[PDF] Épreuve de mathématiques 06-Apr-2016 B(. 1

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BÉCÉAS2016Banque d"Épreuves des Concours des Écoles d"Actuariat et Statistique

Session 2016

Épreuve de mathématiques

Durée : 4h

L"objetduproblèmeestl"étude, dansdifférentscontextes, delaconvergenceet, parfois, dela valeur de la somme d"une série de terme général"nn où, pour tout entier naturelnnon nul, nvaut 1 ou¡1.Mathématiques mardi 17 mai, matin Page 1/5 BÉCÉAS2016Partie I: Quelques cas déterministes

On note, pour tout entier naturelnnon nul,HnAEnX

kAE11k

1.On pose, pour tout entier naturelnnon nul,°nAEHn¡lnn.

Montrer que la suite de terme général (°n)n2IN ?est convergente. On note°sa limite.

2. a)Établir, pour tout entier naturelNnon nul, l"égalité:2NX

nAE1(¡1)nn

AEHN¡H2N.

b)En déduire la convergence de la sérieX(¡1)nn et la valeur de la sommeÅ1X nAE1(¡1)nn

3.On suppose dans cette question, que, pour tout entier natureln,"3nÅ1AE"3nÅ2AE1 et

3nÅ3AE¡1. Quelle est la nature de la sérieX"nn

4.On suppose dans cette question, que, pour tout entier natureln,

4nÅ1AE"4nÅ2AE1 et"4nÅ3AE"4nÅ4AE¡1.

a)Prouver, pour tout entier naturelN, l"égalité: N X nAE0³

14nÅ1¡14nÅ3´

AEZ 1

01¡x4NÅ41Åx2dx.

b)En déduire l"égalité:Å1X nAE0³

14nÅ1¡14nÅ3´

AE¼4

c)Calculer, de même, la sommeÅ1X nAE0³

14nÅ2¡14nÅ4´

et en déduire que la sérieX"nn est convergente avec

Å1X

nAE1" nn

AE¼4

Å12

ln2. Dans toute la suite de cette partie, pour tout entier naturelpnon nul, on considère la suite ("n)n2IN ?telle que, pour tout entier natureln,

2pnÅ1AE"2pnÅ2AE¢¢¢AE"2pnÅpAE1 et"2pnÅpÅ1AE"2pnÅpÅ2AE¢¢¢AE"2pnÅ2pAE¡1.

La suite("n)n2IN

?est donc constituée deptermes égaux à1, suivis deptermes égaux à¡1, suivis deptermes égaux à1, etc.

On pose, pour tout entier naturelnnon nul,SnAEnX

kAE1" kk

5. a)Prouver, pour tout entier natureln, la majoration:2pnÅ2pX

kAE2pnÅ1" kk

612n2¢

b)En déduire la convergence de la suite(S2pn)n2IN c)Prouver la convergence de la sérieX"nn On note§pla somme de cette série c"est-à-dire§pAEÅ1X nAE1" nn

6. a)Établir, pour tout entier naturelNnon nul, l"égalité:

N X nAE0³ AENX nAE0Z 1 0 (1ÅxÅ¢¢¢Åxp¡1)(1¡xp)x2pndx.Mathématiques mardi 17 mai, matin Page 2/5 BÉCÉAS2016b)En déduire l"égalité: limN!Å1S2p(NÅ1)AEZ 1 c)Conclure à l"égalité:§pAEZ 1

7.?????? ??§3

a)Soit (a,b)2IR£IR*. Vérifier que la fonctionx7!1b arctan³x¡ab est une primitive sur

IR de la fonctionx7!1(x¡a)2Åb2¢

b)En déduire la valeur deZ 1 01x

2¡xÅ1dxpuis conclure à l"égalité:§3AE2¼3

p3

Å13

ln2. a)Justifier la convergence de l"intégraleZ Å1

01ÅxÅ¢¢¢Åxp¡21Åxpdxet établir l"égalité:

(1)§pAEln2p

Å12

Z Å1 b)Établirl"égalité:Z Å1 Z Å1 c)En déduire l"égalité:§2pAE12 Z Å1

§p¢

9.?????? ??Z

Å1 0x

2q1Åx2pdx

a)SoitAun réel strictement positif etfest une fonction continue définie sur IR à valeurs dansC dont on notef1(resp.f2) la partie réelle (resp. imaginaire).

Onrappelle(ouonadmet)queZ

A

¡Af(t)dtdésignelasommeZ

A

¡Af1(t)dtÅiZ

A

¡Af2(t)dt.

Soit®2]0,2¼[\{¼}. Établir l"égalité: lim

A!Å1Z

A

¡i¼sinon.

b) (i)On note, pour toutk2J0,2p¡1K,zkAEexp³(2kÅ1)i¼2p´ Établir, pour tout entierr2J0,2p¡1K, l"existence et l"unicité d"un polynôme deC

2p¡1[X], notéLr, tel que

L r(zk)AEn0 sik6AEr;

1 sinon.

(ii)Montrer que la famille (L0,L1,...,L2p¡1) est une base deC

2p¡1[X].

c)Soitq2J0,p¡1K. (i)Justifier l"existence de nombres complexes¸0,¸1,...,¸2p¡1tels que, pour tout réel t, t

2q1Åt2pAE2p¡1X

kAE0¸ kt¡zk¢Mathématiques mardi 17 mai, matin Page 3/5 BÉCÉAS2016(ii)Établir l"égalité:2p¡1X kAE0¸ kAE0. (iii)Prouver, pour toutk2J0,2p¡1K, l"égalité:¸kAE¡z2qÅ1 k2p¢ d)En déduire l"égalité:Z Å1 0x

2q1Åx2pdxAE¡i¼2pp¡1X

kAE0exp³h(2kÅ1)(2qÅ1)2pi i¼´

10.Déterminer la valeur de§4.

Partie II: Un cas aléatoire

On considère une suite (Yn)n2IN

?de variables aléatoires réelles discrètes, toutes définies sur le même espace probabilisé (,A,P),indépendantes,centrées(c"est-à-dire d"espérance nulle) et possédant un moment d"ordre 2.

Onadmetqu"une suite réelle (un)n2IN

?converge si, et seulement si, on a

8"È09N2IN

*8(n,p)2IN 2³ p>Netn>N)jup¡unj6"´

On pose, pour tout entier naturelnnon nul,SnAEnX

kAE1Y ket on noteCl"ensemble des!2 pour lesquels la suite S n(!)´ n2IN *converge.

1.On pose, pour tout"È0,B(")AEÅ1[

NAE1\ n>N p>Nh j

Sn¡Spj6"i

a) (i)Justifier, pour tout"È0, l"appartenance deB(") àA. (ii)Établir l"égalité:CAE\ "È0B("). (iii)Comparer les ensemblesB(") etB("0) quand 0Ç"Ç"0. (iv)Établir l"égalité:CAEÅ1\ kAE1B(1k ) et en déduire queC2A.

2. a)Montrer queP(C)AE1 si, et seulement si, pour tout entier naturelknon nul,

P B(1k AE1. b)En déduire queP(C)AE1 si, et seulement si, pour tout"È0, P

Å1\

NAE1[ n>N p>Nh j

Sp¡SnjÈ"i´

AE0. c)MontrerqueP(C)AE1si,etseulementsi,pourtout"È0, limN!Å1P³[ n>N p>Nh j

Sp¡SnjÈ"i´

AE0. Quand une variable aléatoireU, définie sur(,A,P), a une espérance on noteE(U) sa valeur.Mathématiques mardi 17 mai, matin Page 4/5 BÉCÉAS2016Soit"È0 etNun entier naturel non nul. On noteTNl"application qui, à chaque!2, associe l"élément de IN[{Å1} défini par T

N(!)AEinfn

p2IN *;pÈNetjSp(!)¡SN(!)jÈ"o (avec la convention inf;AEÅ1).

1. a)SoitAun événement. Établir l"égalité:E(1A)AEP(A).

b)Déterminer, pour tout entier naturelNnon nul et pour tout entierpÈN, les valeurs des espérancesE(Sp¡SN) etE((Sp¡SN)2) en fonction des moments desYk.

2.Exprimer, pour tout entierkÈN, l"ensemble [TNAEk] à l"aide d"événements liés à dif-

férentes variables aléatoiresSiet en déduire que l"applicationTNest une variable aléa- toire.

3. a)Prouver, pour tout entierkÈN, l"inégalité:"2P([TNAEk])6E³

(Sk¡SN)21[TNAEk]´ b)Soitpun entier strictement plus grand queN. c)En déduire, pour tout (p,k)2IN

2vérifiantNÇk6p, l"inégalité:

2P([TNAEk])6E³

(Sp¡SN)21[TNAEk]´ d)Prouver, pour tout entierpÈN, l"inégalité: 2pX kAENÅ1P ([TNAEk])6pX iAENÅ1E(Y2 i).

4.On suppose, de plus, que la sérieXE(Y2m) converge. Établir l"inégalité:

P pÈNh j

Sp¡SNjÈ"i´

61"

2Å1

X iAENÅ1E(Y2 i).

On considère une suite (Xn)n2IN

?de variables aléatoires réelles discrètes, toutes définies sur le même espace probabilisé (,A,P),indépendanteset toutes demême loiqueX1. On suppose que la loi de la variableX1est donnée par P ([X1AE¡1])AEP([X1AE1])AE12

On pose, pour tout entier naturelnnon nul,SnAEnX

kAE1X kk

1.Prouver, pour tout entier naturelNnon nul, l"inclusion

n>N p>Nh j

Sp¡SnjÈ"i

pÈNh j

Sp¡SNjÈ"2

i des!2pour lesquels la sérieXXn(!)n converge est de probabilité 1.Mathématiques mardi 17 mai, matin Page 5/5 BÉCÉAS2016Banque d"Épreuves des Concours des Écoles d"Actuariat et Statistique

Session 2016

Épreuve à option (A) : Mathématiques

Durée : 4h

deaestplate à l"ordre n en asif(x)¡f(a) est négligeable devant (x¡a)nmais pas devant (x¡a)nÅ1lorsquextend versa. On dit quefestultraplate en asif(x)¡f(a) est négligeable devant (x¡a)mlorsquextend versa, quel que soit l"entier naturelm. L"objet du problème est l"étude des fonctions plates et de leurs approximations polyno- miales. Les quatre parties du sujet sont largement indépendantes, mais les notations de la partie 1 sont utilisées dans les deux parties suivantes.

L"évaluation des copies sera étroitement liée à la rigueur des raisonnements et à une utilisa-

tion dûment justifiée du cours. Une présentation soignée sera appréciée, une présentation

par trop négligée sanctionnée.Option A mercredi 18 mai, matin Page 1/5 BÉCÉAS2016Partie 1 : étude des espacesEn(a) qu"il possède aussi une structure d"anneau commutatif et d"algèbre. la différencef(x)¡f(a) soit négligeable devant (x¡a)nlorsquextend versa. a) Démontrer, en utilisant une formule de Taylor, que la fonctionfappartient à E n(a) si, et seulement si, pour tout entierkcompris entre 1 etn, la dérivée d"ordrek defenaest nulle : f2En(a)()8k2[[1,n]],f(k)(a)AE0 . b) Démontrer que la sommes:x7¡!Å1X kAE0a kxkd"une série entière de rayon de convergence infini est ultraplate en 0 si, et seulement si,sest une fonction constante.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] montrer que q est dénombrable

[PDF] montrer que racine de 3 est irrationnel

[PDF] montrer que racine de n est irrationnel

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