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ANALYSE { LECON 208 : ESPACES VECTORIELS NORM

ES,

APPLICATIONS LIN

EAIRES CONTINUES, EXEMPLES

SIMON RICHE

1.Commentaires du jury (rapport 2020)

Le jury rappelle qu'une telle lecon doit contenir beaucoup d'illustrations et d'exemples, notamment avec quelques calculs elementaires de normes subordonnees (notion qui met en diculte un trop grand nombre de candidats). Le lien avec la convergence des suites du typeXn+1=AXndoit ^etre connu (et eventuellement illustre, sans que cela puisse ^etre mis au coeur de la lecon, de considerations d'ana- lyse numerique matricielle). Lors du choix de ces exemples, le candidat veillera a ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n'a aucune idee de leur pertinence et a ne pas se lancer dans des developpements trop sophistiques. Il faut savoir enoncer et justier le theoreme de Riesz sur la compacite de la boule unite fermee d'un espace vectoriel norme. Le theoreme d'equivalence des normes en dimension nie, ou le caractere ferme de tout sous-espace de dimension nie d'un espace norme, sont des resultats fondamentaux a propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. Des exemples d'espaces vectoriels normes de dimension innie ont leur place dans cette lecon et il faut conna^tre quelques exemples de normes usuelles non equivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions et egalement d'applications lineaires qui ne sont pas continues. On peut aussi illustrer le theoreme de Riesz sur des exemples simples dans le cas des espaces classiques de dimension innie. Les espaces de Hilbert ont egalement leur place dans cette lecon, mais le jury met en garde contre l'ecueil de trop s'eloigner du cur du sujet.

2.Plan

2.1.Ce qui doit appara^tre.Espaces vectoriels normes :

| denition d'une norme | distance associee a une norme | equivalence de normes | exemples de sous-espaces vectoriels (stricts) denses | Exemples

1:Rn,`p, L1,C([0;1];R), etc.

Applications lineaires continues :

| caracterisation viakf(x)k Mkxk | denition de la norme subordonnee (et enonce que c'est une norme) | norme d'une composee | exemples d'applications lineaires continues et non continues

2Date: Annee 2021{2022.

1. Pour ces exemples, on pourra par exemple consulter [Sk, Chap. 7,x2].

2. Voir par exemple [Po,x6.1.2].

1

2 SIMON RICHE

Cas de la dimension nie :

| les compacts sont les fermes bornes | theoreme d'equivalence des normes 3 | tout sous-espace de dimension nie d'un e.v.n. est ferme | toute application lineaire de source un e.v.n. de dimension nie est continue | tout e.v.n. de dimension nie est complet | theoreme de Riesz sur la compacite de la boule unite

Espaces de Banach :

| denition | exemples et contre-exemples | fonctions bornees (ou applications lineaires) a valeurs dans un espace de

Banach

4 | series dans un espace de Banach, exemple de l'exponentielle de matrices, et/ou de l'inversibilite de 1xsikxk<1 dans une algebre de Banach

Espaces de Hilbert :

| denition | inegalite de Cauchy{Schwarz | Theoreme de representation de Riesz

2.2.Ce qui peut appara^tre.Espaces de Banach :

| Theoreme de Banach{Steinhaus 5 | Theoreme de l'application ouverte 6 | Theoreme de l'isomorphisme de Banach 7 | Theoreme du graphe ferme 8

Espaces de Hilbert

9: | projection sur un convexe ferme | cas particulier : projection sur un sous-espace vectoriel ferme | lien avec le theoreme de representabilite de Riesz | bases hilbertiennes (exemples :`2, L22, polyn^omes de Legendre)

Theoreme d'Ascoli

10

Exemples d'espaces vectoriels normes

11: | espaces de matrices | espaces de polyn^omes

Espaces L

p:3. On pourra illustrer ce theoreme par des preuves \a la main" que certaines normes classiques sur des espaces vectoriels de dimension nie sont equivalentes : voir par exemple [QZ, Chap. VII, xIV].

4. Voir par exemple [Go, Chap. 1,x5.2].

5. Voir par exemple [Go, Annexe A, Ex. 7-8] ou [Sk, Chap. 7,x6].

6. Voir par exemple [Go, Annexe A, Ex. 6] ou [Sk, Chap. 7,x6].

7. Voir par exemple [Go, Annexe A, Ex. 6] ou [Sk, Chap. 7,x6].

8. Voir [Sk, Chap. 7,x6].

9. On trouvera d'autres proprietes des espaces de Hilbert dans [Go, Annexe B].

10. Voir la feuille d'exercices de topologie.

11. Pour ces deux exemples, on pourra consulter la feuille d'exercices de topologie.

ANALYSE - LECON 208 3

| denition 12 | theoreme de Riesz{Fischer 13 | le cas de L p

2(R) : theoreme de Fejer.14

Calcul dierentiel :

| denition de la dierentielle d'une application | exemples de calcul de dierentielles 15

Dual topologique :

| denition | theoreme de Hahn{Banach 16

3.Quelques questions b^etes auxquelles il faut absolument savoir

r epondre rapidement (1) Quelle est l'adherence de la boule ouverte de centreaet de rayonr? Quel est l'interieur de la boule fermee de centreaet de rayonr?17 (2) Comment demontre-t-on l'inegalite de Cauchy{Schwarz? (3) Quels sont les espaces vectoriels normes compacts? (4) Montrer que deux normesk k1etk k2sur un espace vectorielEsont equivalentes si et seulement si les applications id : (E;k k1)!(E;k k2) et id : (E;k k2)!(E;k k1) sont continues. (5) Montrer que siEest un espace vectoriel etk k1,k k2sont deux normes equivalentes surE, alors (E;k k1) est complet si et seulement si (E;k k2) est complet.

4.Exercices

Exercice 1.Dans un e.v.n., a quelle condition a-t-on Bf(a;r)Bf(a0;r0)? Exercice 2.(1) Montrer que si (E;kk) est une algebre de Banach (c'est-a-dire un espace de Banach, muni d'un produitEE!Ebilineaire associatif, et tel quekxyk kxkkykpour tousx;y2E), alors le sous-ensembleEE des elements inversibles est ouvert. (2) En deduire qu'il n'existe pas de norme surR[X] qui en fait une algebre de

Banach.

Exercice 3.SoitEun espace vectoriel (surRouC) et soientk k1etk k2 deux normes surE. On suppose que (E;k k1) et (E;k k2) sont des espaces de Banach, et quek k1est plus ne quek k2(c'est-a-dire qu'il existeC2R>0tel quekxk2Ckxk1pour toutx2E). Montrer quekk1etkk2sont equivalentes.

(Indication: on pourra penser au theoreme de l'isomorphisme de Banach.)12. Notons qu'il y a (au moins) deux denitions possibles de L

p: soit comme quotient de l'es- pace vectoriel des fonctions mesurables de normepnie par le sous-espace des fonctions nulles presque partout (qui est la denition recommandee), soit comme complete d'un espace des fonc- tions continues : voir par exemple [Sk, Chap. 7,x3].

13. Bien s^ur, ce theoreme n'a de sens que si on choisi la premiere denition de L

p(cf. note precedente).

14. Voir la feuille sur les series de Fourier.

15. Voir par exemple [Go, Chap. 5,x1.4, Ex. 3, 5 et 6].

16. Voir par exemple [Po,x6.2] ou [Sk, Chap. 7,x5].

17. En cas de souci, on pourra consulter [Sk, Chap. 7,x1, Proposition 3].

4 SIMON RICHE

Exercice 4.Sur l'espaceC([0;1];R), montrer que les normeskk1,kk2etkk1 ne sont pas equivalentes.

Reference : [Po,x6.3, Exemples].

Exercice 5.SoientE;Fdes espaces vectoriels normes surR. Montrer qu'une applicationf:E!Fcontinue est lineaire si et seulement sif(x+y) =f(x)+f(y) pour tousx;y2E. Exercice 6.(1) Montrer que pour toutp1, le sous-espace des suites presque nulles est dense dans`p. (2) Montrer que l'adherence dans`1du sous-espace des suites presque nulles est le sous-espace des suites qui tendent vers 0.

Reference : [Sk, Chap. 7,x2, Proposition 4].

Exercice 7(Theoreme de Cesaro).SoitEun espace vectoriel norme, et soit (xn)n1une suite d'elements deE. Montrer que sixn!n!1x, alors x

1++xnn

!n!1x Exercice 8.SiEest un espace vectoriel norme, montrer queEest homeomorphe a chacune de ses boules ouvertes (non vides). (Indication: on pourra commencer par montrer queR0est homeomorphe a [0;1[.) Exercice 9(Question posee a l'oral 2021).On considere l'application f:`1!`1 (an)n07!((11n+1)an)n0 Montrer que cette application est bien denie, lineaire et continue, puis calculer sa norme. Existe-t-il un vecteuru2`1tel que kf(u)k=kfk kuk? Exercice 10.SoitEun espace vectoriel norme surR, et soitf:E!Rune forme lineaire (1) Montrer quefest continue si et seulement si ker(f) est ferme. (Indica- tion: sifn'est pas continue, on pourra considerer une suite (xn)n0de vecteurs de norme 1 telle quef(xn)!n!1+1, puis considerer la suite (xNf(xN)f(xn)xn)nNouNest un entier tel quef(xn)6= 0 pournN.) (2) Est-il vrai que sif:E!Fest une application lineaire continue entre espaces vectoriels normes, im(f) est ferme? (3) Montrer que siHEest un hyperplan, alorsErHest connexe par arcs si et seulement siHn'est pas ferme. Reference : pour (1), on pourra voir [Go, Chap. 1,x5.5, Ex. 7] ou [Po, Proposi- tion 6.1.4]. Pour (3), voir [FGN, Ex. 2.28]. Exercice 11.(1) SoitEun espace vectoriel norme. Montrer qu'un hyperplan deEest soit ferme, soit dense. (2) Donner un exemple d'hyperplan dense dans un espace vectoriel norme. (Indi- cation: on pourra considerer par exemple, dans l'espace vectoriel des suites presque nulles de reels muni de la normek k1, le sous-espace des suites de somme nulle.)

ANALYSE - LECON 208 5

Exercice 12.SoitEun espace de Banach, et notonsL(E) l'espace vectoriel norme des endomorphismes lineaires deE. On rappelle que siu2L(E) est bijectif, alors u

12L(E). (C'est le contenu du theoreme d'isomorphisme de Banach.)

(1) Montrer quefu2L(E)juest bijectifgest un ouvert deL(E). (Indication: penser aux series dans un espace de Banach.) (2) Siu2L(E), on appellespectredeul'ensemble des2Rtels queuid n'est pas bijectif. Montrer que ce sous-ensemble deRest compact. Commenter le cas particulier ouEest de dimension nie. Reference : [Go, Chap. 1,x5.2, Proposition 2] et [Go, Chap. 1,x5.5, Ex. 4]. Exercice 13.Soienta < b2R, et xons des pointsx0;;xn. On considere l'application lineaire

L:C([a;b];R)!Rn[X]

envoyant une applicationfsur son polyn^ome d'interpolation de Lagrange en les pointsx0;;xn. On munit ces deux espaces de la norme du maximum sur [a;b].

Montrer queLest continue et que

kLk= sup x2[a;b]0 nX i=0 Y j6=ixxjx ixj 1 A Exercice 14.(1) SoitEun espace de Banach, et soient (En)n0des sous- espaces vectoriels fermes. Montrer que siE=S n0En, alors il existep0 tel queE=Ep. (Indication: on pourra penser au theoreme de Baire.) (2) Existe-t-il une norme sur l'espace des suites de reels presque nulles qui en fait un espace de Banach?

Reference : [Go, Annexe A, Ex. 1].

Exercice 15(Dual topologique).SiEest un espace vectoriel norme, on noteE0 son dual topologique. (1) Montrer qu'il existe une injection isometrique naturelleE!(E0)0. (Indica- tion: on pensera au theoreme d'Hahn{Banach.) (2) Montrer qu'il existe une isometrie bijective`1!(`1)0. Reference : Pour (1), voir [Sk, Chap. 7,x5, Corollaire 2]. Pour (2), on pourra voir [Go, Chap. 1,x5.5, Ex. 5]. Pour plus d'informations sur la dualite dans les espaces`p, voir [Sk, Chap. 7,x5]. Exercice 16.(1) Calculer la norme (subordonnee, par rapport a la norme eu- clidienne standard surR2) de la matrice0 1 0 0 (2) A-t-on toujourskABk=kAk kBksiAetBsont des matrices de m^eme taille? Exercice 17(Applications de Banach{Steinhaus).(1) Considerons des espaces vectoriels normesE;F, avecEcomplet. Montrer que si (fn)n0est une suite d'applications lineaires continues convergeant simplement vers une fonction f, alorsfest lineaire et continue.

6 SIMON RICHE

(2) On noteC2l'espace vectoriel norme des fonctions continues et 2-periodiques deRdansC(pour la normek k1). Pourp2Zetf2C2on pose c p(f) =12Z f(t)eiptdt: Pour toutn2Z1on considere l'application lineaire`n:C2!Cdenie par n(f) =X npnc p(f): (a) Montrer que pour toutn2Z1, l'application lineaire`nest continue, de norme k`nk=12Z sin((n+ 1=2)t)sin(t=2) dt: (b) Montrer quek`nk !n!+1+1. (Indication: on pourra minorer le deno- minateur dans la fraction precedente.) (c) En deduire qu'il existe une fonctionf2C2dont la valeur de la serie de

Fourier en 0 ne converge pas.

(3) Pourf2C([0;1];R) etn1, on pose18 u n(f) =nZ 1 0 f(t)dtnX k=1fkn (a) Montrer que siC([0;1];R) est muni de la normek k1etRde la va- leur absolue, alorsunest une forme lineaire continue, de norme majoree par 2net minoree parn2 . (Indication: pour la minoration, on pourra considerer une fonction lineaire par morceaux, oscillant entre 0 et 1 sur chaque intervalle [ kn ;k+1n (b) Montrer

19qu'il existef2C([0;1];R) telle que la suite (un(f))n1n'est

pas bornee. (4) SoientE;F;Gdes espaces vectoriels normes, avecEsuppose complet. Soit B:EF!Gune application bilineaire telle que pour toutx2El'appli- cation lineaireB(x;) :F!Gest continue, et telle que pour touty2F l'application lineaireB(;y) :E!Gest continue. Montrer queBest conti- nue. (5) SoitEun espace vectoriel norme (surK=RouC), et soitDune partie deE. On suppose que pour toutf2E0l'ensemblef(D)Kest borne.

Montrer queDest bornee (dansE).

Reference : Pour (1){(2){(4), voir [Go, Annexe A, Ex. 7-8]. Pour (5), voir [Sk,

Chap. 7,x6, p. 221].

Exercice 18.SoitEun espace vectoriel norme. PourA;BE, on poseA+B= fa+b: (a;b)2ABg. (1) Montrer que siAest ouvert, alorsA+Best ouvert.18. En d'autres termes, un(f)n est l'erreur commise lors de l'approximation deR1

0f(t)dtpar la

somme de Riemann associee a la subdivision de l'intervalle [0;1] ennsous-intervalles de m^eme longueur. Rappelons que cette quantite tend vers 0 quandntend vers +1.

19. En d'autres termes, pour cette fonctionf, l'erreur consideree ci-dessus n'est pas unO(1n

ANALYSE - LECON 208 7

(2) Montrer que siAest compact etBferme, alorsA+Best ferme. (3) Que peut-on dire siAetBsont seulement supposes fermes?

Reference : [Go, Chap. 1,x5.5, Ex. 1].

Exercice 19(Adjoint d'un endomorphisme continu dans un espace de Hilbert). SoitHun espace de Hilbert, et soituun endomorphisme continu deH. (1) Montrer qu'il existe un unique endomorphisme continuu?deHtel que pour tousx;y2Hon a hu(x);yi=hx;u?(y)i: (2) Montrer queku?k=kuk.

Reference : [Go, Annexe B,x1, (3b)].

Exercice 20.On rappelle qu'unebase hilbertienned'un espace de HilbertHest une famille orthonormee (ei:i2I) telle que Vect(ei:i2I) est dense dansH. On considere l'espaceL2per(R) des fonctions mesurables deRdansCtelles que f(x) =f(x+ 1) pour presque toutx2Ret Z 1 0 jf(x)j2dx <1:

On note L

2per(R) le quotient deL2per(R) par le sous-espace des fonctions nulles

presque partout. Il est bien connu que L

2per(R) est un espace de Hilbert pour le

produit scalaire hermitien hf;gi=Z 1 0 f(x)g(x)dx: On fait agir le groupeR=Zsur l'espace vectoriel L2per(R) en posant, pourx2R=Z, %(x)(f)(y) =f(x+y) pour toutf2L2per(R). Montrer que l'espace L2per(R) possede une base hilbertienne (en:n2Z) telle que chaqueenest vecteur propre de%(x) pour toutx2R=Z. Tout ceci est simplement une reformulation de la theorie des series de Fourier dans L

2: voir la feuille sur les series de Fourier ou [QZ, Chap. IV, Theoreme III.3(iv)].

Exercice 21(Norme matricielle et rayon spectral).On xe une norme surCn, et on notek kla norme subordonnee sur Mn(C). Pour toute matriceA2Mn(C) on note(A) son rayon spectral, c'est-a-dire le module maximal d'une valeur propre deA. (1) Montrer que(A) kAk. (2) En deduire que pour toutk1 on a(A) kAkk1=k. (3) Montrer que si(A)<1, alorsAk!k!10. (Indication: on pourra utiliser la decomposition de Dunford.) (4) On xe" >0, et on poseA"=1(A)+"A. Montrer que pourkassez grand on akAk"k 1, et en deduire qu'alorskAkk1=k(A) +". (5) En deduire quekAkk1=k!k!1(A).

8 SIMON RICHE

(6) Demontrer letheoreme de Householder: siA2Mn(C) et" >0, il existe une norme surCntelle que, pour la norme subordonneekk, on akAk (A)+". (Indication: on pourra commencer par traiter le cas ouAest triangulaire superieure.) (7) En deduire que(A) est l'inmum dekAksur l'ensemble de toutes les normes subordonnees sur M n(C). Ces resultats sont a la base de nombreuses methodes de resolution eective ou approchee de systemes lineaires. On pourra trouver des demonstrations dans [Ci,

Theoreme 1.5.2] et [Se, Theoreme 4.2.1].

Exercice 22.Le but de cet exercice est de montrer que tout espace metrique est isometrique a un ferme d'un espace vectoriel norme. On xe donc un espace metrique (X;d), et un point!2X. On noteFl'ensemble des parties nies non vides deX, et on denitB(F) comme leR-espace vectoriel des fonctions bornees deFdansR. On munitB(F) de la norme kfk1= sup

A2Fjf(A)j:

Pourx2X, on considere l'application

f x:F!R denie par f x(A) =d(x;A)d(!;A): (1) Montrer quefxappartient aB(F) pour toutx2X. (Indication: on pourra montrer plus precisement quejfx(A)j d(x;!) pour toutA.) (2) Montrer que l'applicationx7!fxest une isometrie deXversB(F). (3) On noteEle sous-espace vectoriel deB(F) engendre par les applications (fx:x2X). Montrer que l'image de l'applicationx7!fxest fermee dans E.

Reference : [GT, p. 38-39].

Exercice 23(Sujet AP17, Partie I, Question 2).SoitAune matrice symetrique dans M d(R). (1) En utilisant une matrice orthogonale adaptee, montrer que kAk2= sup 2Vjj ouVest l'ensemble des valeurs propres deA. (2) En deduire que jTr(A)j d kAk2: Exercice 24.SoientE;Fdes espaces de Banach, et soitf:E!Fune application lineaire. (1) Montrer que le graphe Gr(f) =f(x;f(x) :x2Egest l'ensemble des paires (x;y)2EFtelles que pour toute forme lineaire continue`:F!Ron a `(y) =`f(x). (Indication: On pourra utiliser le theoreme de Hahn{Banach.) (2) En deduire que si`fest continue pour toute forme lineaire continue`: F!R, alorsfest continue. (Indication: On pourra utiliser le theoreme du graphe ferme.)

ANALYSE - LECON 208 9

Reference : [Sk, Chap. 7,x6, p. 220].

Exercice 25.SoitEun espace de Banach, et soientF;F0Edes sous-espaces vectoriels fermes tels queE=FF0. Montrer que les applications de projection E!FetE!F0sont continues. (Indication: on pourra utiliser le theoreme de l'isomorphisme de Banach.)

Reference : [Br, p. 22].

Exercice 26.SoientH1etH2des espaces de Hilbert, etu:H1!H2une ap- plication lineaire qui admet un dual, c'est-a-dire telle qu'il existe une application lineairev:H2!H1telle que hu(x);yi2=hx;v(y)i1 pour tousx2H1ety2H2. Montrer queuest continue. (Indication: on pourra utiliser le theoreme du graphe ferme et, pour verier la propriete voulue, l'inegalite de Cauchy{Schwarz.)

5.Complements : theoremes de l'application ouverte, de

l'isomorphisme de Banach, et du graphe ferm e

5.1.Theoreme de Baire.Commencons par rappeler l'enonce du theoreme de

Baire.

Theoreme 1(Theoreme de Baire).SoitXun espace metrique complet. Si (Un)n0 est une famille de parties deXtelles que chaqueUnest ouvert et dense, alorsT n0Unest dense dansX. De facon equivalente, si (Fn) est une famille de parties deXtelles que chaqueFnest ferme et d'interieur vide, alorsS n0Fnest d'interieur vide. Pour une preuve, on pourra consulter [Sk, Chap. 5,x2, p. 115] ou [Go, Annexe A]. Rappelons egalement qu'une partieCd'un espace vectorielEest diteconvexe si pour tousx;y2Cett2[0;1] on atx+ (1t)y2C. La preuve de l'enonce suivant est un exercice classique et facile, laisse au lecteur. (En cas de souci, on pourra consulter [Go, Chap. 1,x5.5, Ex. 6].)quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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