[PDF] Complément 1 Quelques démonstrations en théorie de lintégration

View - Download Complément 1 Quelques démonstrations en théorie de lintégration

Previous PDF

Next PDF

Complément 1

Quelques démonstrations en théorie del"intégration On trouveraci-dessous le détail des questions de cours du programme de colle n o13. N"hésitez pas à me contacter au plus vite en cas d"ambi- guité ou d"imprécision.

0.1. Sommes de Riemann

fonctions supposées seulement continues par morceaux 1.

Définition 0.1.(Somme de Riemann)

Soient(a,b)?R2tels que a?b et f:[a,b]→Rcontinue par morceaux. On pose R n(f)=b-a n·n-1? k=0f? a+k·b-an? R n(f)est la somme de Riemann de f associée à la subdivision régulière d"ordre n du segment[a,b].

La démonstrationde la convergence de

?Rn(f)? n?1vers l"intégrale defsur le segment le cas particulier des fonctions lipschiztiennes.Voici quelques rappels.

Définition 0.2.(Fonctions lipschitziennes)

Soit I un intervalle deRet f:I→R. La fonction f est dite lipschitzienne sur I s"il existe un nombre réelC tel que ?(x,y)?I2,??f(x)-f(y)???C·|x-y| On dit plus précisément que f estC-lipschitzienne sur l"intervalle I. Toute fonction lipschitzienneest continue : il suffit de fixery=x0et de déduire (par le théorème d"encadrement) de l"inégalité de la définitionque f(x)----→x→x

0f(x0)

1.Rappelons que la méthode des rectangles est applicable lorsque la fonction est continue et monotone, le coeur de la

démonstration étant la positivité de l"intégrale.

2Il est donc légitime de considérer l"intégrale sur un segment d"une fonction lipschit-

zienne.

Proposition 0.3.(Théorèmede Riemann)

Soient(a,b)?R2tels que a?b et f: [a,b]→Rune fonction continue par morceaux. Alors R n(f)-----→n→+∞? b a f(t)dt Preuve.Nous ferons la preuve dans le cas particulier où la fonctionfestC-lipschit- zienne sur le segement [a,b]. Posons, pour tout entier naturelnnon nul et tout entier naturelkvérifiant 0?k?n, a k=a+k·b-a netδn=Rn(f)-? b a f(t)dt Pour tout entier naturelnnonnul, puisquea0=aetan=b, ondéduit de la relationde

Chasles que?b

a f(t)dt=? a n a0f(t)dt=n-1? k=0? a k+1 ak f(t)dt Ainsi n=b-a n·n-1? k=0f(ak)-n-1? k=0? a k+1 ak f(t)dt=n-1? k=0? b-an·f(ak)-? a k+1 ak f(t)dt? Comme pour tout entierkcompris entre 0 etn-1, on aak+1-ak=b-a n, on a b-a n·f(ak)=? a k+1 ak f(ak)dt d"où n=n-1? k=0? b-a n·f(ak)-? a k+1 ak f(t)dt? =n-1? k=0? ?a k+1 ak ?f(ak)-f(t)?dt? On déduit alors de l"inégalité triangulaire (pour les sommes puis pour les intégrales) que |δn|?n-1? k=0????? a k+1 ak ?f(ak)-f(t)?dt???? ?n-1? k=0? ak+1 ak ?f(ak)-f(t)??dt Soitkun entier naturel compris entre 0 etn-1. On a n On déduit de la positivité de l"intégrale que a k+1 ak ?f(ak)-f(t)??dt?? ak+1 ak

C·b-andt=C·(b-a)2n2

Ainsi,

Le théorème fondamental du calcul intégral3 |δn|?n-1? k=0? a k+1 ak ?f(ak)-f(t)??dt?n-1? k=0C·(b-a)2 n2=C·(b-a)2n

On déduit alors du théorème d"encadrement queδn(f)-----→n→+∞0, c"est-à-dire

R n(f)-----→n→+∞? b a f(t)dt

0.2. Le théorèmefondamental du calcul intégral

Le théorème fondamental du calcul intégral établit le lien entre les notions d"intégrale

et de primitive. Proposition 0.4.(Théorèmefondamental du calcul intégral) Soient I un intervalle d"intérieur non vide, a?I et f:I→R. L"application

F:I-→R

x?-→? x a f(t)dt estl"uniqueprimitive de f s"annulanten a. Autrementdit, F(a)=0, F estdérivable sur I et, pout tout réel x appartenant à cet intervalle, F ?(x)=f(x). Preuve.Prouvons queFest dérivable en tout point de°I. Soit2x0?°I. Il existeα>0 tel que ]x0-α,x0+α[?I. Notonsτx

0Fle taux d"accroissement deFau pointx0. Pour

tout réelh?]-α,α[\{0}, on a x

0F(x0+h)-f(x0)=F(x+h)-F(x0)x0+h-x0-f(x0)

1 x0+h-x0·? ?x 0+h a f(t)dt-? x0 af(t)dt? -f(x0) 1 h·? ?x 0 af(t)dt+? x 0+h x

0f(t)dt-?

x 0 af(t)dt? -f(x0) (par la relation de Chasles) 1 h·? ?x 0+h x

0f(t)dt-h·f(x0)?

1 h·? x 0+h x 0 ?f(t)-f(x0)?dt (par linéarité de l"intégrale)

On va établir que

x

0F(x0+h)---→h→0f(x0)

2.Rappelons que°Idésignel"intérieur deIi.e. l"intervalleIprivé de ses bornes. C"est le plus grand intervalle ouvert inclu

dansI.

4envérifiantladéfinition"epsilonesque» de lanotiondelimite.Soitε>0. L"application

fétant continue au pointx0, il existeα?>0 tel que Posonsα??=min?α,α??. Soith??-α??,α???\{0}. Il faut envisager deux cas en fonction du signe deh: ?Sih??0,α???, les bornes de l"intégrale sont dans l"ordre croissant :x00F(x0+h)-f(x0)??=????1h·? x 0+h x 0 ?f(t)-f(x0)?dt???? ?1 h·? x 0+h x 0 ?f(t)-f(x0)??dt Or, pour toutt?[x0,x0+h], on at??x0,x0+α?????x0-α?,x0+α??∩Id"où ?f(t)-f(x0)???ε

Ainsi, par positivitéde l"intégrale,

τx

0F(x0+h)-f(x0)???1h·?

x 0+h x 0 ?f(t)-f(x0)??dt?1 h·? x 0+h x

0εdt=ε·hh=ε

?Sih??-α??,0?, les bornes de l"intégrale sont dans l"ordre décroissant :x0+h0F(x0+h)-f(x0)??=????1h·? x 0+h x 0 ?f(t)-f(x0)?dt???? ?1 -h·? x 0 x0+h?? f(t)-f(x0)??dt Or, pour toutt?[x0+h,x0], on at?[x0-α??,x0]??x0-α?,x0+α??∩Id"où ?f(t)-f(x0)???ε

Ainsi, par positivitéde l"intégrale,

τx

0F(x0+h)-f(x0)???1-h·?

x 0 x0+h?? f(t)-f(x0)??dt?1-h·? x 0 x0+hεdt=-ε·h-h=ε

Ainsi, pour touth??-α??,α???\{0}, on a

?τx

0F(x0+h)-f(x0)???ε

On a donc établi que

0F(x0+h)-f(x0)???ε

ce qui signifie que x

0F(x0+h)---→h→0f(x0)

La fonctionFest donc dérivable enx0etF?(x0)=f(x0). On traite de la même manière le cas oùx0est une borne éventuelle deImais il s"agit alors de calculer la limite à gauche ou à droite (selon que la borne est supérieure ou inférieure) du taux d"accrois- sement enx0.

La formule du changement de variable5

On déduit de ce résultat la possibilité de calculer l"intégrale d"une fonction continue f:[a,b]→Rau moyen d"une primitiveFdef.

Proposition 0.5.(Primitiveset calcul intégral)

Soient(a,b)?R2tels que a1: [a,b]-→R x?-→? x a f(t)dt est une primitivedefsur [a,b]. Il existe donc un réelktel queF1=F+k. Ainsi, b a f(t)dt=F1(b)=F(b)+k

D"autre part, 0=F1(a)=F(a)+k=0, d"oùk=-F(a) et

b a f(t)dt=F(b)-F(a)=[F(t)]ba On a utilisé dans cette preuve le résultat suivant (qu"il faut savoir justifier) : deux pri- mitives sur unintervalle Id"une même fonctionfdiffèrent d"une constante réelle.

0.3. La formule du changement de variable

Proposition 0.6.(Changementde variable dans une intégrale) Soient I un intervalle deR,(a,b)?R2, f:I→Rcontinue et?:[a,b]→I de classeC1.

Alors?b

a f??(t)?·??(t)dt=? ?(b) ?(a)f(u)du Preuve.Considérons les applicationsFetGdéfinies par

F:I-→R

x?-→? x ?(a)f(t)dtetG: [a,b]-→R x?-→? ?(x) ?(a)f(t)dt Les fonctionsFetGsont correctement définies car?est à valeurs dansI, intervalle de définition def. D"après le théorème fondamental du calcul intégral,Fest l"unique primitivedefsurIs"annulantau point?(a). De plus,on aG=F◦?. Onen déduitque Gest dérivable surIen tant que composée de fonctions dérivables et 6 Ainsi b a f??(t)?·??(t)dt=? b a

G?(t)dt=?G?(t)?b

a=G(b)-G(a)=? ?(b) ?(a)f(u)du

Voici une utilisationdirectede cette formule.

Exemple 0.7. Utilisation dans le sens "direct» : calcul deI=? 1

0?1-u2du

Considérons

?: [0,π/2]-→R t?-→sin(t) Cette fonction est de classeC1,?(0)=0 et?(π/2)=1. On déduit du théorème du changement de variable que I=? 1quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19