[PDF] Sans titre Chapitre 1- Suites numériques.

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Chapitre 1- Suites numériques.

I. Exercices

1. Énoncés

Raisonnement par récurrence

Exercice 1

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, on a : 1 1213
n k nn nkk

Exercice 2

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, on a : 4 57
1(1) 2 2 n k nnkk

Exercice 3

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n 4, on a : 212 !
n nn .

Exercice 4

On considère la suite (u

n) définie sur N par 0 2 1 2 nn u u unn

Déterminer le plus petit entier n

0 tel que

n un, puis démontrer par récurrence que, pour tout entier n > n 0, nun.

Sens de variation d'une suite

Exercice 5

On considère la suite (u

n) d'entiers naturels définie par: u0 = 1 3 et un+ 1 = un (2 - un)

1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 u

n 1.

2) En déduire le sens de variation de la suite u.

Exercice 6

1) La suite ()

n u est définie sur N* par 11 1 n unn.

Déterminer le sens de variation de la suite u.

12

2) Étudier de même la monotonie de la suite ()

n u définie sur N* par n u 2 n n

Suites arithmétiques et géométriques

Exercice 7

Soit n uune suite arithmétique de premier terme 0

2u telle que

0 13 4 2 n k k nnu . Déterminer la raison de () n u.

Exercice 8

Soit n ula suite définie par : 0 1 1 185
nn u uu Soit n vla suite définie par : 10 nn vu.

1) Démontrer que la suite

n vest une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.

2) En déduire l'expression de

n v en fonction de n puis de n u.

3) Déterminer la limite de la suite

n u.

Limites d'une suite

Exercice 9

Dans chacun des cas suivants, dire si la suite admet une limite et, si oui, préciser cette limite: a)

²21

n un n b) 21
3 n nun c) 2 1 21
n nun d) 2 2 39
35
n nnunn e) 3 2 nn u f) 1 3 2 n n n u 3)2 n n gu

Exercice 10

On considère la suite (u

n) définie sur N par: 2 2sin 31
n nun

1) Montrer que, pour tout entier n, on a :

12 31 31
n unn.

2) En déduire la limite de la suite (u

n).

Exercice 11

On considère la suite (u

n) définie sur N par: 2 3 n un n n .

1) Vérifier que, pour tout entier n, u

n 2n. 13

2) En déduire la limite de la suite (un).

Exercice 12

Soit la suite (u

n) définie pour tout entier naturel n par : 0 1 2u et 1 12 2 nn n uuu

1) Soit f la fonction définie sur ]0 ; +[ par

12

2fx xx

Étudier les variations de f (dresser le tableau de variation de f ).

2.a) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,

2 n u. b) Montrer que, pour tout

2x, f (x) x.

c) En déduire que la suite (u n) est décroissante à partir du rang 1. d) Prouver qu'elle converge. 12 2xxx . En déduire sa valeur.

Exercice 13***

On considère la fonction f définie sur R par : 2 ( ) 1 ...... n fx x x x .

1) Montrer que pour tout x 1,

1 1()1 n xfxx

2) En calculant f (x) de deux façons différents, déterminer la somme :

21

1 2 3 ......

n xx nx

3) En déduire les limites des sommes suivantes :

2

11 11 ......22 2

n et 21

231 ......33 3

n n

Exercice 14***

Soient deux suites u et v telles que, pour tout entier naturel n : 01 01 n n u v et lim 1 nnn uv . Démontrer que les suites u et v sont convergentes et que lim lim 1 nnnn uv

Exercice 15***

La suite (u

n)nא 10 2 n n

1) Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l'équivalence suivante :

u n+1 0,95un si et seulement si 10

111,9n

2) On considère la fonction f définie sur [1 ; +[ par

10

1() 1fxx

14 a) Étudier le sens de variation et la limite en + de la fonction f . b) Montrer qu'il existe dans l'intervalle [1 ; +[ un unique nombre réel Į tel que f (Į) = 1,9. c) Déterminer l'entier naturel n

0 tel que n0 - 1 Į n0.

d) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a : 10

111,9n

3.a) Déterminer le sens de variation de la suite (u

n) à partir du rang 16. b) Que peut-on en déduire pour la suite ?

4) En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel n

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