[PDF] Sujet de Mathématiques II PC 2008

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ConcoursCentrale- Supélec2008

Épreuve :MATHÉMATIQUES IIFilièrePCI.A.1) D´eterminer une matriceAdeM2(C) telle que pour tout entier positifn,

on ait : X n+1=AXn. I.A.2) Montrer queλest valeur propre deAsi et seulement si :

2+a1λ+a0= 0.

I.A.3) On suppose queAadmet deux valeurs propres distinctesλ1etλ2et on note

D=?λ10

0λ2?

a) D´eterminer les matricesQinversibles deM2(C) telles queAQ=QD. b) ExprimerAnpour tout entier natureln, en fonction des matricesQ,Q-1, des complexesλ1,λ2et de l"entiern. I.A.4) On suppose maintenant queAadmet une seule valeur propreλet on note

T=?λ1

0λ?

a) Exprimera1eta0en fonction deλ. b) Montrer que la matriceAest semblable `a la matriceTet d´eterminer les matrices

Qinversibles deM2(C) telles que :

Q -1AQ=T. c) ExprimerAnpour tout entier natureln, en fonction des matricesQ,Q-1, du complexeλet de l"entiern. I.A.5) Montrer que l"on a l"alternative suivante : •soitAadmet deux valeurs propres distinctes et elle est diagonalisable; •soitAadmet une seule valeur propre et elle n"est pas diagonalisable.Notations •Dans ce probl`eme,S(C) d´esigne l"espace vectoriel surCdes suites de complexes (xn)n?N. •Pourk?N,k?2,S(Ck) repr´esente l"espace vectoriel des suites (Xn)n?N form´ees de vecteurs deCk. •On noteMk(C) l"espace vectoriel des matrices carr´ees `aklignes `a coefficients dansC. •Enfin, siMest une matrice,tMd´esigne sa transpos´ee.

Question pr´eliminaire

Soit une matriceMdeM2(C),M=?a b

c d?

On notee=det(M). On supposee?= 0.

•Calculer le produit matriciel M ?d-b -c a? •En d´eduire l"expression de la matriceM-1en fonction dea,b,c,d,e.

Partie I-R´ecurrences lin´eaires

I.A - R´ecurrences lin´eaires d"ordre 2

On consid`ere ici les suites (xn)n?NdeS(C) pour lesquelles il existe des complexes a

1eta0v´erifiant la propri´et´e suivante :

?n?N, xn+2+a1xn+1+a0xn= 0. On associe `a une telle suite deS(C) la suite (Xn)n?NdeS(C2) d´efinie par : ?n?N, Xn=?xn x n+1? - version du 20 f´evrier 2008 16h38

MATHÉMATIQUES IIFilière PCb) Montrer que r´eciproquement, toute suite deS(C3) pour laquelle on aXn=AnX0

pour toutn?N, est ´el´ement de Φ(RP). I.B.4) Montrer que Φ(RP) est le sous-espace deS(C3) engendr´e par les suites de vecteurs (Ane1)n?N,(Ane2)n?N,(Ane3)n?N,o`u (e1,e2,e3) d´esigne la base canonique deC3.

En d´eduire la dimension deRP.

I.C - Des exemples (quasi) num´eriques

On introduit ici quelques exemples de polynˆomesP(X) et on se propose d"´etudier le comportement `a l"infini des suites (xn)n?NdeRP.

I.C.1)Exemple 1

On consid`ere ici le polynˆome :P(X) =X3-2X2+32 X-12 a) ´Ecrire la matriceAqui lui est associ´ee. Justifier qu"elle est diagonalisable dans M 3(C). b) Choisir une valeur explicite simple deX0?R3.Apr`es un calcul effectif des premiers termes de la suite (Xn)n?N,conjecturer la limite de cette suite de vecteurs. c) V´erifier queQ-1AQ=To`uQ=? ??1 0 2 1 1 1

1 1 0?

??etT=? ????1 0 0 0 12 -12 0 12 12 d) CalculerT2,T3etT4. En d´eduire la valeur deT4p+kpourp?Netk? {0,1,2,3}. e) Exprimer pour tout entier naturelnle vecteurYn=Q-1Xnen fonction de Y

0=Q-1X0.

En d´eduire que les suites (Xn)n?Net (xn)n?Nde Φ(RP) et deRPconvergent.

Attention :(Yn)n?Nn"est pas dansΦ(RP)!

I.C.2)Exemple 2

Dans cette question, on consid`ere le polynˆome :P(X) =X3-2X2+ 2X-1. a) D´eterminer les valeurs propres de la matriceAassoci´ee `aP(X). b) En d´eduire que les suites (xn)n?Nappartenant `aRPsont p´eriodiques et que, `a toute suite (xn)n?Nappartenant `aRP, on peut associer trois nombres complexes

α,β,γtels que :

?n?N, xn=α+βcos?nπ3 +γsin?nπ3 .I.A.6)Deux exemples num´eriques Dans les deux exemples qui suivent, il est demand´e de : •expliciter la matriceA, •donner une matrice de passageQtelle queT=Q-1AQsoit d"une forme simple comme ci-dessus, •en d´eduireXnpuisxnen fonction dex0,x1etn (il sera tenu compte de la simplicit´e et de la clart´e des choix effectu´es). a)Exemple 1 (xn)n?Nv´erifie la propri´et´e suivante : ?n?N, xn+2-3xn+1+ 2xn= 0. b)Exemple 2 (xn)n?Nv´erifie la propri´et´e suivante : ?n?N, xn+2-4xn+1+ 4xn= 0.

I.B - Vers un ordre sup´erieur, `a petits pas

On note Φ l"application qui `a (xn)n?N´el´ement deS(C) associe la suite des vecteurs (Xn)n?NdeS(C3) d´efinie parXn=? ?x n x n+1 x n+2? pour toutn?N. Ainsi, les trois premiers termes de la suite Φ((xn)n?N) sont? ?x 0 x 1 x 2? ?x 1 x 2 x 3? ?x 2 x 3 x 4?

A tout polynˆome unitaire deC3[X],

P(X) =X3+a2X2+a1X+a0,

on associe le sous-espaceRPdeS(C) form´e des suites (xn)n?Ntelles que pour tout n?N, x n+3+a2xn+2+a1xn+1+a0xn= 0, ainsi que la matriceA=? ?0 1 0 0 0 1 -a0-a1-a2? I.B.1) Calculer le polynˆome caract´eristique deA. I.B.2) V´erifier que Φ :S(C)→ S(C3) est lin´eaire et injective. Est-elle surjective?

I.B.3)

a) Soit (xn)n?N? RP.Montrer que son image (Xn)n?Npar Φ v´erifie : ?n?N,Xn=AnX0. MATHÉMATIQUES IIFilière PCb) On consid`ere l"application

Ψ :S→Ck

telle que Ψ((Xn)n?N) =X0.

Montrer que Ψ est isomorphisme.

En d´eduire queSest de dimensionk.

c) En d´eduire que la famille desksolutions desksyst`emes?Xn+1=AnXn X 0=ei (o`u (ei)1?i?kd´esigne la base canonique deCk) forme une base de l"ensembleSdes solutions du syst`eme (H).

II.B -

´Etude d"un exemple

On consid`ere ici le syst`emeXn+1=AnXndans lequel, pourn?N, A n=? ?n+ 1n+ 20 -1 1?

II.B.1) On introduit la notation suivante :

?n?1,hn=n? p=11p eth0= 0.D´eterminer la matricePnen fonction denet dehn.

II.B.2) Expliciter les solutions (Xn)n?N=??xn

y n?? n?Nde ce syst`eme en fonction denet dex0,y0. II.B.3) Donner une base de l"espace des solutions du syst`eme. II.B.4) Que peut on dire du comportement `a l"infini de (Xn)n?N? II.C - Probl`eme avec condition initiale au tempsn0 Soientn0?N?, a?Ck, k?2.On se propose d"´etudier le syst`eme avec condition initiale (Hn0,a) :?Xn+1=AnXn,pour toutn?N, X n0=a II.C.1) On suppose que pour toutp?[0,n0-1] la matriceApest inversible et on consid`ere (Xn)n?N? S(Ck),une solution de (Hn0,a). a) Exprimer d"une fa¸con g´en´eraleXn0+p(pourp?N?) etXn0-p(lorsque 1?p?n0) `a l"aide de la suite (An)n?N. b) Justifier que le syst`eme (Hn0,a) admet une solution et une seule.I.C.3)Exemple 3 Dans cette question, on consid`ere le polynˆome :

P(X) = (X-λ)(X-μ)2

o`uλetμd´esignent deux nombres r´eels distincts. a) Pr´eciser la matriceAassoci´ee `a ce polynˆome. b) On admet queQ-1AQ=TavecQ=? ??1 1 0

λ μ1

2μ22μ?

??etT=? ??λ0 0

0μ1

0 0μ?

En d´eduire que si le polynˆomePadmet une racine double, la matriceAqui lui est associ´ee n"est pas diagonalisable. c) `A quelles conditions surλetμa-t-on chacune des propri´et´es suivantes : •pour toutX0?R3,limn→∞Xn= 0? •pour toutX0?R3,(Xn)n?Nconverge? Partie II-De la r´ecurrence lin´eaire en g´en´eral Cette partie aborde l"´etude des syst`emes d"´equations de la forme (H) :?n?N, Xn+1=AnXn dans lesquelles (Xn)n?Nd´esigne un ´el´ement inconnu deS(Ck) et (An)n?Nest une suite de matrices deMk(C). Dans la suite de cette partie, la suite (An)n?Nest fix´ee et on lui associe la suite de matrices (Pn)n?Nd´efinie parP0=Ik(matrice unit´e d"ordrek) etPn+1=AnPn pour tout entier natureln. II.A - R´esultats d"existence et d"unicit´e des solutions

II.A.1) Soit (Xn)n?Nune solution de (H).

ExprimerXnen fonction deX0et de la suite (Pn)n?N.

II.A.2) Montrer que le syst`eme avec condition initiale (Ha) :?Xn+1=AnXnpour toutn?N, X 0=a admet une solution et une seule pour touta?Ck. II.A.3) On noteSl"ensemble des solutions du syst`eme (H). a) V´erifier queSest un sous-espace vectoriel deS(Ck). MATHÉMATIQUES IIFilière PCdu vecteurYndans la base (Z1n,...,Zkn) :?n?N, Yn=k? i=1c inZin. Montrer que (Yn)n?Nest solution deGsi et seulement si la suite (Cn)n?Nv´erifie la relation suivante pour tout entier natureln: C n+1=Cn+Z-1n+1bn.

II.E - Un exemple

Reprenons la suite des matrices (An)n?N, An=?

?n+ 1n+ 20 -1 1? et introduisons le probl`eme avec second membre :Xn+1=AnXn+bnavecbn=t?1n+ 2,-hn? II.E.1) Expliciter une suite de matrices (Zn)n?Nconstruite comme dans la question pr´ec´edente ainsi que la relation de r´ecurrence matricielleCn+1=Cn+Z-1n+1bn´etablie dans la question pr´ec´edente. II.E.2) On consid`ere (Yn)n?Nune solution du probl`eme avec second membre v´erifiant la condition Y 0=?x0 y 0?

Donner une expression deCnpuis deYnen fonction den,x0ety0.• • •FIN• • •II.C.2) On suppose qu"il existep?[0,n0-1] tel queApne soit pas inversible.

a) Le syst`eme (Hn0,a) peut il ne pas avoir de solution? b) Le syst`eme (Hn0,a) peut il avoir plus d"une solution?

II.D -

´Equations avec second membre

Cette question aborde l"´etude de syst`emes de la forme (G) :Xn+1=AnXn+bnou de probl`emes (Gn0,a) :?Xn+1=AnXn+bn X n0=a, o`u (An)n?Nd´esigne encore une suite de matrices deMk(C) fix´ee, (bn)n?Nune suite deS(Ck) fix´ee etn0un entier sup´erieur ou ´egal `a 1. On suppose, de plus, que pourp?[0,n0-1],les matricesApsont inversibles.

II.D.1)Existence, unicit´e et calcul pratique

a) Montrer que le probl`eme (Gn0,a) admet une solution et une seule pour tout ´el´ement adeCk. b) ´Ecrire, dans le langage de calcul formel de son choix une proc´edure qui prend en arguments deux entiers naturelsnetn0,un vecteura,et retourne le terme d"ordre nde la suite solution du probl`eme (Gn0,a).Sont suppos´ees donn´ees les fonctions n→An, n→bn,dans une syntaxe adapt´ee au langage. Dans ce qui suit, on suppose quetoutesles matricesAnsont inversibles et que : ?(Z1n)n?N,(Z2n)n?N,...,(Zkn)n?N? d´esigne une base quelconque de l"espace des solutions du syst`eme homog`ene (H). II.D.2) Prouver que pourp?Nfix´e,?Z1p,Z2p,...,Zkp?est une base deCk. indication : montrer que la famille est libre en observant que le probl`eme ?Xn+1=AnXn X p= 0n"admet qu"une solution. II.D.3) Pour tout entier natureln, on noteZnla matrice carr´ee deMk(C) dont leskcolonnes sont les vecteursZ1n,Z2n,...,Zkn. a) Montrer que si (Yn)n?Nest une suite quelconque deS(Ck) il existe des suites de complexes (c1n)n?N,(c2n)n?N...,(ckn)n?N,telles que pour toutn?N, Y n=k? i=1c inZin=Zn.t?c1n... ckn?. b) Soit (Yn)n?Nune suite quelconque deS(Ck). Pour toutn?N, on noteCn=t?c1n... ckn?la matrice colonne des composantesquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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