[PDF] . Polynômes `a valeurs enti`eres sur les nombres premiers Objectif

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Polynˆomes `a valeurs enti`eres sur les nombres premiers Objectif.Le but de ce probl`eme est l"´etude d"ensembles de polynˆomes prenant sur certaines parties des valeurs particuli`eres et, notamment une caract´erisation des polynˆomes prenant des valeurs enti`eres sur tous les nombres premiers.

NOTATIONS.

SiA etBd´esignent 2 ensembles,B´etant inclus dansA, on note

A\B={x?A;x /?B}.

On note :

Nl"ensemble des entiers naturels,N?l"ensembleN\ {0};

Zl"ensemble des entiers relatifs ;

Ql"ensemble des nombres rationnels,Q+l"ensemble des rationnels positifs ou nuls,Q?l"ensembleQ\ {0};

Rl"ensemble des nombres r´eels,

R+l"ensemble des r´eels positifs ou nuls ;

Pl"ensemble des nombres premiers.

Pour tout nombre premierp, on noteZ(p)l"ensemble des rationnels dont une repr´esentation irr´eductible a un d´enominateur non divisible parp.

Pour tout r´eelx

, on appelle partie enti`ere dexet on note [x] l"unique entier

On note :

Q[X] l"ensemble des polynˆomes en l"ind´etermin´eeX`a coefficients rationnels, R[X] l"ensemble des polynˆomes en l"ind´etermin´eeX`a coefficients r´eels et, pour tout entier natureln,Rn[X] le sous-ensemble deR[X] form´e des poly- nˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `an.

Pour tous sous-ensemblesEetF

deR, on note :

P(E,F) ={P?R[X] ;P(E)?F},

`a savoir, l"ensemble des ´el´ements deR[X] dont la valeur en chaque ´el´ement deEappartient `aF. Les parties A, B, C sont ind´ependantes, la partie D utilise des notions et r´esultats de la partie C uniquement, la partie E utilise des r´esultats ant´erieurs qui seront en g´en´eral pr´ecis´es dans le cours de l"´enonc´e. 1 2

A - Exemples

´el´ementaires :P(Q,Q),P(R,R+),P(Q,Q+).

A - I.Caract´erisation deP(Q,Q)`a l"aide des polynˆomes de Lagrange. Soitmun entier naturel. Pour tous les entiersietjcompris entre 0 etm, on noteδi,jle symbole de Kronecker d´efini par :δi,j= 0 sii?=jetδi,i= 1.

Soientq0, q1,..., qm,m+ 1 r´eels distincts.

A - I. 1. Expliciter, pourj= 0,1,...,m, le polynˆomeLjdeRm[X] v´erifiant : L j(qi) =δi,jpouri= 0,1,...,m. vectoriel r´eelRm[X]. A - I. 3. Pour tout polynˆomePdeRm[X], exprimerPdans la base A - I. 4. Comparer l"ensembleP(Q,Q) avec l"ensembleQ[X].

A - II.Caract´erisation de l"ensembleP(R,R+).

A - II. 1. Montrer la propri´et´e suivante : (*)?(a,b,c,d)?R4,?(x,y)?R2(a2+b2)(c2+d2) =x2+y2. On exprimeraxetyen fonction dea,b,c,d. (Pour tous r´eelstetz, on pourra interpr´etert2+z2comme le carr´e du module d"un nombre complexe.) A - II. 2. SoitAun anneau commutatif unitaire (on note 0 et 1 les ´el´ements neutres de l"addition et de la multiplication). Montrer que la propri´et´e (*) reste valable lorsqu"on remplaceRparA.

On note :

S={z?A| ?x?A,?y?A, z=x2+y2}.

Montrer queScontient 0 et 1 et est stable pour la multiplication. A - II. 3. SoitPun ´el´ement non nul deP(R,R+). A - II. 3. i. On rappelle quePest le produit d"une constante par des facteurs de la forme (X-a)αet (X2+bX+c)βo`ua,b,csont des r´eels,αetβdes entiers positifs ou nuls etX2+bX+cun polynˆome irr´eductible dansR[X]. Montrer quePest de degr´e pair. Donner le signe de la constante et pr´eciser la parit´e des entiersα. A - II. 3. ii. En d´eduire quePest la somme des carr´es de deux polynˆomes deR[X]. A - II. 3. iii. Donner une caract´erisation de l"ensembleP(R,R+). A - III.La caract´erisation pr´ec´edente n"est pas valable pourP(Q,Q+). A - III. 1. Montrer queP(Q,Q+) est contenu dansP(R,R+). A - III. 2. i. Donner deux d´ecompositions du polynˆome 2X2+4 en la somme des carr´es de deux polynˆomes deR[X]. A - III. 2. ii. Soienta,b,c,ddes r´eels tels que l"on ait : 3

2X2+ 4 = (aX+b)2+ (cX+d)2.

Montrer que la matrice?a⎷2

b2 c⎷2 d2 poss`ede une propri´et´e remarquable `a pr´eciser. En d´eduire que les r´eels a,b,c,dne peuvent pas tous ˆetre dansQ. A - III. 2. iii. Le polynˆome 2X2+ 4 peut-il ˆetre la somme des carr´es de deux ´el´ements deQ[X] ?

B - Etude deP(Z,Z)

Pour tout entier natureln, on note Γnle polynˆome d´efini par :

0(X) = 1 et,pourn >0,Γn(X) =X(X-1)...(X-n+ 1)n!.

B - I. 1. Montrer que, pour toutn, le polynˆome Γnappartient `aP(Z,Z). forme une base de l"espace vectoriel r´eelRm[X].

SoitPun ´el´ement deRm[X]. On ´ecrit :

P=? nΓnavecd0,d1,...,dm?R. B - III. Montrer que les quatre assertions suivantes sont ´equivalentes : (i)P? P(Z,Z), (ii)d0, d1,...,dm?Z, (iii)P(0),P(1),...,P(m)?Z, (iv) il existem+1 entiers cons´ecutifs en lesquels les valeurs dePsont des entiers.

B - IV. 1. Dans cette question,m= 5 et

P(X) =X5-15X4+ 85X3-225X2+ 274X-120.

n=0dnΓn. Montrer queP est scind´e surQ. B - IV. 2. Pourm >0 arbitraire, d´eterminer les z´eros du polynˆome P=?m n=0(-1)nΓn. En d´eduire la d´ecomposition dePen produit de polynˆomes irr´eductibles sur

Q. ExprimerP`a l"aide du seul polynˆome Γm.

4

C - Etude deP(E,Z(p))

Dans toute cette partie,pd´esigne un nombre premier fix´e. C - I. 1. Montrer que, pour tout rationnel non nulx, il existe un unique entier relatifktel quexs"´ecrive sous la formepkab oaetbsont des entiers non multiples dep. Cet entierkest not´evp(x). On pose de plusvp(0) = +∞. On d´efinit ainsi une applicationvpdeQdansZ?{+∞}. On adopte les conventions usuelles :

C - I. 2. Montrer que :

(i) L"applicationvpest surjective, (ii) Pour tousx, ydeQ,vp(xy) =vp(x) +vp(y), (iii) Pour tousx, ydeQ,vp(x+y)≥min{vp(x),vp(y)}. C - I. 3. Que vautvp(1) ? Que vautvp(-1) ? Pour tout (x,y) deQ×Q?, exprimervp?xy en fonction devp(x) etvp(y). C - I. 4. V´erifier queZ(p)={x?Q|vp(x)≥0}et queZ(p)est un sous- anneau deQ. Caract´eriser les ´el´ements inversibles deZ(p)`a l"aide devp. C - I. 5. i. Montrer que, pour (k,n) dansN?×N?, le cardinal de l"ensemble k? -?np k+1? C - I. 5. ii. Justifier la formule suivante due `a Legendre : ?n?N, vp(n!) =? k>0? np k? Dans la suite de cette partie,Ed´esigne une partie infinie deZ.

C - II. 1. Montrer que

Z=∩l?PZ(l)

C - II. 2. V´erifier que

P(E,Z) =∩l?PP(E,Z(l)).

C - III.On dit qu"une suite(un)n?Nd"´el´ements distincts deEestp-ordonn´ee dansEsi elle v´erifie: ?n?N?vp? n-1? k=0(un-uk)? = min x?Evp? n-1? k=0(x-uk)? C - III. 1. Dans cette question uniquement, on suppose quep= 3, E={1}?{3k|k?N}et (un)n?Nest une suite 3-ordonn´ee deEo`uu0= 0.

Quelles sont les valeurs possibles pouru1etu2?

C - III. 2. Montrer que siE=Z, la suite (n)n?Nestp-ordonn´ee. 5 C - III. 3. Montrer par r´ecurrence que, pour toutadansE, il existe au moins une suite (un)n?N,p-ordonn´ee dansEet v´erifiantu0=a. Y a-t-il en g´en´eral unicit´e d"une telle suite ? C - IV.Dans cette question, on consid`ere une suite(un)n?Np-ordonn´ee dans E. On lui associe la suite de polynˆomes (Pn)n?Nd´efinie par : P

0(X) = 1 et,pourn≥1, Pn(X) =n-1?

k=0X-uku n-uk. C - IV. 1. i. Montrer que les polynˆomesPnappartiennent `aP(E,Z(p)). est une base de l"espace vectoriel r´eelRm[X]. Dans la suite de cette partie,md´esigne un entier naturel etPun ´el´ement deRm[X]. Ecrivons :

P(X) =m?

n=0c nPn(X) avecc0,c1,...,cm?R. C - IV. 2. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes : (i)P? P(E,Z(p)), (ii)c0,c1,...,cm?Z(p), (iii)P(u0), P(u1),...,P(um)?Z(p). C - IV. 3. On poseω(0) = 0 et, pour tout ´el´ementndeN?, on noteω(n) l"entiervp??n-1 k=0(un-uk)? . Montrer que siPappartient `aP(E,Z(p)), alors les coefficients depω(m)Pappartiennent `aZ(p). V´erifier queP(E,Z(p)) est un sous-anneau deQ[X].

D - Caract

´erisation deP(N\pN,Z(p))

Dans toute cette partie,pd´esigne un nombre premier. On notepNl"ensemble des entiers naturels multiples depetN\pNl"ensemble des entiers naturels non multiples dep. Pour tout entier natureln, on pose p(n) =n+ 1 +?np-1? et ωp(n) =? k≥0? n(p-1)pk? D - I. 1. A l"aide de la division euclidienne parp-1, montrer que : ??p(n)p =?np-1? et?p(n)?N\pN.

D - I. 2. En d´eduire que :

(i)?pn"est autre que la bijection croissante deNsurN\pN, (ii) pour tout entier natureln,vp(?p(n)!) =ωp(n). 6 (Pour cette derni`ere question, on pourra utiliser en le justifiant le fait que, pourxdansR,aetbdansN?, on a?xab ?=?[xa ]b

D - I. 3. V´erifier que pournentier naturel :

(ii) sin < p-1, alorsωp(n) = 0. D - II. 1. Montrer que, pour (r,s) danspN×N,vp(r-?p(s)) = 0. D - II. 2. Justifier, pourn >0, les ´egalit´es : v p? n-1? k=0? p(n)-?p(k)? =vp( p(n)-1? r=0? p(n)-r?) =vp??p(n)!?. v p? n-1? k=0? p(s)-?p(k)? =vp( p(n)-1? r=0? p(s)-r?) =vp??p(s)!(?p(s)-?p(n))!? D - II. 4. En d´eduire que la suite (?p(n))n?Nest une suitep-ordonn´ee dans N\pN.

D - III.SoitPun ´el´ement deRm[X].

D - III. 1. Montrer quePappartient `aP(N\pN,Z(p)) si et seulement si

P(?p(k))appartient `aZ(p)pourk= 0,1,...,m.

D - III. 2. Montrer que siPappartient `aP(N\pN,Z(p)) alors les coefficients depωp(m)Psont dansZ(p).

E - Un algorithme pour d

´eterminer les´el´ements deP(P,Z)

E - I. Montrer successivement que :

(i)

X(X-1)(X-2)(X-3)24

? P(P,Z), (ii) (X-1)(X-2)(X-3)24 ? P(P,Z), (iii)P(Z,Z)?=P(P,Z). E - II.Dans cette questionpd´esigne un nombre premier fix´e. On utilise le th´eor`eme de Dirichlet suivant (que l"on ne cherchera pas `a d´emontrer) : Siaetbsont deux entiers naturels premiers entre eux, alors il existe au moins un entier naturelktel quea+bksoit un nombre premier.

E - II. 1.SoitQun ´el´ement deP(P,Z(p)).

Soitαun entier naturel tel que les coefficients depαQappartiennent `aZ(p). E - II. 1. i. Soitaun entier naturel. Montrer que, pour tout entier relatif k,Q(a+kpα)-Q(a) appartient `aZ(p). 7 E - II. 1. ii. Soitaun ´el´ement deN\pN. Montrer qu"il existe un entier naturelktel queQ(a+kpα) appartienne `aZ(p). E - II. 1. iii. En d´eduire queQappartient `aP(N\pN,Z(p)). E - II. 2. Pour tout nombre premierl, on poseEl={l} ?(N\lN).

E - II. 2. i. Montrer l"inclusionP?Ep.

E - II. 2. ii. En d´eduire que :

P(P,Z(p)) =P(Ep,Z(p)).

E - II. 2. iii. A l"aide de C - II. 2, montrer que :

P(P,Z) =∩l?PP(El,Z(l)).

Pour la fin du probl`eme on consid`ere un entier naturelm. X

2mQ(X) appartient `aP(Z,Z).

(On pourra utiliser E - II. 1. iii ; D - III. 2 ; D - I. 3. i ; C - II. 1 et B - III.) E- IV. On suppose dans cette question que l"´el´ementQdeRm[X] v´erifie : ?k?N?

E - IV. 1. A l"aide de D - III. 1, montrer que :

?p?PQ? P(N\pN,Z(p)). E - IV. 2. A l"aide de D - III. 2 et D - I. 3. ii, montrer que : ?p?P? (p > m+ 1)?Q(p)?Z(p)?

E - V.Caract´erisation deP(P,Z).

SoitQun ´el´ement deRm[X]. Montrer que les deux assertions suivantes sont

´equivalentes :

(a)Qappartient `aP(P,Z), E - VI. Appliquer la caract´erisation pr´ec´edente pour prouver : quel que soit le nombre premierp, on a la congruence suivante (p+ 1)(p-1)(p-2)(p-3)(p-5)(p-7)(p-193)≡0 (mod 2903040).quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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