[PDF] Épreuve de Mathématiques 1 Exercice 1 (Petites mines 2008

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Lycée La Prat"s Vendredi 7 septembre 2012

Classe de PT

Épreuve de Mathématiques 1

Durée 4 hL"usage des calculatrices est interdit.

La présentation, la lisibilité, l"orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements en-

treront pour une part importante dans l"appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne

seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs. Exercice 1 (Petites mines, 2008, épreuve commune, second problème) On considère dans tout ce problème les deux fonctionsFetGdéfinies surR+par :

F(x) =sin(x)x

G(x) =1cos(x)x

Partie A : Études de deux fonctions

1) a) Montrer que les fonctionsFetGsont continues surR+. b)Montrer queFetGsont prolongeables par continuité en 0. On notera encoreFetGces prolon- gements. 2) a) Montrer que les fonctionsFetGsont dérivables surR+et calculer leurs dérivées.

b)Démontrer, à l"aide de développements limités, que les fonctionsFetGsont dérivables en0.

Préciser les valeurs deF0(0)etG0(0).

3)

a) Montrer que les réels strictement positifs tels queF(x) = 0constituent une suite(ak)k>1stricte-

ment croissante. On donnera explicitement la valeur deak. b)Montrer que les réels strictement positifs tels queG(x) = 0constituent une suite(bk)k>1stricte- ment croissante. Y-a-t"il un lien entre les suites(ak)k>1et(bk)k>1? 4) a) Soitk2N. Montrer sans calculqu"il existe un réelxk2]ak;ak+1[tel queF0(xk) = 0. b)Montrer que la fonctionF0est de même signe queh:x7!xcos(x)sin(x)surR+. c)Démontrer que pour toutk2N, la fonctionhest strictement monotone sur[ak;ak+1]. d)En déduire l"unicité du réelxkdéfini dans la question 4.(a). e)Établir que :8k2N;xk2]ak;ak+=2[. f)Calculerlimk!+1xkpuis déterminer un équivalent simple de la suite(xk).

5)Tracer l"allure de la courbe représentativeCFde la fonctionFlorsque l"abscissexvarie dans[0;4].

On se placera dans un repère orthogonal(O;!{ ;!|)tel quek!{k= 1cm etk!|k= 10cm. On fera

apparaître clairement les tangentes horizontales à la courbe et on précisera les abscisses des points

d"intersection deCFavec l"axe(O;!{). Partie B : Deux fonctions définies par des intégrales

Dans toute cette partie,Edésigne l"ensemble des fonctions de classeC1sur[0;1]. Sifappartient àE, on

pose, pour toutx2R: I f(x) =Z 1 0 f(t)cos(xt) dt Jf(x) =Z 1 0 f(t)sin(xt) dt

Soitfune fonction appartenant àE.

1 DST16)Soitx2R. Justifier que les deux réelsIf(x)etJf(x)sont bien définis. On dispose donc de deux fonctionsIfetJfdéfinies surR.

7)Déterminer la parité des fonctionsIfetJf.

8)On se propose de calculer dans cette question les limites deIfetJfen+1et en1.

a)Établir que :8x >0;If(x) +iJf(x) =f(1)eixf(0)ix 1ix Z 1 0 f0(t)eixtdt. b)Expliquer rapidement pourquoi les fonctionsfetf0sont bornées sur[0;1].

On posera par la suiteM= sup

x2[0;1]jf(x)jetM0= sup x2[0;1]f0(x). c)En déduire qu"il existeA2R+tel que8x >0;jIf(x) +iJf(x)j6Ax d)Á l"aide de la question 8)c), calculerlimx!+1(If(x) +iJf(x)).

En déduirelimx!+1If(x)etlimx!+1Jf(x).

e)En utilisant une propriété obtenue sur les fonctionsIfetJf, calculerlimx!1If(x)etlimx!1Jf(x).

9)L"objectif de cette question est de prouver que les fonctionsIfetJfsont continues surR.

a)Soientpetqdeux réels. Rappeler la formule liantcos(p)cos(q)àsinp+q2 etsinpq2

b)Démontrer que :8u2R;jsin(u)j6juj(on pourra par exemple utiliser l"inégalité des accroisse-

ments finis). c)Soientxetydeux réels. Établir que :jIf(x)If(y)j6jxyjZ 1 0 tjf(t)jdt. d)En déduire que la fonctionIfest continue surR. Par un raisonnement analogue, on pourrait démontrer que la fonctionJfest continue surRmais ce n"est pas demandé ici.

10)A l"aide d"une fonctionfjudicieusement choisie, établir un lien entre les fonctionsFetGde la partie

A, et les fonctionsIfetJfde la partie B.

Exercice 2 (ATS 2011, exercice 3)

Les questions 3) et 4) sont indépendantes des questions 1) et 2)

Soitf(x) =Z

x=2

0dvcos(v)pourx2];[:

1) a) Calculerf0(x):Montrer quefest impaire et strictement croissante. b)Donner un équivalent simple decos2 u = sinuau voisinage de0:En déduire quelimx!f(x) = lim x!Z 2 2 x2 dvsinv= +1, et quefest une bijection de];[versR. On noteg=f1et donc dans leurs domaines de définition on ay=f(x),x=g(y). 2) a) Montrer queg0(y) = 2 cosg(y)2 . Calculerg00(y). b)Montrer queg(t)est solution de l"équation différentielle ent: X

00(t) + sin(X(t)) = 0avect>0; X(0) = 0; X0(0) =a >0

pour une valeur deaà préciser.

3)Calculerh(t) =Z

t

02du1u2pourt2]1;1[. Indication:Décomposer21u2.

4)Dans l"intégrale définissantf(x), on poseu= tanv2

2 DST1a)Exprimerven fonction deu, puisdven fonction deuetdu. b)Montrer quecos(v) =1u21 +u2. Indication:on peut calculer d"abordcos2v2

c)Faire le calcul de l"intégrale définissantf(x)et en déduire une expression def(x)à l"aide de

fonctions usuelles.

Exercice 3 (ESC Chambéry, ECT)

On considère les matrices carréesAetBdéfinies par : A=0 @3 2 2 1 3 0

1 0 31

A etB=A3I3 1) a) CalculerB,B2etB3. b)En déduireBkpour tout entierk>3.

2)À l"aide de la formule du binôme de Newton, montrer que, pour tout entiern>2,

A n= 3n I 3+n3

B+n(n1)18

B2 . Est-ce encore vrai pourn2 f0;1g?

3)On considère les suites réelles(un)n2N,(vn)n2Net(wn)n2Ndéfinies paru0= 2,v0= 1,w0= 0et pour

toutn2N, u n+1= 3un+ 2vn+ 2wn; vn+1=un+ 3vn; wn+1=un+ 3wn

On note pour toutn2N,Xn=0

@u n v n w n1 A a)Montrer par récurrence que, pour toutn2N,Xn=AnX0. b)Déduire des questions précédentes l"expression, pour tout entier natureln, deun,vnetwnen fonctions den, puis les limites de(un)n2N,(vn)n2Net(wn)n2N.

Exercice 4 (CAPES 2009, partiel)

A. Intégrales de Wallis

Pour tout entier natureln, on poseWn=Z

2

0cosntdt.

1) a) Montrer que, pour toutn>0,Wn=Z 2

0sinntdt(cette question est indépendante des suivantes).

b)CalculerW0etW1et justifier queWn>0pour toutn2N. c)Montrer que, pour tout entiern>2,nWn= (n1)Wn2. d)En déduire que la suite(nWnWn1)n>1est constante de valeur2 2) a) Montrer que la suite(Wn)est décroissante et que pour toutn>1,n1n 6WnW n161. b)En déduire un équivalent deWn(bien justifier).

3)Formule de Stirling

a)En utilisant la question 1)b), montrer queW2p=(2p)!(2 pp!)22 . ExprimerW2p+1en fonction dep.

b)Nous montrerons plus tard dans l"année (chapitre sur les séries numériques) quen!Knnenp2n.

À l"aide des questions précédentes, déterminer la constanteK. Cet équivalent est appelé laformule

de Stirling. 3

DST1B. Volume d"une boule en dimensionn

La notion d"intégrales doubles ainsi que la méthode de calcul par intégration successive (Fubini) se généra-

lisent à toute dimension finien. Une partieAnRnsera dite continûment paramétrable sin= 1etA1est un segment ou sin>2et s"il existe une partieAn1Rn1continûment paramétrable et deux fonctions continues '; :An1!Rtelles que A n=f(x1;:::;xn)2Rn=(x1;:::;xn1)2An1et'(x1;:::;xn1)6xn6 (x1;:::;xn1)g Avec ces notations, pour une fonction continuef:An!R, on définit Z Z A nf(x1;:::;xn)dxndxn1:::dx1=Z Z A n1

Z (x1;:::;xn1)

'(x1;:::;xn1)f(x1;:::;xn) dxn! dxn1:::dx1

Le volume deAnest l"intégrale ci-dessus avecf= 1. Ce qu"il faut retenir de tout ça, c"est que tout se

passe comme dans le cas des intégrales doubles (mais on empilencouches au lieu de2). SoitR >0fixé, on noteBnla boule de centre0et de rayonRdansRn, etVnson volume. B n=f(x1;:::;xn)2Rn=x21++x2n6R2g

1)Montrer que, pour toutn>2, pour tout(x1;:::;xn)2Rn, on a

(x1;:::;xn)2Bn()((x1;:::;xn1)2Bn1 qR

2x21 x2n16xn6qR

2x21 x2n1

En déduire, par récurrence surn>1queBnest continûment paramétrable.

2)Soit >0un réel etm>0un entier. Montrer, en se servant d"un changement de variable, que

Z (2x2)m2 dx= 2m+1Wm+1

3)En déduire que, pour tout entiern>2et toutk2 f1;:::;n1gon a

V n= 2k kY i=1W i! Z :::Z B nk(R2x21 x2nk)k2 dxnk:::dx1 Indication:On pourra, pournfixé, faire une récurrence finie surk.

4)Prouver finalement que, pour tout entiern>1, on a

V n= nY i=1W i! (2R)n

et en déduire, à l"aide des résultats de la partie A, les expressions deV2petV2p+1. ExpliciterV1,V2,

V

3etV4.

5)En utilisant la formule de Stirling, donner des équivalents simples de(V2p)et(V2p+1). En déduire que

(Vn)converge et donner sa limite.

6)Montrer que, soit la suite(Vn)est décroissante, soit il existe un rangn0tel que la suite(Vn)soit

croissante jusqu"enn0, puis décroissante.

Indication:On pourra calculer simplement le rapportVn+1=Vnà l"aide des questions précédentes.

7)Donner les valeurs deRpour lesquelles la suite(Vn)est décroissante.

8)Que vaut le rangn0de la question 6 quandR= 1?

FIN DE L"ÉPREUVE

4quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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