[PDF] Filière : Tronc commun MIP Module : M135 ANALYSE 3 : Fonctions

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Université Moulay Ismaïl

Faculté des Sciences et Techniques

Département de Mathématiques

Filière : Tronc commun MIP

Module : M135

ANALYSE 3 :

Fonctions de plusieurs variables

et calcul des intégrales multiples

Professeur : Sidi Mohamed DOUIRI

Notes de Cours

Table des matières

1 Notions Topologiques dansRn1

1.1 L"espace vectoriel norméRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Notions topologiques dansRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.2.1 Boules ouvertes, boules fermées et parties bornées . . . .

3

1.2.2 Les ouverts et les fermés deRn. . . . . . . . . . . . . . .4

1.2.3 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4 Suites deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2.5 Adhérence, Intérieur et Frontière d"une partie deRn. . .6

1.2.6 Parties compacts deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2.7 Parties convexes deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

2 Fonctions de plusieurs variables réelles

9

2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.1 Fonctions numériques de plusieurs variables . . . . . . .

9

2.1.2 Fonctions vectorielles de plusieurs variables . . . . . . .

10

2.2 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3.1 Les dérivées partielles premières (ou d"ordre 1) . . . . .

15

2.3.2 La différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3.3 La relation entre la différentiabilité et les dérivées partielles

18

2.3.4 La différentiabilité d"une fonction composée . . . . . . .

22

2.3.5 Théorème des accroissements finis (T.A.F) . . . . . . . .

24

2.3.6 Dérivées partielles d"ordre supérieur . . . . . . . . . . .

25

2.3.7 La matrice Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.8 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.1 Condition nécessaire d"existence d"un extremum . . . . .

30

2.4.2 Condition suffisante d"existence d"un extremum . . . . .

30
I

Analyse 3 (Notes de cours)/ S3/FSTE S.M. Douiri

2.5 Difféomorphismes et Théorème des fonctions implicites . . . . .

31

2.5.1 Difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.5.2 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . .

32

3 Calculs des intégrales doubles et triples

34

3.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.1.1 Intégration sur un rectangle deR2. . . . . . . . . . . . .35

3.1.2 Calcul des intégrales doubles sur un rectangle . . . . . .

36

3.1.3 Intégration sur une partie bornée deR2. . . . . . . . . .37

3.1.4 Intégrale double et changement de variables . . . . . . .

38

3.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2.1 Théorème de Fubini dansR3. . . . . . . . . . . . . . . .39

3.2.2 Changement de variables dansR3:. . . . . . . . . . . . .40

II

Chapitre1Notions Topologiques dansRn

1.1 L"espace vectoriel norméRn

R nest l"espace produit denensembles identiques àR, i.e R n=R R|{z} nfois;oùn2N: Un élémentxdeRns"écrit sous la formex= (x1;x2;:::;xn);où lesxisont des réels. L"espaceRnpeut être muni d"une structure d"espace vectoriel surR:Il suffit de poser pour tout couplex= (x1;x2;:::;xn); y= (y1;y2;:::;yn)et pour tout2R: x+y= (x1+y1;x2+y2;:::;xn+yn)etx= (x1;x2;:::;xn): R estlabasecanoniqueoùe1= (1;0;:::;0); e2= (0;1;0;:::;0)eten= (0;:::;0;1):

1.1.1 Distances

Définition 1.1.1.SoitEun ensemble quelconque. On appelle distance (ou métrique) surEtoute applicationddéfinie deEEà valeurs dansR+;vérifiant les propriétés suivantes : i)8(x;y)2EE; d(x;y) = 0,x=y(Séparation); ii)8(x;y)2EE; d(x;y) =d(y;x)(Symétrie); iii)8(x;y;z)2EEE; d(x;y)d(x;z)+d(z;y)(Inégalité triangulaire). 1

Analyse 3 (Notes de cours)/ S3/FSTE S.M. Douiri

Exemples 1.1.2.

1. L "applicationdé finiepar d(x;y) =jxyjest une distance surR: 2.

L "applicationdéfinie par d(x;y=jxyj+j1x

1y jest une distance sur R 3.

L "applicationdéfinie sur EEpard(x;y) =0six=y;

1six6=yest une dis-

tance surEappelée la distance discrète et(E;d)est un espace métrique discret.

1.1.2 Normes

Définition 1.1.3.SoitEunK-espace vectoriel (K=RouC). On appelle norme sur Etoute applicationNdeEdansR+vérifiant les propriétés suivantes : i)8x2E; N(x) = 0()x= 0(Séparation); ii)8x2E;82K; N(x) =jjN(x)(Condition d"homogéneité); iii)8(x;y)2EE; N(x+y)N(x)+N(y)(Inégalitétriangulaire). N(x)la norme dexest souvent notéekxkEoukxk:L"espaceEmuni de cette norme est appelé espace vectoriel normé (e.v.n). On le note(E;k k):

Exemples 1.1.4.

1.

La valeur absolue e stune norme sur R:

2. On peut munir l"espace vectoriel Rnpar les normes usuellesk k1,k k2et k k

1en posant pour chaque élémentx= (x1;:::;xn)deRn:

kxk1=nP i=1jxij; kxk2= nP i=1x2i 12 (Norme euclidienne); kxk1= sup i=1;:::;njxij(Norme sup ou infini): Exercice.Vérifier que les applications précédentesk k1,k k2etk k1sont des normes surRn:

Remarque 1.1.5.

1. T outespace vectoriel normé (E;jj jj)est un espace métrique dont la dis- tance est définie pard(x;y) =jjxyjj:Cette distance est appelée dis- tance associée à la normejj jjet on ajjxjj=d(x;0)pour toutx2E: 2. On peut tr ouverdes espaces métriques dont la distance n"est associée à aucune norme. 2

Analyse 3 (Notes de cours)/ S3/FSTE S.M. Douiri

Proposition 1.1.6.Soit(E;jj jj)un espace vectoriel normé.

8 x2E;jjxjj 0etjj xjj=jjxjj:

8 x1;:::;xp2E;81;:::;p2K;jjPp

i=1ixijj Pp i=1jijjjxijj:

8 x;y2E;j jjxjj jjyjj j jjxyjj:

Preuve."Exercice".

Définition 1.1.7.Deux normesN1etN2, définies sur un même espace vectoriel norméE;sont dites équivalentes s"ils existent deux réels strictement positifset tels que N

1(x)N2(x) N1(x);8x2E:

On écrit alorsN1N2:

Exercice.Montrer que les trois normes usuellesjj jj1;jj jj2etjj jj1définies sur R nsont équivalentes. Remarque 1.1.8.Généralement, dans un espace vectoriel normé de dimension finie ( en particulier dansRn) toutes les normes sont équivalentes.

1.2 Notions topologiques dansRn

1.2.1 Boules ouvertes, boules fermées et parties bornées

Définitions 1.2.1.Soita2Rnetr2R+:

1. La partie S(a;r) =fx2Rn:jjxajj=rgest appeléesphère de centrea et de rayonr. 2. On appelle boule ouverte de centreaet de rayonrla partie deRnnotée B(a;r)(ouBjj jj(a;r)pour montrer la norme utilisée) et définie par

B(a;r) =fx2Rn:jjxajj< rg:

3. On appelle boule fermée de centreaet de rayonrla partie deRnnotée B

0(a;r)(ouBf(a;r)ouB0jj jj(a;r)) et définie par

B

0(a;r) =Bf(a;r) =fx2Rn:jjxajj rg:

Remarques 1.2.2.

1. Dans le c asoù a= 0Rnetr= 1, on parle des boules et sphèresunitées. 2. Les boules(resp.sphères)ontdesformesgéométriquesdifférentesselon les normes utilisées. 3

Analyse 3 (Notes de cours)/ S3/FSTE S.M. Douiri

Exemples 1.2.3.

?Dans(R2;jj jj1): S jj jj1((0;0);1) =f(x;y)2R2:jj(x;y)jj1= 1g=f(x;y)2R2:jxj+jyj= 1g etBjj jj1((0;0);1) =f(x;y)2R2:jj(x;y)jj1<1g=f(x;y)2R2:jxj+jyj<1g: ?Dans(R2;jj jj2): S jj jj2((0;0);1) =f(x;y)2R2:jj(x;y)jj2= 1g=f(x;y)2R2:pxquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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