Sans titre
Chapitre 1- Suites numériques. I. Exercices. 1. Énoncés. Raisonnement par récurrence. Exercice 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non
. Polynômes `a valeurs enti`eres sur les nombres premiers Objectif
pour tout entier naturel n Rn[X] le sous-ensemble de R[X] formé des poly- 1. Montrer la propriété suivante : (*). ?(a
Sans titre
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n
Épreuve de mathématiques
06-Apr-2016 B(. 1 k. ) et en déduire que C ? A . 2. a) Montrer que P(C ) = 1 si et seulement si
Exo7 - Exercices de mathématiques
(c) L'équation f(x) = 0 a exactement une solution. 3. ((un)n?N étant une suite réelle) Démontrer que pour tout entier naturel n 9 divise 10n ?1.
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1 2
Épreuve de Mathématiques 1 Exercice 1 (Petites mines 2008
07-Sept-2012 b) Calculer W0 et W1 et justifier que Wn > 0 pour tout n ? N. c) Montrer que pour tout entier n ? 2
Matrices inversibles
Si B existe elle est appelée inverse de A et notée A?1. Remarque : Un+1 = AUn. c. Montrer
Suites 1 Convergence
Exercice 5. Soit q un entier au moins égal à 2. Pour tout n ? N on pose un = cos. 2n? q . 1. Montrer que un+q =
Nouvelle Calédonie novembre 2019
Démontrer que pour tout entier naturel n
Nouvelle Calédonie novembre 2019
EXERCICE 4 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 5 points On considère la suite (an)définie pour tout entier naturel n par : an=42n+1+1 5.1. Calculer a2 et a3.
2. Démontrer que pour tout entier naturel n,
an+1=16an-3.3. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
an est un entier naturel.4. Dans cette question on utilise l'égalité de la question 2, afin de démontrer plusieurs propriétés de termes de
la suite (an).4.a. Pour tout entier naturel n, on note dn le plus grand diviseur commun de an et an+1.
Démontrer que, pour tout entier naturel n,
dn est égal à 1 ou à 3.4.b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, an+1≡an (3)
4.c. Vérifier quea0≡1 (3).
En déduire que, pour tout entier naturel n, le nombre an n'est pas divisible par 3.4.d. Démontrer alors que, pour tout entier naturel
an et an+1 sont premiers entre eux.5. L'objectif de cette question est de démontrer que, pour tout entier n supérieur à 2, le nombre an n'est pas
premier.On pose pour tout entier naturel n,
bn=2n+1(2n-1)+1 et cn=2n+1(2n+1)+1. On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2,5an=bncn
5.a. Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2,
5 divise
bn ou 5 divise cn.5.b. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
Démontrer que
bn > 5 et cn > 5.5.c. En déduire que
an n'est pas un nombre premier.Nouvelle Calédonie novembre 2019
CORRECTION
Pour tout entier naturel n, an=42n+1+1
5.1. a2=45+1
5=1024+1
5=1025
5= 205
a3=47+15=16384+1
5=16385
5= 3277
2. Pour tout entier naturel n
16an-3=16×42n+1+1
5-3=16×42n+1+16-15
5=42×42n+1-1
5=42n+3-1
5=42(n+1)+1-1
5=an+1.
3. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, an est un
entier naturel.Initialisation
a0=41+1 5=1La propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédité
Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que an est un en-
tier naturel et on doit démontrer que an+1 est un entier naturel.Or an+1=16an-3 donc an+1 est un entier.
D'autre part
an=42n+1+15>0, donc an⩾1 et an+1>0.
On en déduit que
an+1 est un entier naturel.Conclusion
Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, an est un entier naturel. 4.a. dn est un diviseur commun de an et an+1 donc dn est un diviseur de an+1-16an=3.3 est un nombre premier donc
dn=1 ou dn=3. 4.b.16=3×5+1 donc 16≡1 (3)
Pour tout entier naturel n :
an+1-16an≡an+1-an (3) or an+1-16an=3 donc an+1-16an≡0 (3)Conséquence
an+1-an≡0 (3) ⇔ an+1≡an (3)4.c. a0=1 donc a0≡1 (3)
On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, an≡1 (3) Initialisation a0≡1 (3)La propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédidité
Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que
an≡1 (3) et on doit démontrer que an+1≡1 (3) Or pour tout entier naturel n, an+1≡an (3). Si an≡1 (3) alors an+1≡1 (3)Conclusion
Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, an≡1 (3)4.d. Si
an≡1 (3)alors an n'est pas divisible par 3 et 3 n'est pas un diviseur commun de an et an+1.
Conséquence
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La seule valeur possible pour dn est 1.
Les nombres an et an+1sont premiers entre eux.
5. Pour tout nombre entier naturel n,
bn=2n+1(2n-1)+1 et cn=2n+1(2n+1)+1. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on admet que :5an=bncn.
5.a. 5 est un nombre premier, divise le produit
bncn donc 5 divise l'un des deux facteurs du produit.Conséquence
5 divise bn ou 5 divise cn.
5.b. Si
n⩾2 alors 2n+1⩾23=8 et 2n⩾4-1=3 donc bn⩾8×3+1=25>5.De même
2n+1⩾4+1=5 et cn⩾8×5+1=40+1=41>5
Conséquence
Pour tout entier supérieur ou égal à 2,
bn>5 et cn>5.5.c. Pour tout entier supérieur ou égal à 2 :
Si bn est divisible par 5 alors bn=5bn ' avec bn' entier naturel strictement supérieur à 1 car bn>5. On a an=bn '×cn avec bn '>1 et cn>5 donc an n'est pas un nombre premier. Sicn est divisible par 5, on obtient de même an=bn×cn' avec bn entier strictement supérieur à 5
et cn ' entier naturel strictement upérieur à 1. Donc an n'est pas un nombre premier.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que racine de 3 est irrationnel
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