[PDF] Feuille 6 : Polynômes Calculer le PGCD des polynô

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Universit´eClaudeBernardLyon 1UEFondamentaux desMath´ematiquesI

Semestred'automne2016-20 17

Feuille6:Polynˆomes

1.P(X 2 +1)=P(X)2.P(2X+1)=P(X)

Exercice2Poura,br´eels,onnoteP

a,b =X 4 +2aX 3 +bX 2 +2X+1.Pourquellesvaleursdeaetble polynˆomeP a,b est-illecarr´ed' unpoly nˆomedeR[X]?

Exercice3

1.S oientP

1 ,P 2 etQtroispolynˆo mes.MontrerqueP 1 !P 2 diviseQ(P 1 )!Q(P 2

2.Soi tPunpo lynˆome.MontrerqueP(X)!XdiviseP(P(X))!X.

Exercice4Quellessontlesraci nes(dansCetda nsR)despolynˆomessuivants? 1.X 3 !7X 2 +14X!82.X 6 !43.X 4 !13X 2 +364.X
4 +6X 2 +25

Exercice5

1.Soi tm"1unentier.Quellessontlesracines(dansCetda nsR)dupolynˆomeX

m !1?

2.Soi tn"1unentier.Quellessontlesracines(dansCetda nsR)dupolynˆomeX

n +X n!1 +···+X+1? Exercice6E!ectuerlesdivisions euclidie nnesdansR[X]de 1.3 X 5 +4X 2 +1parX 2 +2X+3. 2.3X 5 +2X 4 !X 2 +1parX 3 +X+2.

Exercice7SoitP(X)=X

4 !5X 3 +8X 2 !10X+12etQ(X)=X 4 +X 2 !2.D´ eterminerlePGCDde PetQpuisd´e terminerdeuxpolynˆomesUetVtelsquePU+QV=PGCD(P,Q).

Exercice8Soitn"1unentier.

1.D´ eterminerlerestedeladivisioneucli dienn edeX

5n parX 5 !1.

2.En d´edu irelerestedeladivisioneuc lidie nnedeX

99
+2X 42
!3X 35
!2X 27
+3parX 5 !1. Exercice9SoitPunpo lynˆomedeR[X].On noteRlere stedeladivisioneuc lidienned ePparX!7.

MontrerqueR=P(7).

Exercice10Soitaetbdeuxr´e elsdistinctsetPunpo lynˆomedeR[X].On note!etµlesrest esrespectifs dela divisio neuclidiennedePparX!aetp arX!b.

1.Ex primer`al'aidede!etµlere stedeladivisioneuclid iennede Ppar(X!a)(X!b).

2.Qu 'a-t-onmontr´edanslecaspar ticuliero`u!=µ=0?

3.Pou rquoil'hypoth`esea#=best-elleimportante?

Exercice11Soientaunnom brer´eeletn"1unentier.OnposeA=(Xsina+cosa) n D´eterminerlerestedeladivision euclid iennedeAparX 2 +1.

Exercice12Pourchacun despolynˆomessuiva nts,dres serlalistecompl`ete des pol ynˆ ome sle di vis ant dan s

l'anneaudepolynˆomes pr´ecis ´e:

1.X+1da nsR[X]2.X

2 !1dansR[X]3.X 2 +1da nsC[X]4.X 2 +1da nsR[X] Exercice14CalculerlePGCDdescouple sdepol ynˆomes( P,Q)suivants:

1.P=6(X!1)

2 (X+2) 3 (X 2 +1) 4 etQ=15(X!1)(X+7) 3 (X 2 +1), 2.P=X 7 +2X 6 !X!2etQ=X 3 +X 2 !2X,

3.P=nX

n+1 !(n+1)X n +1etQ=X(X!1) 2 (X!2), 4.P=X 5 !X 4 +X 3 !X 2 +X!1etQ=X 7 +X 5 +8X 4 +X 3 +8X 2 +8. 1 Exercice13Factoriserlespolynˆomessuiv antsenpol ynˆomesirr´eductibles: 1.X n +X n!1 +···X+1dansC[X]2.X 11 +2 11 dansC[X]puisdansR[X] 3.X 4 +4dansC[X]puisdansR[X]4.X 4 !jdansC[X],o` uj=exp(2i"/3) 5.X 8 +X 4 +1dansR[X]6.X 5 !1dansR[X] m !1etX n !1.

Exercice16Montrerquelepoly nˆomeX

163
+24X
57
lepo lynˆomeX 7 +3X 2 +2. Exercice17Pourquelle svaleursdel'entiern"1lepolynˆomeP n =X 2n +X n +1est-ildivisibledans

R[X]parX

2 +X+1?

Exercice18SoitPlepo lynˆomer´eel:P=X

6 +4X 5 +8X 4 +10X 3 +#X 2 +4X+1.Onsupposeque!1 estune racinedeP.

1.D´ eterminer#.

2.Mon trerque!1estuneracinedoubledeP.

3.Mon trerquejestuner acinemult ipledeP.

4.F actoriserP,d'aborddansC[X]puisdansR[X].

Exercice19Pourtoutc omplexea,onposeP

a =2X 3 +3X 2 +6X+a$C[X].

1.C alculerlePGCDdeP

a etP a

2.Pou rquellesv aleursdealepo lynˆomeP

a admet-iluneracinedouble? Pourchacun edecesvaleurs, d´ecomposerP a enp roduitdefacteursirr´educt iblesda nsC[X]. 2 =4P.

Exercice21Soitn$N

,etconsid´eronslepolynˆome`acoe cientsr´eelsP=aX n+1 +bX n +c.Peut-on choisira,b,cpourquePadmette1commeracinemu lti ple?Quelest alorsl'ordredecetter acine?

Exercice22SoitP=X

3 +3X 2 +2X+i$C[X].

1.Pr ouverquePn'apasde raciner ´ee lle.

2.Soi ent#,$et%lestrois racinescomple xesdeP.Calculer#+$+%,#

2 2 2 et# 3 3 3

Exercice23SoitP=X

4 +12X!5.D ´ecomposercepolynˆomeenfacteursi rr´ed uctiblesdansR[X],en sachantqu'iladmetde uxracinesdontl asommevaut2. Exercice24Cetexe rciceapourobjetlad´eterm ina tiondetousl espolynˆome sP$R[X]quisatisfont`a l'identit´e(%): (X+3)P(X)=XP(X+1).

1.Soi tPunpo lynˆomev´erifiant(%).Mon trerqu'ilexisteu npolynˆomeQ$R[X]telqueP=XQ.

2.D ´eterminerQ(!1)pu isQ(!2).

3.E nd´edu irequePestn´ecess airementdelaformeaX

m (X+1) n (X+2) p aveca$Retn,m, p$N!{0}.

4.D´ emontrerfinalementquePv´erifie(%)sietseulements'ilexistea$RtelqueP=aX(X+1)(X+2).

Exercice25

Pourtoutn$N

,montrerlaformule n!1 k=0 (X 2 !2Xcos(2k"/n)+1)=(X n !1) 2

Exercice26

SoientPetQdeuxpol ynˆomesdeR[X].On suppos equeQdiviseP.MontrerqueQ 2 divise PQ !P Q. 2

Exercice1

1)SoitPunpoly nˆomequir´epond`alaquest ion,etsoitdsondegr´ e.Onv´erifie,defa¸conp lusoumo ins

laborieuse,queledegr´edeP(X 2 +1)est2d,et onend´ eduitqu ed=2ddoncqued=!"oud=0,donc

quePestconsta nt.R´eciproquement,lespolynˆo mesconstantsv´erifientclairemen tlaconditionpropos´ee.

2)SoitPunpolyn ˆomenonnulquir´epond`ala question.N otonsdsondeg r´eet!soncoe!cientdominant.

Onv´er ifie,defa¸conplusoumoins laborieu se,queledegr´edeP(2X+1)est´eg alementdetques oncoe!cient

dominantest2 d !.On end´e duitque (1!2 d )!=0. Uncoe!cientdominant n'estpasnul,donc1!2 d =0et

doncPestconsta nt.R´eciproquement,lespolynˆo mesconstantsv´erifientclairemen tlaconditionpropos´ee.

Exercice2

Soita,bdesr´eels. Dansunpremiertemps ,supposonsqu eP ab soitlecarr´ ed'u npolynˆomeQ,dedegr´ed.Le degr´edeQ 2 est2dtandisqueceluidePest4don cd=2e tlep olynˆom eQestdelafor me"X 2 +#X+$ pourtroiscon stantes"#R ,##Ret$#R.Da nsl'identit´eP ab =("X 2 +#X+$) 2 ,on peutide ntifierles coe cientsdeX 4 d'unepart,de Xd'autrepartetenfinle stermescons tants. Onobtientlestr oisrela tions 2 =1,#$=1et$ 2 =1 ,autre mentdit"=±1et#=$=±1.Lep olynˆom eP ab estdonc´e galsoit`a (X 2 +X+1) 2 ,so it`a(X 2 !X!1) 2 (ilests uperflud' ´enum´ererlesdeuxautr espossibilit´es(!X 2 +X+1) 2 et(!X 2 !X!1) 2 ,qu irepr´es ententlesdeuxmˆemespolynˆomessousuneautr eforme).End´eveloppan tles carr´es,onobtientP ab =X 4 +2X 3 +3X 2 +2X+1ouP ab =X 4 !2X 3 !X 2 +2X+1,etdonc(a,b)=(1,3) ou(a,b)=(!1,!1).

R´eciproquement,si(a,b)=(1,3)alors P

ab =X 4 +2X 3 +3X 2 +2X+1=(X 2 +X+1) 2 estunca rr´e,ets i (a,b)=(!1,!1)alors P ab =X 4 !2X 3 !X 2 +2X+1=(X 2 !X!1) 2

Exercice3

1)Not onsQ=

d k=0 a k X k .Alo rs: Q(P 1 )!Q(P 2 d k=0 a k (P k 1 !P k 2 d k=1 a k (P k 1 !P k 2 d k=1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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