[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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Valeurs propres,

vecteurs propresDans ce chapitre, nous allons définir et étudier les valeurs propres et les vecteurs propres d"une matrice.

Ce chapitre peut être vu comme un cours minimal pour comprendre la diagonalisation ou comme une introduction à la théorie de la réduction des endomorphismes.

Notations.

K

est un corps. Dans les exemples de ce chapitre,KseraRouC. Les matrices seront des éléments deMn(K),

c"est-à-dire des matrices carrées, de taillenn, à coefficients dansK.

1. Valeurs propres et vecteurs propres

1.1. Motivation

Voici deux transformations simples définies par une matrice : 1. h:x y 7!2 0 0 2 x y =2x 2y

L"applicationhest une homothétie deR2(centrée à l"origine). SiDest une droite passant par l"origine,

alors elle est globalement invariante par cette transformation, c"est-à-dire siP2Dalorsh(P)2D(mais

on n"a pash(P) =P). On retient ici que n"importe quel vecteurxyest envoyé sur son double 2xy. 2. k:x y 7!2 0 0 3 x y =2x 3y L"applicationkn"est plus une homothétie. Cependant l"axe(Ox)est globalement invariant park; de

même, l"axe(Oy)est globalement invariant. On retient qu"un vecteur du type(x0)est envoyé sur son

double 2(x0), alors qu"un vecteur du type0yest envoyé sur son triple 30y.

Pour une matrice quelconque, il s"agit de voir comment on se ramène à ces situations géométriques simples.

C"est ce qui nous amène à la notion de vecteurs propres et valeurs propres.

1.2. DéfinitionsDéfinition 1.

SoitA2Mn(K).

est ditevaleur proprede la matriceAs"il existe un vecteur non nulX2Kntel queAX=X.• Le vecteurXest alors appelévecteur propredeAassocié à la valeur propre. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES2

1.3. Exemples

Exemple 1.

SoitA2M3(R)la matrice

A=0 @1 3 3 2 112 87 61
A

Vérifions queX1=0

@1 0 11 A est vecteur propre deA.

En effet,

AX 1=0 @1 3 3 2 112 87 61
A0 @1 0 11 A =0 @2 0 21
A =20 @1 0 11 A =2X1. DoncX1est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre1=2.

Vérifions queX2=0

@0 1 11 A est vecteur propre deA.

On calculeAX2et on vérifie que :

AX

2=13X2

DoncX2est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre2=13.

Vérifions que3=7 est valeur propre deA.

Il s"agit donc de trouver un vecteurX3=0

@x 1 x 2 x 31
A tel queAX3=7X3. AX

3=7X3()0

@1 3 3 2 112 87 61
A0 @x 1 x 2 x 31
A =70 @x 1 x 2 x 31
A 0 @x

1+3x2+3x3

2x1+11x22x3

8x17x2+6x31

A =0 @7x1 7x2 7x31 A 8 :6x1+3x2+3x3=0

2x1+4x22x3=0

8x17x2x3=0On résout ce système linéaire et on trouve comme ensemble de solutions :

¦€tttŠ

jt2R© . Autrement dit, les solutions sont engendrées par le vecteurX3=0 @1 1 11 A On vient de calculer queAX3=7X3. AinsiX3est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre 3=7.

Exemple 2.

Soit A=0 1 1 1

Le réel=1+p5

2 est une valeur propre deA. En effet : A1 =1 VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES3

Exemple 3.

Soit A =0 @cossin0 sincos0

0 0 11

Ala matrice de la rotation de l"espace d"angleet d"axe(Oz). SoitX3=

€001Š

. AlorsAX3=X3. DoncX3est un vecteur propre deAet la valeur propre associée est 1.

Exemple 4.

Soit A=0 1 11

Le complexej=12

+ip3 2 =ei23 est une valeur propre deA. En effet : A1 j =j1 j

1.4. Cas d"une matrice diagonale

Le cas idéal est celui d"une matrice diagonale. Il est en effet très facile de lui trouver des valeurs propres et

des vecteurs propres. C"est le but de la " diagonalisation » de se ramener à ce cas!

Exemple 5(Cas d"une matrice diagonale).

SoitAla matrice diagonale

A=0 B BBBB@ 10 0 0200
00n10 0 0n1 C

CCCCA.

Alors les scalaires1,...,nsont des valeurs propres deA, admettant respectivement comme vecteurs propres associés : X 1=0 B BB@1 0 01 C

CCAXn=0

B BB@0 0 11 C CCA.

La preuve est immédiate. Le vecteurXi=

0 B ..010...1 C A (où toutes les coordonnées sont nulles, sauf1en positioni) vérifie en effet AX i=0 B BBBB@ 10 0 0200
00n10

0... 0n1

C

CCCCA0

B

BBBBB@.

0 1 0 ...1 Cquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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