[PDF] Cours Diagonalisation Matrices triangulaires : Soit T une

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Cours Diagonalisation

par Pierre Veuillez

1 Objectif

Pour une matriceAdonn´ee, d´eterminer une matriceDdiagonale et une matricePinversible telle queA=P·D·P-1.

Interpr`etation :Quelle relation reconnaˆıt-on ? Que doit-on d´eterminer pour arriver `a un tel

r´esultat ? Dans toute la suite,Esera un espace vectoriel de dimension finie.

2 Diagonalisation d"endomorphisme

2.1 El´ements propres

D´efinition :Soientf? L(E) etu?Euest unvecteur propredefsiu?= 0 et s"il existeα?Rtel quef(u) =αu.M´ethode :u´etant donn´e, comment montrer queαexiste ?

Exercice 1 :Soitfd´efinie parf(P) = (X+ 1)P?.

Montrer quef? L(R2[X]) et que (X+ 1)2est un vecteur propre def. D´efinition :f? L(E) est diagonalisable s"il existe une base deEdans laquelle la matrice de

fest diagonalefest diagonalisable s"il il existe une base de vecteurs propres.D´efinition :Soientf? L(E) etu?Eetα?R.

uest unvecteur propredefassoci´e `a la valeur propreαsiu?= 0 etf(u) =αu.

Exercice 2 :Soitf? L(R2) de matriceA=?1 2

3 2? dans la base canonique. Montrer que (1,-1) est vecteur propre defassoci´e `a la valeur propre-1.

D´efinition :Soientf? L(E) etα?R.αest unevaleur propredefsi il existeu?= 0 tel quef(u) =αu.M´ethode :Comment trouverupourαdonn´e ? Quelle est son image parf-αId ?

Exercice 3 :SoitA=?0 1

1 0? etf:M→AM. Montrer quefest un endomorphisme deM2(R) . Montrer que 1 est valeur propre def.

Th´eor`emeSoientf? L(E) etα?R.αest une valeur propre defsi et seulement matB(f)-αInon inversiblece qui ´equivaut auusi `a ker(f-αId)?={0}

Exercice :le d´emontrerCours Diagonalisation Page 1/5 D´efinition :f? L(E) etαune valeur propre def. Lesous espace propredefassoci´e `a la valeur propreαestEα={u?E / f(u) =αu}= ker(f-αId). Exercice 4 :Soitfd´efinie parf(x,y) = (x+ 2y ,2x+y) pour tout (x,y)?R2. Montrer quef? L(R2) et d´eterminer sa matrice dans la base canonique. Montrer queu=u(1,1) est vecteur propre defet d´eterminer la valeur propre associ´ee. Montrer queα=-1 est valeur propre defet d´eterminer le sous espace propreE-1 associ´e. Montrer quev= (1,-1)?E-1. Montrer que (u,v) est une base deR2et d´eterminer la matrice defdans cette base. En d´eduire une matriceDdiagonale et une matricePinversible telle que?1 2 2 1?

P·D·P-1

Th´eor`eme :f? L(E) etEde dimension finie alorsfbijective??0 n"est pas valeur propre defExercice 5 :le d´emontrer !

2.2 Spectre d"un endomorphisme.

D´efinition :f? L(E).

Le spectre defest l"ensemble de ses valeurs propres. M´ethode matricielle :Mla matrice defdans une base deE. A quelle condition surM, αest-il valeur propre def?

Exercice 1 :Soitf? L(R3) de matriceM=(

(0 1 1 1 1 0

1 0 1)

.. D´eterminer les valeurs propres def.

Par r´esolution de syst`eme :On d´etermine, en discutant suivant la valeur deα,les solutions

de (f-αId)(u) = 0 Quand on trouve des solutions non nulles,αest valeur propre et les solutions sont le sous espace propre associ´e.

Exercice 2Soitf? L(R3) de matriceM=(

(3-1-1 1 1-1

1-1 1)

dans la base canonique. D´eterminer les sous espaces propres defainsi qu"une base de chacun.

2.3 Conditions de diagonalisabilit´e

Th´eor`eme :Des vecteurs propres associ´es `a des valeurs propres distinctes forment une famille

libre. Preuve :Par r´ecurrence, en prenant l"image parfet en combinant pour ´eliminerun+1.

Cons´equence :Combien peut-il y avoir de valeurs propres distinctes au plus ?Cours Diagonalisation Page 2/5

Exercice 1 :Soitfd´efinie parf(P) = (X+ 1)P?endomorphisme deR2[X] (Exercice 1) Montrer queP= 1, Q=X+ 1 etR= (X+ 1)2sont des vecteurs propre def.

En d´eduire (toutes) les valeurs propres def.

Th´eor`eme (Condition suffisante) :Soitf? L(E) etE.de dimensionn.Sifanvaleurs propres distinctesalors

la concat´enation d"un vecteur propre associ´e `a chaque valeur propre forme une base de vecteurs propres deEetfest donc diagonalisable.

Exercice 2 :Soitfde matriceM=(

(0-1 1 -1 0 1

1-1 0)

dans la base canonique deR3.

Montrer que 0,1 et-1 sont valeurs propres def.

(fest-elle bijective ? Montrer que (1,0,1)?Im(f) ) En d´eduire une matricePinversible telle queM=P·D·P-1avecDde diagonale 0,1 et-1.

Lemme (rare) :La concat´enation de familles de vecteurs libres associ´es `a des valeurs propres

distinctes forme une famille libre. Preuve :Regrouper une combinaison nulle suivant chaque sous-espace propre et appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent. Cons´equence :Quelle peut ˆetre la somme des dimensions des sous espaces propres ? Th´eor`eme (CNS)Soitf? L(E) etE.de dimensionn.fest diagonalisablesi et seulement si la somme des dimensions des sous espaces propres estn. La concat´enation des bases des sous espaces propres forme alors une base de vecteurs propres de l"espace..

La matrice defdans cette base est donc diagonale.

Exercice 3 :Soitf? L(R4) de matriceM=(

((4-1-1 0

0 3-1 0

0-1 3 0

2-1-1 2)

))dans la base canonique de R 4. Montrer que 2 et 4 sont valeurs propres defet d´eterminer les sous espaces propres associ´es. En d´eduire quefest diagonalisable ainsi qu"une base de vecteurs propres. D´eterminer enfin une matriceDdiagonale et une matricePinversible telles queM=

P·D·P-1

3 Diagonalisation d"une matrice.

3.1 M´ethode g´en´erale

D´efinition :M? Mn(R) est diagonalisable s"il existe une matricePinversible et une matrice

Ddiagonale telle que

M=P·D·P-1Cours Diagonalisation Page 3/5

El´ements propres :SoitM? Mn(R) une matrice carr´ee. Les ´el´ements propres deMsont ceux de l"endomorphismefdeRnassoci´e `aMdans la base canonique.

Traduction :u= (x,y) est vecteur propre deM=?1 2

2 4? signifie que ? (On dira aussi que ?x y? est colonne propre) Diagonalisation :Comment interpr´eter la relationM=P·D·P-1pourf?

Que repr´esenteP?

Que trouve-t-on sur la diagonale deD?

A quelle condition surf,la matriceMest-elle diagonalisable ?

Th´er`eme : Conditions de diagonalisabilit´eOn retrouve les th´eor`emes pr´ec´edents :

•SiMmatrice d"ordren,poss`edenvecteurs propres associ´es `anvaleurs propres distinctes,alorselle est diagonalisable. Des vecteurs propres associ´es `a cesnvaleurs propres distinctes forment une base de vecteurs propres. AvecPla matrice des coordonn´ees des vecteurs propres associ´es (=les vecteurs propres eux mˆemes) en colonne etDla matrice diagonale des valeurs propres dans le mˆeme ordre que les vecteurs propres on aM=P·D·P-1 •Une matriceMd"ordrenest diagonalisablesi et seulement siSi la somme des dimensions des sous espace propres est ´egale `an. En concat´enant les bases des sous espaces propres on forme une base de vecteurs propres. SoitPla matrice des coordonn´ees de ces vecteurs (=les vecteurs eux mˆemes). SoitDla matrice diagonale des valeurs propres dans le mˆeme ordre que les vecteurs propres.

On a alorsM=P·D·P-1

Exercice 1 :Diagonalisez?1 2

2 4?

Exercice 2 :Diagonaliser(

(-2 0 0 -3 1 3 -3 3 1)

3.2 Cas particuliers

Matrices triangulaires :SoitTune matrice triangulaire. Pour quelles valeurs deαest-ce que la matriceT-αIsera-t-elle non inversible ? Quelles sont les valeurs propres deT?

Exercice 1 :SoitT=(

(1 1 1 0 2 0

0 0 2)

. Quelles sont les valeurs propres deT.Est-elle diagonal- isable ?Cours Diagonalisation Page 4/5 Relation polynˆomiale :Pour un polynˆome de degr´e 2,aM2+bM+cI= 0. Qu"est-ce que signifie queαest valeur propre deM? Comment le mettre en rapport avec la relation pr´ec´edente ? Que peut on en d´eduire pourα,siαest valeur propre deM?

Que peut on dire des solutions deax2=bx+c= 0 ?

Th´eor`eme :SoitPun polynˆome,M? Mn(R) etαune valeur propre deMSiP(M) = 0alorsP(α) = 0On dit quePest unpolynˆome annulateur deM.

(et de mˆeme siP(f) = 0 o`ufest un endomorphisme deE,avecfn=f◦ ··· ◦f)

La r´eciproque est fausse.

Exercice 2 :SoitM=(

(2-1-1 1 0-1

1-1 0)

CalculerM3-3M2+ 2M.En d´eduire les valeurs propres deMet diagonaliserM. D´efinition (rare) :La transpos´ee deMesttMdont les colonnes sont les lignes deM.

Th´eor`eme (rare) :

t(M·N) =tN·tM: l"ordre du produit est invers´e. Th´eor`eme (rare) :SiMest inversible alorstM´egalement et (tM)-1=t(M-1) Preuve :Comment d´emontrer qu"une matrice est l"inverse d"une autre ?

D´efinition :Mest sym´etrique sitM=M.

C"est `a dire si ses lignes sont ´egales `a ses colonnes. Ses coefficients sont sym´etriques par rapport `a sa diagonale. Th´eor`eme (fr´equent) :SiMest une matrice sym´etrique alorsMest diagonalisable.

Exercice 3 :SoitM=(

(1 1 0 1 0 1

0 1 1)

. Montrer queMest diagonalisable.

4 Applications

4.1 Puissances de matrice

Situations :Quels exercices usuels conduisent `a une relationUn+1=A·Uno`uUnest une matrice colonne.

Comment se r´esout cette relation ?

4.2 Changement d"inconnue

Une matriceA´etant diagonalis´eeA=P·D·P¨-1,les relations l"utilisant se transforment. Et la relation obtenue est plus facile `a r´esoudre du fait des coefficients nuls dansD. Exemples :TransformerA·M=M·Apar le changement de matriceN=P-1·M·P

Transformer l"´equationA·M=Mpar le changement de matriceM=P·N..Cours Diagonalisation Page 5/5

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