[PDF] Exercices : Diagonalisation 1. Montrer qu'il existe

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ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles

Année 2016/2017Diagonalisation

Feuille d"exercices

1

Soitn2N. On considère la matrice carrée

M=0 @0 1 1 1 0 1

1 1 01

A

2M3(R):

2.Retrouver le résultat de la question1.en utilisant un polynôme annulateur de degré 2

de M.

3.Retrouver le résultat de la question1.en diagonalisant M.

4.Retrouver le résultat de la question1.en développant(M+I3)I3n.

2 Soit A=0 @1 21 3 41

0 0 21

A

2M3(R):

1.Diagonaliser A.

2.En déduire l"anticommutant de A, i.e. l"ensemble des matrices M2M3(R)telles que

AM+MA=0.

3F Soit A=12 0 @5 6 3 3 4 3

3 6 11

A 1. a. Déterminer deux matrices D diagonale et P inversible deM3(R)telles que D= P

1AP. Calculer P1.

b.Calculer Anpour toutn2N.

2.On dé?nit trois suites(xn)n2N,(yn)n2Net(zn)n2Npar leurs termes initiauxx0=1,

y

0=1 etz0=0 ainsi que les relations de récurrence :

8n2N;8

:x n+1=52 xn+3yn+32 zn3 y n+1=32 xn+2yn+32 zn1 z n+1=32 xn+3yn+12 zn3:

OnposeB=t3132M3;1(R)et,pourtoutn2N,Xn=tx

nynzn2 M

3;1(R).

a.Trouver, pour toutn2N, une relation entre Xn, Xn+1, A et B. b.Justi?er que la matrice I3A est inversible.

c.En déduire un vecteur U2M3;1(R)tel que U=AU+B.d.En s"inspirant de la méthode usuelle d"étude des suites arithmético-géométriques,

exprimerxn,ynetznen fonction den2N. 4F Soit(xn)n2Nla suite réelle donnée par les conditions initialesx0=2,x1=3,x2=1 et la relation de récurrence :

8n2N;xn+3=2xn+2+xn+12xn:

On pose X

n=tx nxn+1xn+22M3;1(R)pour toutn2N. 1. a. Trouver une matrice A2M3(R)telle que Xn+1=AXnpour toutn2N. b.Déterminer deux matrices D diagonale et P inversible deM3(R)telles que D= P 1AP.

2.On pose Yn=P1Xnpour toutn2N.

a.Déterminer une relation de récurrence satisfaite par la suite(Yn)n2N. b.En déduire une expression de Ynpuis de Xnen fonction den2N.

3.Exprimerxnen fonction den2N.

5 Montrer qu"une matrice deMn(K)et sa transposée ont mêmes valeurs propres.

6F|Soit A= (ai;j)i;j2Mn(C). Pour!2Cetr2R+, on note

D

0(!;r) =fz2C:jz!j6rg

le disque fermé du plan complexe centré en!et de rayonr.

1.Pour touti2J1;nK, on pose

r i=P j6=ijai;jj:

Montrer que :

Sp

C(A)nS

i=1D0(ai;i;ri) (les disques D

0(ai;i;ri), 16i6n, sont appelés disques de Gersgorin de A).

2.On suppose que A est à diagonale strictement dominante, i.e. que :

8i2J1;nK;jai;ij>P

j6=ijai;jj:

Montrer que A est inversible.

3.On suppose que A est une matrice stochastique, i.e. à coe?cients réels positifs telle

que

8i2J1;nK;nP

j=1a i;j=1: a.Montrer que 1 est valeur propre de A. b.Montrer que les valeurs propres complexes de A sont de module inférieur ou égal

à 1.

c.Montrer que si les coe?cients diagonauxai;i, 16i6n, sont strictement positifs de 1. : application|: di?cileF: classique ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles ExercicesDiagonalisation - 27 Soit E=KNmuni des lois usuelles etl"endomorphisme de E qui, à une suite(un)n2N, associe la suite(un+1)n2N. Déterminer les éléments propres de.

8Soientuetvdeux endomorphismes d"unK-espace vectoriel E de dimension ?nie tels que

vuuv=u. Montrer quevukukv=kukpour toutk2Net en déduire que uest nilpotent. 9 Soituun endomorphisme nilpotent. Déterminer les valeurs propres deu. 10 Montrer que2est valeur propre deu2si, et seulement si,ouest valeur propre de u.

11Soitfun endomorphisme deRnde rang 1.

Montrer que l"un au moins des endomorphismesfid etf+id est inversible.

12Soient E un espace vectoriel de dimension ?nie etf;gdeux endomorphismes de E.

Montrer que les endomorphismesfgetgfont mêmes valeurs propres. 13 Dans l"espace vectoriel E=C(R;R)des fonctions continues deRdansR, on considère les élémentsfk:x7!xkex, 06k63. On note F le sous-espace de E engendré par les vecteursf0,f1,f2etf3.

1.Justi?er queF= (f0;f1;f2;f3)est une base de F.

2.Montrer que l"applicationu:f7!f0f00est un endomorphisme de F.

3.L"endomorphismeuest-il inversible? diagonalisable?

14Pourn>1 donné, on considère l"application

':P2Rn[X]7!(X21)P0(nX+1)P:

1.Véri?er que'est un endomorphisme deRn[X].

2.Soit P un vecteur propre de'. Monter que P ne peut avoir d"autres racines complexes

que 1 et1. En déduire les valeurs propres de'.

3.L"endomorphisme'est-il diagonalisable?

15

Soitn>2 entier.

1.On note tr l"application qui à toute matrice M2Mn(R)associe sa trace trM, i.e. la

somme de ses coe?cients diagonaux. a.Véri?er qu"il s"agit d"une application linéaire et que Imtr=R. b.En déduire la dimension de Kertr. c.Établir que Kertr et Vect(In)sont supplémentaires dansMn(R).

2.Soitf:M2Mn(R)7!M+ (trM)In.

a.Justi?er quefest un endomorphisme deMn(R).b.Déterminer les éléments propres def. c.En déduire quefest un automorphisme diagonalisable deMn(R).

3.On choisit une matrice J2Mn(R)non nulle telle que trJ=0 et l"on considère l"en-

domorphismeg:M7!M+ (trM)J deMn(R). a.Déterminer un polynôme de degré 2 annulateur deg. b.Montrer que 1 est la seule valeur propre deg. c.L"endomorphismegest-il diagonalisable? 16 Soientf:R3!R2etg:R2!R3deux applications linéaires. On note A et B les matrices représentatives defetgen bases canoniques.

1.Préciser la taille des matrices A, B, AB et BA.

2.Justi?er quegfest un endomorphisme deR3qui n"est ni injectif ni surjectif. En

déduire une valeur propre pour BA.

3.On suppose que AB=0 1

1 0 a.Montrer que si X=tx y6=0, alors BX6=0. b.En déduire que toute valeur propre de AB est aussi valeur propre de BA. c.Justi?er que BA est diagonalisable. 17 Soit E un espace vectoriel complexe de dimension 4 rapporté à une basee= (e1;e2;e3;e4). On considère l"endomorphismefde E représenté en baseepar la matrice M=0 B

B@a a a a

1 1 1 1

1 1 1 1

a a a a1 C

CA2M4(C):

1.Déterminer le rang defainsi qu"une base de l"image et du noyau def.

2.Déterminer les éléments propres def.

3.Déterminer les valeurs dea2Cpour lesquelles la matrice M est diagonalisable et

diagonaliser M le cas échéant. 18F Étant donné un entiern>2, on considère deux matrices L2M1;n(K)et C2Mn;1(K) non nulles. On pose A=CL eta=LC.

1.Calculer A2en fonction deaet A. Qu"en déduit-on concernant les valeurs propres de

A?

2.Montrer que rgA=1.

3.Déterminer les valeurs propres de A.

4.Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, A26=0.

19| Soitfun endomorphisme de rang 1 d"un espace vectoriel E de dimension ?nien>1. Montrer quefest diagonalisable si, et seulement si, trf6=0.

ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles ExercicesDiagonalisation - 3Remarque.On rappelle que trfest par dé?nition la trace commune à toutes les matrices

représentatives def.

20Soituun endomorphisme d"un espace vectoriel E de dimension ?nie.

1.Montrer que si6=0 est valeur propre deu, alors E(u)Imu.

2.En déduire que siuest diagonalisable, alors Imuet Kerusont supplémentaires dans

E.

21Soitfun endomorphisme deR3tel quef4=f2et dont1 et 1 sont valeurs propres.

Montrer quefest diagonalisable.

22Soient E un espace vectoriel de dimension ?nie etuun endomorphisme de E tel queu3

3u2+2u=0. Montrer queuest diagonalisable.

23|
Soit E un espace vectoriel complexe de dimension ?nie surK. 1. a. Pouru;v2L(E), montrer que dimKer(uv)6dim(Keru) +dim(Kerv). b.Montrer plus généralement que pouru1;:::;ur2L(E), dimKer(u1 ur)6rP j=1dim(Keruj):

2.Montrer queuest diagonalisable si, et seulement si, il admet un polynôme annulateur

scindé à racines simples.

3.En déduire que siuest diagonalisable et stabilise un sous-espace vectoriel F, alors il

induit sur celui-ci un endomorphisme diagonalisable. 24|
Soientn>2 et A;B2Mn(K)deux matrices diagonalisables.

1.La somme S=A+B est-elle diagonalisable?

2.On fait l"hypothèse AB=BA. Montrer que S=A+B est diagonalisable.

Indication.On pourra introduire les endomorphismesuetvdeRncanoniquement

associés à A et B et utiliser le résultat démontré dans la question3.de l"exercice 23.

25F

1.Soit E unK-espace vectoriel de dimension ?nienetuun endomorphisme diagonali-

sable de E. Soite= (e1;:::;en)une base de E formée de vecteurs propres deu. On suppose quevest un endomorphisme de E tel quev2=u. a.On suppose dans cette question que les valeurs propres1;:::;ndeurespective- ment associées aux vecteurs proprese1;:::;ensont deux-à-deux distinctes. Mon- trer queuetvcommutent et en dédire que chaque vecteureiest propre pourv. En déduire quevest diagonalisable. b.Sans hypothèse sur les valeurs propres deu, l"endomorphismevest-il diagonali- sable?2.Application.Résoudre l"équation X 2=0 @115 5 5 33 53 31
A d"inconnue X2M3(R). 26|

1.Soit E unK-espace vectoriel de dimension ?nienrapporté à une basee. Soientfun

endomorphisme de E et H un hyperplan d"équation'(x) =0 où'est une forme linéaire non nulle de E. a.Montrer que l"hyperplan H est stable parfsi, et seulement si,'fest colinéaire b.Soient A et L les matrices représentant respectivement en baseeles applications linéairesfet'. Montrer que l"hyperplan H est stable parfsi, et seulement si,tL est vecteur propre de tA.

2.En déduire les sous-espaces stables par l"endomorphisme deM3;1(R)canoniquement

associé à la matrice A=0 @324 1 1 1 1221
A 27F
Soitul"endomorphisme deR3canoniquement associé à la matrice A=0 @112 2 1 1 1

4 8 31

A

1.Déterminer les valeurs propres deu. L"endomorphismeuest-il diagonalisable?

2. a. Montrer que les sous-espaces Ker(u3id)2et Ker(u+id)sont supplémentaires dansR3. b.Déterminer une baseedeR3dans laquelleuest représenté par la matrice B=0 @1 0 0 0 3 1

0 0 31

A

3.Calculer Bnet en déduire Anpour toutn2N.

ECS2 - Lycée La Bruyère, Versailles ExercicesDiagonalisation - 428 F

Poura;b2R, on considère la matrice

M(a;b) =0

B

BBB@a bb

b a :::::::::b bb a1 C

CCCA2Mn(R):

On pose1=M(1;1).

1. a. Déterminer rg1et en déduire les valeurs propres de1. Déterminer une base de chacun de ses sous-espaces propres. b.En déduire les valeurs propres de M(a;b).

2.Justi?er que la matrice M(a;b)est diagonalisable.

29F
Soit(e1;:::;en)la base canonique deCn. On considère l"endomorphismefdeCndé?ni parf(ei) =ei+1pour touti2J1;n1Ketf(en) =e1. 1. a. Déterminer la matrice J représentative defen base canonique. b.Déterminer les valeurs propres de J. c.Justi?er que J est diagonalisable.

2.Poura0;:::;an12C, on considère lamatrice circulante

A=0 B

BBBBBB@a

0a1a2an1

aquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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