[PDF] PCSI1-PCSI2 DNS n°5 Corrigé 2014-2015 - PARTIE I - Recherche d

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PCSI1-PCSI2DNS n◦5Corrigé2014-2015

PARTIE I - Recherche d'une famille de suites (linéaire, récurrente double)

1On veut déterminer toutes les suites réellesu= (un)n∈Nvérifiant la relation linéaire récurrente d'ordre deux :

∀n∈N, u n+2= 2un+un+1.

1. Pour toutn∈N, on définit la matrice colonneX

n=un un+1

Déterminer la matriceA∈ M

2(R)vérifiant :∀n∈N,Xn+1=AXn.

Solution.Simple on a0 12 1

u n un+1 =u n+1

2un+un+1

,ainsiA=0 12 1

2. Prouver : pour toutn∈N,Xn=AnX0.

Solution.Par récurrence, c'est vrai sin= 0carA

0X0=I3X0=X0,puis siXn=AnX0alorsXn+1=AXn=

A×A

nX0=An+1X0.

3. Déterminer les matrices colonnes de la formeC=1

etC′=1 telles queAC=-CetAC ′= 2C′. On construit alors la matrice (concaténation des deux colonnes)P=C|C ′=1 1

Solution.On aAC=0 12 1

1

α+ 2

, ainsiAC=-C⇐⇒α=-1

α+ 2 =-α,brefC=

1 -1 . On procède de même avecC ′ce qui donneα ′= 2 ′+ 2 = 2αd'oùC ′=1 2 etP=1 1 -1 2

4. Vérifier quePest inversible et calculerP-1.

Solution.On aP∼

L2+L1

1 10 3

est de rang2donc est inversible. Puis 1 1 -1 2| |1 00 1 L2+L1

1 10 3|

|1 01 1 L1-1 3L2

1 00 3|

2 3-1 31 1
∼1 3L2

1 00 1|

2 3-1 31
313

AinsiP

-1=13 2-1 1 1

5. En remarquant queAP=-C|2C′déterminer, sans calcul, la matriceD=P-1AP.

Solution.On aAP=AC|AC

′=-C|2C′. Ensuite si vous n'avez pas d'idée, il suffit de calculerD=P -1APpour constater queD=-1 0 0 2

Bon, ensuite, on aP

-1P=I2, maisP-1P=P-1C|C′=P-1C|P-1C′doncP-1C=1 0 etP -1C′=0 1 , ainsiP -1AP=-PC|2PC′=-1 0 0 2

6. Montrer que, pour tout entiern≥0, on a :An=PDnP-1.

Solution.Avant tout, on a doncPD=AP. Puis par récurrence, c'est vrai pourn= 0carD

0=I2et

PI

2P-1=PP-1=I2=A0. Puis siAn=PDnP-1,alorsAn+1=APDnP-1=PDDnP-1=PDn+1P-1.

7. En déduire une expression deAn, puis une expression deunen fonction den,u0etu1.

- 1/8 - G H - L F, L

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Solution.On a doncAn=P(-1)

n0 0 2 n P -1,un calcul (beurkkkk) donne 1 1 -1 2 (-1) n0 0 2 n =(-1)n2n -(-1)n2×2n Puis A n=13 (-1) n2n -(-1)n2×2n 2-1 1 1 =1 3 2(-1) n+ 2n2n-(-1)n

2×2n-2(-1)n(-1)n+ 2×2n

1 3 2(-1) n+ 2n(-1)n+1+ 2n

2n+1-2(-1)n2n+1+ (-1)n

On a alors

X n=un un+1 =A nX0=Anu 0 u1 =1 3 2(-1) n+ 2n(-1)n+1+ 2n

2n+1-2(-1)n2n+1+ (-1)n

u 0 u1 1 3 2(-1) nu0+ 2nu0+ (-1)n+1u1+ 2nu1

Ce qui donne

u n=2u0-u1

3×(-1)

n+u0+u1

3×2

n.

8. Montrer qu'une suiteu= (un)n≥0vérifie la relation∀n∈N,un+2= 2un+un+1, si et seulement si: il existe

(λ,µ)∈R

2,∀n∈N,un=λ(-1)n+µ2n.

Solution.On vient de prouver le sens=⇒en posantλ=2u 0-u1

3etµ=u

0+u1 3. Récirpoquement s'il existe(λ,µ)∈R2,∀n∈N,un=λ(-1)n+µ2n.

Méthode boeuf de combat : on vérfie queu

n+2= 2un+un+1i.e. que

λ(-1)

n+2+µ2n+2= 2(λ(-1)n+µ2n) +λ(-1)n+1+µ2n+1

Ce qui vrai car2(λ(-1)n+µ2n)+λ(-1)n+1+µ2n+1= 2(λ(-1)n+µ2n)-λ(-1)n+2µ2n= (-1)nλ+4×2nµ=

λ(-1)

n+2+µ2n+2.

Méthode plus subtile :

On cherche(u

0,u1)tels queλ=2u0-u1

3etµ=u

0+u1

3ce qui donne le systèmeu

1+u0= 3µ

-u

1+ 2u0= 3λque l'on

peut écrire sous la forme 1 1 -1 2 u 1 u0 =3µ 3λ ⇐⇒Pu 1 u0 =3µ 3λ . Ce système admet une unique solution u 1 u0 =P -1 3µ 3λ . D'après ce qui précède, en choisissantu

0etu1ainsi, la suiteuntelle

que∀n∈N,u n+2= 2un+un+1vérife∀n∈N,un=λ(-1)n+µ2n PARTIE II - Recherche d'une famille de suites (linéaire, récurrente triple)

On veut déterminer toutes les suites réellesu= (un)n∈Nvérifiant la relation linéaire récurrente d'ordre trois :

∀n∈N, u n+3= 45un-39un+1+ 11un+2.

21. Pour toutn∈N, on définit la matrice colonneX

n= u n un+1 un+2

Déterminer la matriceA∈ M

3(R)vérifiant :∀n∈N,Xn+1=AXn.

- 2/8 - G H - L F, L

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Solution.On aXn+1=

u n+1 un+2 un+3 0 1 00 0 1 u n un+1 un+2 d'oùA= 0 1 00 0 1

.2. Montrer que connaître l'expression deAnpermettrait de trouverunen fonction denet des premiers termesu0,

u

1etu2.

Solution.Par récurrence immédiate on aX

n=AnX0⇐⇒ u n un+1 un+2 =An u 0 u1 u2 . En fait seule une ligne deA npermet de déterminerun(directementunsi l'on a la première ligne, sinonun+1ouun+2).

3. (a) Déterminer les rangs des matricesA-5I,A-3Iet(A-3I)2.

Solution.On aA-5I=

-5 1 0 0-5 1 ∼L3+9L1 -5 1 0 0-5 1

L3-6L2

-5 1 0 0-5 1 est de rang2. On aA-3I= -3 1 0 0-3 1

L3+15L1

-3 1 0 0-3 1

L3-8L2

-3 1 0 0-3 1 de rang

2. Enfin, un calcul (simple ?) donne(A-3I)

2=

-3 1 0 0-3 1 2 9-6 1

45-30 5

qui est de

rang1puisque les trois lignes sont proportionnelles.(b) Calculer(A-5I)(A-3I)2. En déduire queAest inversible et une expression deA-1.

Solution.Encore un calcul (j'espère que vous avez appris à utiliser votre calculatrice. On a donc(A-

5I)(A-3I)

2= 0. Ainsi, en développant

(A-5I)(A-3I)

2=A3-11A2+ 39A-45I= 0(oh les coefficients ...)

Ce qui donneI=A×A

2-11A+ 39I

45
,ainsiAest inversible avecA -1=A

2-11A+ 39I

45.

4. (a) Déterminer toutes les matrices colonnesC1=

x 1 y1 z1 vérifiantAC1= 5C1.

DésormaisC

1représente l'unique matrice avecx1= 1.

Solution.On aAC

1= 5C1⇐⇒(A-5I3)C1= 0⇐⇒

-5 1 0 0-5 1 x 1 y1 z1 -5x 1+y1 -5y1+z1

45x1-39y1+ 6z1

0 0 .On obtient -5x 1+y1 -5y1+z1

45x1-39y1+ 6z1

y

1= 5x1

z1= 25x1 (45-39×5 + 6×25)x1= 0⇐⇒y

1= 5x1

z1= 25x1 ⇐⇒C1=x1 1 5 oùx

1∈R

Avecx

1= 1,on aC1=

1 5 . - 3/8 - G H - L F, L

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(b) Déterminer toutes les matrices colonnesC2= x 2 y2 z2 vérifiantAC2= 3C2.

DésormaisC

2représente l'unique matrice avecx2= 1.

Solution.On aAC

2= 3C2⇐⇒(A-3I3)C2= 0⇐⇒

-3 1 0 0-3 1 x 2 y2 z2 -3x 2+y2 -3y2+z2

45x2-39y2+ 8z2

0 0 .On obtient -3x 2+y2 -3y2+z2

45x2-39y2+ 8z2

y

2= 3x2

z2= 9x2 (45-39×3 + 8×9)x2= 0⇐⇒y

2= 3x2

z2= 9x2 ⇐⇒C2=x2 1 3 oùx

2∈R.

Avecx

2= 1,on aC2=

1 3 (c) Déterminer toutes les matrices colonnesC3= x 3 y3 z3 vérifiantAC3=C2+ 3C3.

DésormaisC

3représente l'unique matrice avecx3= 1.

Solution.Enfin,AC

3=C2+ 3C3⇐⇒(A-I3)C3=

1 3 -3x 3+y3 -3y3+z3

45x3-39y3+ 8z3

1 3 On obtient -3x

3+y3= 1

-3y

3+z3= 3

45x

3-39y3+ 8z3= 9⇐⇒

y

3= 3x3+ 1

z

3= 3(3x3+ 1) + 3 = 9x3+ 6

(45-39×3 + 8×9)x

3-39 + 8×6 = 9⇐⇒y

3= 3x3+ 1

z

3= 9x3+ 6

⇐⇒C

3=

0 1 +x 3 1 3 oùx

2∈R

Avecx

3= 1,on aC3=

1 4 (d) On définit la matrice (concaténation des trois colonnes)P=C1|C2|C3et la matriceT= . ComparerAPetPT.

Solution.On aP=

1 1 15 3 4

On aAP=AC

1|AC2|AC3=5C

1|3C2|3C3+C2=

5 3 4

25 9 15

etPT= 1 1 15 3 4 5 3 4

25 9 15

. BrefAP=PT. - 4/8 - G H - L F, L

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5. Montrer quePest une matrice inversible, et calculerP-1.

Solution.On fait les deux en même temps

1 1 15 3 4

25 9 15|

∼L2-5L1

L3-25L1

1 1 1 0-2-1

0-16-10|

|1 0 0 -5 1 0

L3-8L2

1 1 1 0-2-1

0 0-2|

|1 0 0 -5 1 0

L3/(-2)

1 1 1 0-2-1

0 0 1|

|1 0 0 -5 1 0 15 L2+L3 1 1 1 0-2 0

0 0 1|

|1 0 0 -25 25-12
-15

L2/(-2)

1 1 10 1 00 0 1| |1 0 0 25

4-5214

-15

L1-L2-L3

1 1 10 1 00 0 1| |9

4-321425

4-3214

-15 doncPinversiblequotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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