Sujet no 1
(b) Montrer que pour tout entier naturel n il existe des réels an
Corrigé du contrôle 3
(an+1 bn+1. ) . On a bien pour tout n ? N
Préparation à lécrit du concours
4 mag 2013 1. Déterminer la matrice carrée A telle que Xn+1 = AXn. 2. Donner une expression de Xn en fonction de A n et X0. 3. Montrer que E1 =.
PCSI1-PCSI2 DNS n°5 Corrigé 2014-2015 - PARTIE I - Recherche d
Déterminer la matrice A ? M2(R) vérifiant : ?n ?N Xn+1 = AXn. Solution. Montrer que
Correction de lépreuve n°1 du SIGMA 2019
4 giu 2019 Montrer que E2 est un sous-espace vectoriel de M31(R) engendré par ... Vérifier que pour tout n ? N
analyse – lec¸on 208 : espaces vectoriels normés applications
convergence des suites du type Xn+1 = AXn doit être connu (et éventuellement (5) Montrer que si E est un espace vectoriel et ·1 ·2 sont deux normes.
Feuille de TD2
Montrer que Xn+1 = AXn = AnX0 iii. Adapter la méthode de l'exponentiation rapide au calcul matriciel pour exprimer Xn. iv. Calculer F12 par cette méthode.
Sujet de Mathématiques II PC 2008
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Terminale S-Spécialité 2017/2018
Corrigé du contrôle 3Parmi les ordinateurs d"un parc informatique, 60% présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce
problème, on demande à un technicien d"intervenir chaque jour pour traiter les défaillances.
On estime que chaque jour, il remet en état 7% des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles
failles apparaissent chez 3% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d"ordinateurs est
constant sur la période étudiée.Pour tout entier natureln, on noteanla proportion d"ordinateurs sains de ce parc informatique au bout
denjours d"intervention, etbnla proportion d"ordinateurs défaillants au bout denjours.Ainsia0= 0,4etb0= 0,6.
Partie A
1.Co mpléterle graphe suiv antdans lequel le sommet A représen tel"état " être un ordinat eursain »
et le sommet B représente l"état " être un ordinateur défaillant » :AB0,030,070,970,932.P ourtout en tiernaturel n, exprimeran+1etbn+1en fonction deanetbn.
L"énoncé indique que pour tout entier natureln,an+1= 0,97an+0,07bnetbn+1= 0,03an+0,93bn.Cela revient à additionner les probabilités arrivant à chaque sommet du graphe probabiliste.
3.Soit la matrice A =?0,97 0,07
0,03 0,93?
. On pose X n=?a n b n? a) Ju stifierque p ourtout en tiernaturel n,Xn+1=AXn.Soitn?N,
AX n=?0,97 0,070,03 0,93?
×?a
n b n? =?0,97an+ 0,07bn0,03an+ 0,93bn?
=?a n+1 b n+1?On a bien, pour toutn?N, Xn+1=AXn.
b) Mon trer,par récurrence, que p ourtout en tiernaturel n,Xn=AnX0.Soitn?N. NotonsPnla proposition " Xn=AnX0»
•pourn= 0, A0X0=I2X0=X0.Ainsi la proposition est vraie au rang 0.
•Supposons qu"il existen?Ntel quePnsoit vraie.On a alors X
n+1=AXn=AAnX0=An+1X0. P n+1est donc vraie. La proposition est donc héréditaire. •On conclut que pour toutn?N,Pnest vraie autrement dit que Xn=AnX0. c)C alculer,à l"aide de la calculatrice, X30. En donner une interprétation concrète (les coefficients
seront arrondis au millième). La calculatrice nous donneEn arrondissant au millième, on obtient X30=?0,687
0,313?
On en déduit qu"au 30
ièmejours,68,7% des ordinateurs sont sains et31,3% des ordinateurs présentent des failles de sécurité.Partie B
1.On p oseD =?0,9 0
0 0,9?
et B=?0,07 0,03? a) En remarquan tque, p ourtout en tiernaturel n, an+bn= 1, déterminer une expression de a n+1en fonction deanet une expression debn+1en fonction debn.Soitn?N,
a n+1= 0,97an+ 0,07bn= 0,97an+ 0,07(1-an) = 0,97an-0,07an+ 0,07 = 0,9an+ 0,07 et b n+1= 0,03an+ 0,93bn= 0,03(1-bn) + 0,93bn= 0,93bn-0,03bn+ 0,03 = 0,9bn+ 0,03 b) Mon trerque, p ourto uten tiernaturel n, Xn+1=DXn+B.Soitn?N,
DX n+B=?0,9 00 0,9??
a n b n? +?0,07 0,03? ?0,9an0,9bn?
+?0,07 0,03? ?0,9an+ 0,070,9bn+ 0,03?
?a n+1 b n+1? =Xn+1On a bien montré que pour toutn?N, Xn+1=DXn+B.
2.On p ose,p ourtout en tiernaturel n, Yn=Xn-10B.
a)Mon trerque p ourtout en tiernaturel n, Yn+1=DYn.
Soitn?N,
Y n+1=Xn+1-10B =DXn+B-10B =DXn-9BOr10D= 10?0,9 0
0 0,9?
=?9 0 0 9? = 9I2.On en déduit que
Y n+1=DXn-9I2B =DXn-10DB =D(X-10B) =DYn b)On admet que p ourtout en tiernaturel n, Yn=DnY0.
En déduire que pour tout entier natureln, Xn=Dn(X0-10B) + 10B. Y n=DnY0??Xn-10B=Dn(X0-10B) ??Xn=Dn(X0-10B) + 10B c) Donne r,sans justification, l"expression de Dnpuis en déduireanetbnen fonction den.Pour toutn?N, Dn=?0,9n0
0 0,9n?
On en déduit que
X n=?0,9n00 0,9n???0,4
0,6? -10?0,070,03??
+ 10?0,07 0,03? ?0,9n00 0,9n???0,4
0,6? -?0,7 0,3?? +?0,7 0,3? ?0,9n00 0,9n??-0,3
0,3? +?0,7 0,3? ?-0,3×0,9n0,3×0,9n?
+?0,7 0,3? ?-0,3×0,9n+ 0,70,3×0,9n+ 0,3?
On en déduit que pour toutn?N,
?a n=-0,3×0,9n+ 0,7 b n= 0,3×0,9n+ 0,3 3.Selo ncette étude, que p eut-ondire de la prop ortiond"ordinateurs défaillan tssur le long terme ?
-1<0,9<1donclimn→+∞0,9n= 0. On en déduit quelimn→+∞0,3×0,9n= 0et donc quelimn→+∞bn=
0,3. À long terme, la proportion d"ordinateurs défaillants tend vers0,3. Environ30%des ordinateurs sont défaillants à long terme dans ce modèle.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] MONTRER QUELQUE CHOSE SANS LE MONTRER POUR PEUT ÊTRE MONTRER TOUT AUTRE CHOSE
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