest bornée. Définition 6.La fonctionfadmet pour limiteà gauchequandxtend versaun nombrel(éven-

tuellement infini) si on remplace dans la définition de la limite la conditionx]aη;a+η[par la

conditionx]aη;a[. On définit de même une notion de limiteà droiteen remplaçant la condition

parx]a;a+η[. On le note respectivementlimxa-f(x) =letlimxa+f(x) =l. Remarque6.Clairement,fadmet pour limitelenasi et seulement silimxa-f(x) = limxa+f(x) =l.

Exemple :La fonction partie entière admet en chaque entier naturel des limites à gauche et à droite

qui sont distinctes. Ainsi,limx2+Ent(x) = 2, maislimx2-Ent(x) = 1.

Théorème 1.Toutes les propriétés vues dans le chapître sur les suites concernant les opérations

et les limites, ainsi que les inégalités et les limites, restent valables sur les fonctions, que ce soit en

ou enaR. Nous ne reviendrons pas dessus, pas plus que nous ne referons de démonstrations concernant les limites de fonctions usuelles vues en début d"année. Proposition 3.Soientfetgdeux fonctions telles quelimxaf(x) =betlimxbg(x) =l, alorslimxag f(x) =l(tous les réels ayant le droit d"être infinis). Remarque7.Ce résultat reste vrai quand on compose une fonction et une suite : silimn+un=aet lim xaf(x) =l, alorslimn+f(un) =l.

Démonstration.C"est la seule démonstration que je ferai à l"aide de voisinages pour ne pas avoir à

distinguer plein de cas. Soit doncVun voisinage del. Puisquelimxbg(x) =l, il existe un voisinageW debtel queg(W)V. De même, il existe un voisinageUdeatel quef(U)W. On en déduit quegf(U)g(W)V, donc on a trouvé un voisinage convenable dea, etlimxagf(x) =l. Proposition 4.Caractérisation séquentielle de la limite. Une fonctionfadmet pour limitelquandxtend versasi et seulement si, pour toute suite(un) telle quelimn+un=a, alorslimn+f(un) =l.

Démonstration.Le sens réciproque est évident, c"est la composition d"une limite de suite et de

fonction qu"on vient de voir. Pour l"autre sens, on va en faitdémontrer la réciproque : supposons

quefn"admet pas pour limitellorsquextend versa. Pour simplifier, on prendra des valeurs finies

pouraetlmême si la caractérisation reste vraie avec des limites infinies. Si on prend la négation de

la définition de la limite,ε >0,η >0,x]aη;a+η[,f(x)l?ε. Fixons donc un telε, et prenons comme valeurs deηles nombres1 n. Il existe donc, quel que soit l"entiern, (au moins) un réel que l"on va noterxndans l"intervalle? a1 n;a+1n? , pour lequelf(x)l?ε. Par construction, la suite(xn)converge versa(puisquea1 n< xn< a+1n, c"est une application du théorème des gendarmes), et pourtantf(xn)ne peut pas converger verslpuisque cette suite est oujours à une

distance delplus grande qu"unε >0fixé. Ceci démontre la contraposée du sens direct du théorème,

et donc le théorème lui-même. Remarque8.Cette caractérisation peut surtout être utile pour prouverqu"une fonction n"admet

pas de limite à un endroit donné. Pour celà, il suffit en effet de trouver par exemple deux suites

convergeant vers la valeur en question, mais pour lesquelles les images parfn"ont pas la même limite. Prenons par exemplef(x) = cos?1 x? , dont on veur étudier le comportement en0. Posons d"abordun=1

2nπ, la suite(un)converge vers0etf(un) = cos(2nπ) = 1est une suite constante

3

convergeant vers1. Considérons désormaisvn=1(2n+ 1)π, la suite(vn)tend également vers0, mais

cette fois-cif(vn) =1. La fonctionfne peut donc pas admettre de limite en0. Théorème 2.Théorème de la limite monotone. Toute fonction monotone définie sur un intervalleIadmet en tout point deIune limite à gauche

(sauf pour la borne inférieure deI, et en tout point deIune limite à droite (sauf pour la borne

supérieure deI). Ces limites peuvent être infinies. Si on noteI=]a;b[, dans le cas où la fonction est

croissante, on aura toujourslimxc-f(x) = supx]a;c[f, etlimxc+f(x) = infx]c;b[f(sifest décroissante,

on inverse le rôle des bornes inférieure et supérieure).

Démonstration.La démonstration est à peu près identique à celle effectuée dans le cas des suites, si

ce n"est qu"on a en plus le cas des limites infinies à traiter. Supposons doncfcroissante et notonscun

point de l"intervalle, etl= supx M. Par croissance def, on aura alorsf(x)> Msur tout l"intervalle[xM;c[, et on en déduit quelimxcf(x) = +. Si au

contrairelest fini, choisisson unε >0. Par caractérisation de la borne supérieure, il existe unx0?c

tel quelε < f(x0)?l. En notantη=cx0et en utilisant la croissance def, on obtient que

lε < f(x)?lsur tout l"intervalle[cη;c[, ce qui correspond exactement à la définition de la limite.

Les autres cas (fonction décroissante, limite à droite) se traitent exactement de la même façon. On

peut même ne rien faire du tout en constatant que, sifest décroissante,fest croissante, ce qui

ramène au cas précédent; et que, pour la limite à droite on peut considérer la fonctionxf(x)

qui renverse l"ordre et tranforme donc la limite à droite en limite à gauche. Définition 7.Une fonctionfdéfinie sur un intervalleIestcontinue enaIsilimxaf(x) =f(a). La fonctionfestcontinue à gaucheenasilimxa-f(x) =f(a), etcontinue à droiteenasi lim

xa+f(x) =f(a). Elle est continue enasi et seulement si elle est continue à gauche et à droite ena.

Exemple :La fonction partie entière (notre exemple préféré quand il s"agit de continuité) est

continue à droite en tout réel, mais elle n"est pas continue àgauche enx(et donc pas continue du

tout) lorsquexZ. Définition 8.Une fonctionfestcontinue sur un intervalleIsi elle est continue en tout point deI.

Théorème 3.Tous les résultats classiques sur les opérations et les limites permettent de prouver

facilement qu"une somme, un produit, un quotient, une composée de fonctions continues est une

fonction continue. Par ailleurs, toutes les fonctions usuelles (sauf la partie entière) sont continues sur

tous les intervalles où elles sont définies. ces résultats seront souvent désignés par le terme générique

de théorèmes généraux, et utilisés sans rentrer dans le détail dans les exercices (on se concentrera sur

les études de continuité aux endroits où il y a vraiment un calcul à faire ou une réflexion à mener).

Proposition 5.Soitfune fonction définie surIaadmettant une limite finielquandxtend vers a, alors on peut prolongerfde manière unique en une fonction continue surIen posantf(a) =l

(on garde habituellement la même notation pour la fonction prolongée, même si c"est un abus de

notation). On parle deprolongement par continuitédefena. Exemple :La fonctionf:xxlnxest définie surR+mais prolongeable par continuité àR+en posantf(0) = 0, puisquelimx0xln(x) = 0(croissance comparée).

Définition 9.SoitIun intervalle etkun réel strictement positif. Une fonctionfestk-Lipschitzienne

surIsi,(x,y)I2,f(y)f(x)?kyx. La fonctionfestLipschitziennesi elle estk- Lipschitzienne pour un certain réelk. Une fonctionk-Lipschitzienne pour une valeur dekstrictement inférieure à1est ditecontractante. 4 Proposition 6.La somme de deux fonctions Lipschitziennes est Lipschitzienne. La composée de deux fonctions Lipschitzienne est Lipschitzienne. Sifest Lipschitzienne surIet surJ, avecIJ=, alorsfest Lipschitzienne surIJ.

Remarque9.Attention, le produit de deux fonctions Lipschitziennes n"est par contre en général pas

Lipschitzien.

Démonstration.

Supposons doncfetgLipschitziennes (avec des coefficients respectifsketknon nécessaire-

ment égaux) sur un même intervalleI. On peut alors utiliser l"inégalité triangulaire pour affir-

mer que(f+g)(y)(f+g)(x)?f(y)f(x)+g(y)g(x)?kyx+kyx?(k+k)yx.

La fonctionf+gest donc(k+k)-Lipschitzienne surI.

C"est encore plus simple pour la composée : sifestk-Lipschitzienne surIetgestk- Lipschitzienne surf(I), alorsg(f(y))g(f(x))?kf(y)f(x)?kkyx, doncgfest kk -Lipschitzienne surI. Supposons doncf k-Lipschitzienne surIetk-Lipschitzienne surJ. Si on considère deux réelsx etyappartenant tous les deux àIou àJ, on peut majorerf(y)f(x)parkyxoukyx respectivement. Prenons désormaisxIetyJ, et choisissons un réelzIJtel que

x < z < y(un tel réel existe nécessairement, faites un dessin), alors par inégalité triangulaire

max(k,k)yx. La fonctionfest doncmax(k,k)-Lipschitzienne surIJ. Proposition 7.Une fonction Lipschitzienne sur un intervalleIest continue surI. Démonstration.C"est une conséquence du théorème des gendarmes :0?f(x)f(a)?kxa. Si on suppose quextend versa, les deux extrêmes ont pour limite0, donclimxaf(x)f(a)= 0, soit lim xaf(x) =f(a).

2 Comparaison de fonctions

Attention, dans cette partie, nous allons atteindre des sommets inégalités de paresse de la part de

votre professeur de maths préféré c"est très simple, pour tout ce qui est négligeabilité et équivalents,

les fonctions, c"est comme les suites, reportez-vous donc àla partie correspondante du chapître sur

les suites! Bon, tout de même une remarque importante : quanf on travaille avec des fonctions, il est absolument indispensable de bien préciser vers quoixva tendre pour qu"un équivalent ou

une négligeabilité soit valable. Ainsi, on peut écrireln(1 +x)0x(équivalent classique vu dans

le chapître sur les suites, mais par contreln(1 +x)+ln(x)(ce qui n"est pas une conséquence

directe des résultats du cours puisqu"on ne peut toujours pas composer des équivalents, mais ça se

démontre facilement). Pour le reste, les définitions et propriétés sont identiques (y compris bien sûr

les résultats essentiels de croissance comparée, de toute façon déjà énoncés dans le chapître sur les

fonctions usuelles). Pour ne pas avoir un paragraphe complètement vide, je vais ajouter un petit équivalent à la liste des équivalents classiques :

Proposition 8.(1 +x)α10αx.

Démonstration.Posonsf(x) = (1 +x)α, alorsf(x) =α(1 +x)α1. Le taux d"accroissement de la fonction en0vaut(1 +x)α1 xet tend versf(0) =α, donc(1 +x)α10αx.

Bon, allez, pour remplir encore un peu, une fois n"est pas coutume, un petit exercice glissé au milieu

du cours :

Exercice :Calculer les limites suivantes :

5

1.limx2+xx2 xen1,1,0,+,

2.limxπ

4sin(x)cos(x)xπ4

3.lim x+ 22x2+x+ 32x+ 5en2et en+

4.limx+?

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