[PDF] Espaces vectoriels normés Démonstration Le fait que .

View - Download Espaces vectoriels normés

Previous PDF

Next PDF

Chapitre5

Espaces vectoriels normés

Table des matières

5 Espaces vectoriels normés1

5.1 Normes, distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

5.1.1 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

5.1.2 Norme sur un produit cartésien d"espaces normés . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.1.3 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.1.4 Boules ouvertes, boules fermées, sphères . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.1.5 Parties bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.2 Suites dans un evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.2.1 Convergence d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.2.2 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.2.3 Relations de comparaison des suites vectorielles

Hors programme en PC mais instructif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.2.4 Suites bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.2.5 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.3 Topologie d"un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3.1 Quelques rappels de première année sur la borne supérieure d"une partie deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3.2 Parties ouvertes, fermées d"un evn . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.3.3 Adhérence, intérieur, frontière d"une partie d"un evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.3.4 Parties denses

HP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4 Étude locale d"une application, continuité . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.4.1 Limite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.4.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4.3 Relations de comparaison

HP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 18

5.4.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.4.5 Fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.5 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.5.1 Continuité d"une application linéaire . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.5.2 Continuité d"une application bilinéaire, d"une application multilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 22

5.5.3 Norme subordonnées d"une application linéaire

Hors programme mais instructif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.6 Topologie d"un evn de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.6.1 Particularité des evns de dimension finie . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.6.2 Compacts d"un evn dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.6.3 Convergence d"une suite en dimension finie . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.6.4 Limite d"une fonction en dimension finie . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.6.5 Applications linéaires, bilinéaires et multilinéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 27

5.7 L"essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

5.1 Normes, distances5.1.1 Normes

DÉFINITION5.1♥Norme

On considère unK-espace vectorielEsur le corpsK=RouK=C. On appellenormeune application

N:?E-→R

x?-→N?x? vérifiant les quatre propriétés :

1.?x?E,N?x??0(positivité).

3.?(x,y)?E2,N?x+y??N?x?+N?y?(inégalité triangulaire).

4.?x?E,N?x?=0R=?x=0E(séparation).

On notera?x? =N?x?. On dit que(E,?.?)est unespace vectoriel normé. Remarque 5.1On a toujoursN?0E?=0R, puisqueN?0E?=N?0K.0E?=0RN?0E?=0R.

Remarque 5.2Dans un evn, on dit qu"un vecteurx?Eestunitairelorsque?x? =1. Six?Eest un vecteur non-nul, on

peut lui associer le vecteurnormaliséx ?x?. PROPOSITION5.1♥Minoration de l"inégalité triangulaire Si?.?est une norme, pour deux vecteurs(x,y)?E2, on peut minorer?x-y?au choix par?x? -?y?ou?y?-?x?: ??x? -?y???? ??x-y?

DémonstrationEn utilisant deux fois l"inégalité triangulaire :?x?=??x-y+y?????x-y??+??y??et??y??=??y-x+x?????x-y??+

x? donc?x?-??y??et??y??-?x?sont tous deux majorés??x-y??d"où le résultat.

Un premier exemple fondamental de norme est donnée par la valeur absolue (respectivement le module) surR(respecti-

vement surC). PROPOSITION5.2♥La valeur absolue et le module définissent des normes respectivement surRetC

Les couples

(R,|.|)et(C,|.|)où|.|désignent respectivement l"application valeur absolue surRet l"application module

surCsont des espaces vectoriels.

Un seconde exemple fondamental de norme est celle qu"on construit à partir d"un produit scalaire dans un espace préhil-

bertien.

PROPOSITION5.3♥Norme euclidienne

Si (.|.)est un produit scalaire surE, on définit lanorme euclidienneassociée : ?x? =? (x|x) On dispose de l"inégalité de Cauchy-Schwarz : ?(x,y)?E2,???x|y?????x??y? avec égalité si et seulement si les vecteursxetysont colinéaires.

DémonstrationLe fait que pour toutx?E,(x|x)?0et que?x?est bien définie provient de la positivité du produit scalaire. Il

est alors clair que ?.?vérifie l"axiome de positivité. Si x?Eetλ?Ralors par bilinéarité du produit scalaire, ?λx? =?(λx|λx)=?λ2?(x|x)=|λ|?x? 2 et?.?est homogène. Si

x,y?Ealors par bilinéarité, symétrie du produit scalaire et d"après l"inégalité de Cauchy-Schwarz, on a

?x+y?2=?x?2+2?x|y?+?y?2??x?2+2?x??y? +?y?2=??x? +?y??2. Alors?x+y? ??x? +?y?et on a prouvé l"inégalité triangulaire.

Enfin, si

x?Eest tel que?x? =0alors(x|x)=0ce qui n"est possible, le produit scalaire étant défini, que six=0d"où la propriété

de séparation. THÉORÈME5.4♥Trois normes classiques surKn

Sur l"espace vectorielE=Kn, on dispose des trois normes classiques suivantes. Pour un vecteurx=(x1,...,xn),

1.?x?1=n?

k=1|xk|,

2. Le produit scalaire

?x|y?=n? k=1 xkyket la norme euclidienne associée :?x?2=? n? k=1| xk|2,

3.?x?∞=max1?k?n|xk|.

DémonstrationLe fait que?.?2soit une une norme a été prouvé dans la proposition précédente. On laisse la preuve pour les deux

autres normes en exercice. THÉORÈME5.5♥Trois normes classiques surMn(K)

Sur l"espace vectorielE=Mn(R), on dispose des trois normes classiques suivantes. Pour unematriceM=(ai,j)?

M n(R),

1.?M?1=n?

i=1n j=1|ai,j|,

2. Leproduitscalaire

?M|M??=Tr? MTM?? =n? i=1n j=1ai,ja? n? i=1n j=1?? ai,j??2,

3.?M?∞=max1?i,j?n|ai,j|.

DémonstrationCes normes coïncident avec les3précédentes mais surKn2. THÉORÈME5.6♥Trois normes usuelles surC([a,b]) Sur l"espaceE=C([a,b])des fonctions continues sur le segment[a,b], on définit les trois normes :

1.?f?1=?

b a |f(t)|dt(norme de la convergence en moyenne),

2. Le produit scalaire

?f|g?=? b a f(t)g(t)dtet la norme euclidienne associée (norme de la convergence en moyenne quadratique) : ?f?2=? ?b a f2(t)dt,

3.?f?∞=sup

t?[a,b]|f(t)|(norme de la convergenceuniforme).

THÉORÈME5.7♥EspacesLp

Soit un intervalleI?R.

1. On note

L

1(I)={f:I?→C|fcontinue et intégrable surI}

et pourf?L1(I), ?f?1=? I |f| Alors ?L1(I),?.?1?est un evn. 3

2. On note

L

2(I)={f:I?→C|fcontinue et|f|2intégrable surI}

et pourf,g?L2(I)2, ?f|g?=? I f g?f?2=? I |f|2 Alors (.|.)définit un produit scalaire surL2(I)et?L2(I),?.?2?est un evn.

3. On note

L ∞(I)={f:I?→C|fbornée surI} et pourf?L∞(I), ?f?∞=sup x?I|f(x)| Alors ?L∞(I),?.?∞?est un evn. THÉORÈME5.8♥♥Normes sur les espaces de suites

1. On définit l"espace des suites :

1(C)={u=(un)?CN|?|un|converge}

muni de la norme ?u?1=+∞? n=0|un| 2.

2(C)={u=(un)?CN|?|un|2converge}

et le produit scalaire (u|v)=+∞? n=0u nvnainsi que la norme euclidienne associée : ?u?2=? n=0|un|2 3. ∞(C)={u=(un)?CN|uest bornée} et la norme ?u?∞=sup n?N|un|

5.1.2 Norme sur un produit cartésien d"espaces normés

DÉFINITION-PROPOSITION5.2♥Norme sur un produit cartésien d"espaces normés Soient(E1,?.?E1), ...,(Ep,?.?Ep)des espaces normés. Alors l"application : ?.?:?E1×...×Ep-→R x=(x1,...,xp)?-→ ?x? =supi??1,p??xi?Ei

définit une norme surE1×...×Ep. L"espace normé(E,?.?)est appeléespace produit desEipouri??1,p?.

Démonstration

1Par construction,?.?est à valeurs positives car c"est le cas des??Eipour touti??1,p?.

2De la même façon, chaque??Eipouri??1,p?vérifie l"axiome d"homogénéité donc pourx=(x1,...,xp)?E1×...×Epet

λ?K,

?λx? =sup i??1,p??λxi? =sup i??1,p?|

λ|?xi? =|λ|sup

i??1,p??xi? =|λ|?x? et??satisfait aussi l"axiome d"homogénéité. 4

3On démontre de même l"inégalité triangulaire.

4Enfin six=(x1,...,xp)?Eest tel que?x? =0alorssupi??1,p??xi? =0ce qui amène?xi? =0pour touti??1,p?et donc

?x? =0. On a alors aussi vérifié l"axiome de séparation.

Remarque 5.3Un corollaire immédiat de cette proposition et de la proposition 5.2 est que?.?∞est une norme surKn.

5.1.3 Distances

DÉFINITION5.3♥Distance

SoitEun ensemble. Une application

d:E×E→R est unedistancesurEsi elle vérifie les propriétés :

1.?(x,y)?E2,d(x,y)?0(positivité),

2.?(x,y)?E2,d(x,y)=d(y,x)(symétrie),

3.?(x,y,z)?E3,d(x,y)?d(x,z)+d(z,y)(inégalité triangulaire)

4.?(x,y)?E,d(x,y)=0??x=y(séparation).

PROPOSITION5.9♥Norme associée à une distance

Dans un espace vectoriel normé

(E,? ?), l"application d:?E×E-→R+quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

[PDF] continuité uniforme graphiquement

[PDF] fonction uniformément continue non lipschitzienne

[PDF] difference entre continue et uniformement continue

[PDF] fonction continue mais pas uniformément continue

[PDF] plan histoire des arts

[PDF] sciences des aliments cours pdf

[PDF] qualité organoleptique des aliments définition

[PDF] cours de sciences des aliments

[PDF] exercice corrigé convexité terminale es

[PDF] exercice convexité mpsi

[PDF] connexité exercices corrigés

[PDF] exercices convexité

[PDF] ensemble convexe exercices corrigés

[PDF] tp mps sciences et aliments

[PDF] mps sciences et art maths