Exercices de mathématiques
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SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
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Rapport du jury
Suites numériques. Limites. 29. Suites définies par récurrence un+1=f(un) mathématiques complémentaires (2020) Terminale spécialité (2020)
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
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Recueil dannales en Mathématiques Terminale S – Enseignement
29 avr. 2008 Étudier la monotonie de la suite u. Frédéric Demoulin. Page 7. Page 9. Annales Terminale S. Suites numériques ... Déduire des deux questions ...
Mathématiques : du lycée aux CPGE scientifiques
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mathématiques au cycle 4 - motivation engagement
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Suites 1 Convergence
Exercice 9. Déterminer les limites lorsque n tend vers l'infini des suites ci-dessous; pour chacune essayer de préciser en.
SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
Représentation graphique. Remarque : Les points de la représentation graphique sont alignés. Page 4. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.
QCM DE MATHÉMATIQUES 2021–2022
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Exercices de mathématiques pour la classe terminale - 2e partie
Déterminer la limite de la suite ( ) . 4) Dans cette question on prend = 0
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TERMINALE S. LES SUITES NUMERIQUES. A. Notation - Définition. Définition : une suite numérique (un) est une application de dans .
Terminale Option mathématiques complémentaires Programme 2020
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Suites numériques
8 nov. 2011 La notion de convergence a une définition mathématique que vous devez ... 9. ? Si la suite (un) converge vers l
Terminale générale - Suites numériques - Exercices - Devoirs
Suites numériques – Exercices - Devoirs Exercice 1 corrigé disponible 1 Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier n un+1 = 5un + 4 Montrer que pour tout entier n un >0 2 Démontrer que pour tout n entier 4n+5 est un multiple de 3 3 Soit (un) la suite définie par u0 = -3 et pour tout entier n un+1 = 5 – 4un
Suites numériques – Fiche de cours
Une suite (un) a pour limite +? si ?n 0?N à partir duquel : ? A>0 un?] A ;+?[ Une suite (un) a pour limite -? si ?n 0?N à partir duquel : ? A>0 un?]?? ; A [ lim un=±? n?? on dit que (un) diverge lim n=lim n2=lim n3=lim ?n=? x?? x?? x?? x?? 3 3 Limites par encadrement ou comparaison
Suites
1 Convergence
Exercice 1Montrer que toute suite convergente est bornée. Montrer qu"une suite d"entiers qui converge est constante à partir d"un certain rang.Montrer que la suite(un)n2Ndéfinie par
u n= (1)n+1n n"est pas convergente. Soit(un)n2Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si(un)nconverge vers un réel`alors(u2n)net(u2n+1)nconvergent vers`. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, il en est de même de(un)n. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, de même limite`, il en est de même de(un)n. Soitqun entier au moins égal à 2. Pour toutn2N, on poseun=cos2npq 1.Montrer que un+q=unpour toutn2N.
2. Calculer unqetunq+1. En déduire que la suite(un)n"a pas de limite.SoitHn=1+12
++1n 1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n>0 :1n+16ln(n+1)ln(n)61n 2.En déduire que ln (n+1)6Hn6ln(n)+1.
3.Déterminer la limite de Hn.
4. Montrer que un=Hnln(n)est décroissante et positive. 15.Conclusion ?
On considère la fonctionf:R!Rdéfinie par
f(x) =x39 +2x3 +19 et on définit la suite(xn)n>0en posantx0=0 etxn+1=f(xn)pourn2N: 1. Montrer que l"équation x33x+1=0 possède une solution uniquea2]0;1=2[: 2.Montrer que l"équation f(x) =xest équivalente à l"équationx33x+1=0 et en déduire queaest
l"unique solution de l"équationf(x) =xdans l"intervalle[0;1=2]: 3. Montrer que la fonction fest croissante surR+et quef(R+)R+. En déduire que la suite(xn)est croissante. 4. Montrer que f(1=2)<1=2 et en déduire que 06xn<1=2 pour toutn>0: 5.Montrer que la suite (xn)n>0converge versa:
Exercice 8Posonsu2=112
2et pour tout entiern>3,
u n= 1122 113
2 11n 2
Calculerun. En déduire que l"on a limun=12
Déterminer les limites lorsquentend vers l"infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en
quelques mots la méthode employée. 1.1 ; 12
;13 ;:::;(1)n1n 2.2 =1 ; 4=3 ; 6=5 ;:::; 2n=(2n1);:::
3.0 ;23 ; 0;233 ;:::; 0;2333 ;:::
4. 1n 2+2n2++n1n
2 5. (n+1)(n+2)(n+3)n 3 6.1+3+5++(2n1)n+12n+12
7. n+(1)nn(1)n 2 8.2n+1+3n+12
n+3n 9.1=2+1=4+1=8++1=2npuisp2 ;
q2 p2 ; r2 q2 p2 ;::: 10. 113+19 127
++(1)n3 n 11. pn+1pn 12. nsin(n!)n 2+1 13.
Démontrer la formule 1 +22+32++n2=16
n(n+1)(2n+1); en déduire limn!¥1+22+32++n2n 3.On considère les deux suites :
u n=1+12! +13! ++1n!;n2N; v n=un+1n!;n2N:Montrer que(un)net(vn)nconvergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est un élément de
RnQ. Soita>0. On définit la suite(un)n>0paru0un réel vérifiantu0>0 et par la relation u n+1=12 u n+au nOn se propose de montrer que(un)tend verspa.
1.Montrer que
u n+12a=(un2a)24un2: 2. Montrer que si n>1 alorsun>papuis que la suite(un)n>1est décroissante. 3.En déduire que la suite (un)converge verspa.
4. En utilisant la relation un+12a= (un+1pa)(un+1+pa)donner une majoration deun+1paen fonction deunpa. 5.Si u1pa6ket pourn>1 montrer que
u npa62pa k2 pa 2n1 6.Application : Calculer
p10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenantu0=3.Soientaetbdeux réels,a Soient u0etv0des réels strictement positifs avecu0 Indication pourl"exer cice1 NÉcrire la définition de la convergence d"une suite(un)avec les "e". Comme on a une proposition qui est vraie pour toute>0, c"est en particulier vrai poure=1. Cela nous donne un "N". Ensuite séparez la suite en deux : regardez lesn constante.Indication pourl"exer cice3 NOn prendra garde à ne pas parler de limite d"une suite sans savoir au préalable qu"elle converge ! Vous pouvez utiliser le résultat du cours suivant : Soit(un)une suite convergeant vers la limite`alors toute sous-suite(vn)de(un)a pour limite`.Indication pourl"exer cice4 NDans l"ordre c"est vrai, faux et vrai. Lorsque c"est faux chercher un contre-exemple, lorsque c"est vrai il faut le prouver.Indication pourl"exer cice5 NPour la deuxième question, raisonner par l"absurde et trouver deux sous-suites ayant des limites distinctes. Pour chacune des majorations, il s"agit de f airela somme de l"inég alitéprécédente et de s"aperce voirque Que f aitune suite décroissante et minorée ? Indication pourl"exer cice7 NPour la première question : attention on ne demande pas de calculera! L"existence vient du théorème des Pour la dernière question : il faut d"une part montrer que(xn)converge et on note`sa limite et d"autre part il avec des entiers.Indication pourl"exer cice11 N1.C"est un calcul de réduction au même dénominateur . suffit pour la précision demandée.Indication pourl"exer cice12 NPourlapremièrequestionetlamonotonieilfautraisonnerparrécurrence. Pourlatroisièmequestion, remarquer que sifest décroissante alorsffest croissante et appliquer la première question.Indication pourl"exer cice13 N1.Re garderce que donne l"inég alitéen éle vantau carré de chaque coté. Une suite croissante et majorée con verge; une suite décroissante et minorée aussi. Indication pourl"exer cice14 NOn noterafn:[0;1]!Rla fonction définie parfn(x) =ånk=1xk1: On sait que fn(an) =0. Montrer par un calcul quefn(an1)>0, en déduire la décroissance de(an). En Donc la suite(un)est stationnaire (au moins) à partir deN. En prime, elle est bien évidemment convergente vers`=a2N.Correction del"exer cice3 NIl est facile de se convaincre que(un)n"a pas de limite, mais plus délicat d"en donner une démonstration formelle. En effet, dès lors qu"on ne sait pas qu"une suite(un)converge, on ne peut pas écrire limun, c"est un n"a pas de sens. Par contre voilà ce qu"on peut dire :Comme la suite1=n tend vers0quand n!¥, la suite nest convergente si et seulement si la suite(1)nl"est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite.Cette affirmation provient tout simplement du théorème suivant Théorème: Soient(un)et(vn)deux suites convergeant vers deux limites`et`0. Alors la suite(wn)définie par De plus, il n"est pas vrai que toute suite convergente doit forcément être croissante et majorée ou décroissante et minorée. Par exemple,(1)n=nest une suite qui converge vers 0 mais qui n"est ni croissante, ni décroissante.02[a;b]et pour toutn2N;un+1=f(un):
3 1.On suppose ici que fest croissante. Montrer que(un)nest monotone et en déduire sa convergence vers
une solution de l"équationf(x) =x. 2.Application.Calculer la limite de la suite définie par :
u 0=4 et pour toutn2N;un+1=4un+5u
n+3: 3. On suppose maintenant que fest décroissante. Montrer que les suites(u2n)net(u2n+1)nsont monotones et convergentes. 4.Application.Soit
u 0=12 et pour toutn2N;un+1= (1un)2: Calculer les limites des suites(u2n)net(u2n+1)n.
1. Soient a;b>0. Montrer quepab6a+b2
2. Montrer les inég alitéssui vantes( b>a>0) :
a6a+b2 6beta6pab6b:
3. Montrer que un6vnquel que soitn2N.
(b) Montrer que (vn)est une suite décroissante.
(c) Montrer que (un)est croissante En déduire que les suites(un)et(vn)sont convergentes et quelles ont même limite. Soitn>1.
1. Montrer que l"équation
nå k=1xk=1 admet une unique solution, notéean, dans[0;1]. 2. Montrer que (an)n2Nest décroissante minorée par12 3. Montrer que (an)converge vers12
Indication pour
l"exer cice 6 N1.En se rappelant que l"intégrale calcule une aire montrer :
1n+16Z
n+1 ndtt 61n
2. La limite est +¥.
4. Calculer un+1un.
5. 2=(k1)(k+1)k:k. Puis simplifier l"écriture deun.Indication pourl"exer cice10 N1.Montrer que (un)est croissante et(vn)décroissante.
5 2.Montrer que (un)est majorée et(vn)minorée. Montrer que ces suites ont la même limite.
3. Raisonner par l"absurde : si la limite `=pq
alors multiplier l"inégalitéuq6pq 6vqparq! et raisonner
Pour montrer la décroisance, montrer
un+1u n61. 3. Montrer d"abord que la suite con verge,montrer ensuite que la limite est pa. 4. Penser à écrire u2n+1a= (un+1pa)(un+1+pa).
5. Raisonner par récurrence.
6. Pour u0=3 on au1=3;166:::, donc 36p106u1et on peut prendrek=0:17 par exemple etn=4 Petites manipulations des inég alités.
3. (a) Utiliser 1.
(b) Utiliser 2.
(c) C"est une étude de la fonction fn.
2. 6`
Conclure.6
Correction del"exer cice1 NSoit(un)une suite convergeant vers`2R. Par définition 8e>09N2N8n>Njun`j
La convergence de(un)s"écrit :
8e>09N2Ntel que(n>N) jun`j
Fixonse=12
, nous obtenons unNcorrespondant. Et pourn>N,un2I. Mais de plusunest un entier, donc n>N)un2I\N: En conséquent,I\Nn"est pas vide (par exempleuNen est un élément) doncI\N=fag. L"implication précédente s"écrit maintenant : n>N)un=a:
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