Sans titre
Chapitre 1- Suites numériques. I. Exercices. 1. Énoncés. Raisonnement par récurrence. Exercice 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non
. Polynômes `a valeurs enti`eres sur les nombres premiers Objectif
pour tout entier naturel n Rn[X] le sous-ensemble de R[X] formé des poly- 1. Montrer la propriété suivante : (*). ?(a
Sans titre
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Épreuve de mathématiques
06-Apr-2016 B(. 1 k. ) et en déduire que C ? A . 2. a) Montrer que P(C ) = 1 si et seulement si
Exo7 - Exercices de mathématiques
(c) L'équation f(x) = 0 a exactement une solution. 3. ((un)n?N étant une suite réelle) Démontrer que pour tout entier naturel n 9 divise 10n ?1.
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1 2
Épreuve de Mathématiques 1 Exercice 1 (Petites mines 2008
07-Sept-2012 b) Calculer W0 et W1 et justifier que Wn > 0 pour tout n ? N. c) Montrer que pour tout entier n ? 2
Matrices inversibles
Si B existe elle est appelée inverse de A et notée A?1. Remarque : Un+1 = AUn. c. Montrer
Suites 1 Convergence
Exercice 5. Soit q un entier au moins égal à 2. Pour tout n ? N on pose un = cos. 2n? q . 1. Montrer que un+q =
Nouvelle Calédonie novembre 2019
Démontrer que pour tout entier naturel n
Chapitre 1- Les suites numériques.
I. Exercices
1. Énoncés
Raisonnement par récurrence
Exercice 1
= 1 + 2 3 + 3 3 +..........+ n 3 212nn
Exercice 2
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, le nombre 2 2n 1 est divisible par 3.Exercice 3
Soit (u
n ) la suite numérique définie par : 0 1 0 21nn u uu Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, u n = 2 n 1.
Exercice 4
Démontrer par récurrence pour tout entier naturel n 1, 2 21n n.
Exercice 5
On considère la suite (u
n) d'entiers naturels définie par: u0 = 1 et 1 1 nn uu Démontrer par récurrence pour tout entier naturel n, 12n u.Sens de variation d'une suite
Exercice 6
On considère la suite (u
n) d'entiers naturels définie par: u0 = 1 3 et un+ 1= un (2 - un)1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 u
n 1.2) En déduire le sens de variation de la suite u.
Exercice 7
1) La suite ()
n u est définie sur N par 2 n n un.Déterminer le sens de variation de la suite u.
3 1kn k k 82) Étudier de même la monotonie de la suite ()
n u définie sur N* par n u 2 n nSuites arithmétiques et géométriques
Exercice 8
Soit n uune suite arithmétique de premier terme 03u telle que
0 1562 n k k nnu . Déterminer la raison de la suite () n u.
Exercice 9
Soit (u
n) la suite définie sur N par : 0 1 1 167nn u uu
Soit (v
n) la suite définie sur N par : 7 nn vu.1) Démontrer que la suite (v
n) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.2) En déduire l'expression de
n uen fonction de n3) Déterminer la limite de la suite (u
n).Limites d'une suite
Exercice 10
Étudier les limites des suites données ci-dessous a) u n = n² 2n + 3 b) u n = n²-3 c) u n = d) u n = e) u n = f) u n = g) u n = h) 2 3 nn u i) 1 3 2 n n n u 4j)3 n n uExercice 11
On considère la suite (u
n) définie sur N par: 2 3cos2 21n nun
1) Montrer que, pour tout entier n, on a :
2321 21
n unn.
2) En déduire la limite de la suite (u
n).Exercice 12
On considère la suite (u
n) définie sur N par: 2 3 n un n n . 1n 1 2n n 3n n²5 1
21nnn 36
²3 5n
nn 3 3 2 5n n 91) Vérifier que, pour tout entier n, un 2n.
2) En déduire la limite de la suite (u
n).Exercice 13
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +[ par :5() 61fxx
1.a) Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; +[.
b) Résoudre dans l'intervalle [0 ; +[[ l'équation f (x) = x.On note Į la solution.
c) Montrer que si x appartient à l'intervalle [0 ; Į], alors f (x) appartient à l'intervalle [0 ; Į].2) On considère la suite (u
n) définie par u0 = 0 et pour tout n : un+1 = f (un). a) Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, 0 u n un+1 Į. b) En déduire que la suite (u n) est convergente et déterminer sa limite.Exercice 14***
Soit deux suites u et v telles que :
,0 1 ,0 1 lim 1 n n nn n nN u nN v uv Démontrer que les suites u et v sont convergentes et que lim lim 1 nnnn uvExercice 15***: sommes télescopiques
Partie A : étude d'un exemple.
On considère la suite définie sur N* par :
n unn1) Vérifier que, pour tout entier n non nul,
1! ! n un n2) On note
nS la somme
1kn nk k Su . Montrer que, pour tout entier n non nul, 1! 1 n Sn.Partie B : somme télescopique.
Soit (a
n)nN une suite de nombres. On appelle somme télescopique associée à la suite (a n) la somme 1 0 in ii i aa1.a) Calculer, pour tout entier n, la somme
1 0 in ii i aa b) Soit p un entier naturel fixé, calculer, pour tout entier n, tel que: np, 1in ii ip aaExercice 16***: suites adjacentes
Partie A : Définition de deux suites adjacentes.Deux suites
n u et n vsont adjacentes si elles vérifient les 3 conditions suivantes : (1) la suite n u est croissante 10 (2) la suite n v est décroissante (3) lim 0 nnn uv1) Démontrer que si les suites
n u et n v sont adjacentes, alors pour tout entier n, on a : nn uv.2) En déduire que deux suites adjacentes sont convergentes et qu'elles convergent
vers la même limite.Partie B :
On définit deux suites a et b par a
0 = 2, b0 = 4 et pour tout entier naturel n :
1 1 134134
nnn nnn aab bab
1) On appelle c la suite définie pour tout entier naturel n par : c
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