[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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Polynômes

d"endomorphismesLe but de ce chapitre est de démontrer le théorème de Cayley-Hamilton. C"est un résultat théorique

important, qui affirme que le polynôme caractéristique d"une matrice annule cette matrice.

1. Polynôme de matrice, polynôme d"endomorphisme

On noteMn(K)l"ensemble des matrices de taillennà coefficients dansK(K=Q,RouC). Pour unK-espace vectorielE, on noteL(E)l"ensemble des applications linéaires deEdansE. Un élémentf2 L(E)est unendomorphismedeE. Dans ce chapitre,Esera de dimension finie.

1.1. Définition

Polynôme de matrice.

SoitA2Mn(K)une matrice. ÀXk, on associeAk; à1, on associe la matrice identitéIn. Plus généralement, pour un polynôme

P(X) =a0+a1X+a2X2++amXm2K[X],

on définit la matrice :

P(A) =a0In+a1A+a2A2++amAm2Mn(K)

Exemple 1.

SoientA=11

1 2 etP(X) =X45X22X+1. On calcule A 2=23 3 5 A

4= (A2)2=1321

21 34

P(A) =A45A22A+I2=24

4 6

Polynôme d"endomorphisme.

Soitf2 L(E). ÀXk, on associefk, c"est-à-direfff|{z} koccurrences. À1, on associe l"application identité idE. Plus généralement, pour un polynôme

P(X) =a0+a1X+a2X2++amXm2K[X],

on définit l"endomorphisme :

P(f) =a0idE+a1f+a2f2++amfm2 L(E)

POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES1. POLYNÔME DE MATRICE,POLYNÔME D"ENDOMORPHISME2 Exemple 2.Soitf:R2!R2la rotation d"angle=6centrée à l"origine. SoitP(X) =X11. CalculonsP(f). Pourk2Z,fkest la rotation d"anglek=k6. DoncP(f) =f11est la rotation d"angle116, qui est aussi la rotation d"angle6 . AinsiP(f) =f11=f1. Les opérations avec les polynômes de matrices se comportent sans surprise.Proposition 1.

Soient A2Mn(K)et P,Q2K[X]. Alors

(PQ)(A) =P(A)Q(A).De même, pourf2 L(E),(PQ)(f) =P(f)Q(f). (Noter la composition.) Sachant en plus que, pour tous,2K,(P+Q)(A) =P(A)+Q(A), alors on dit en termes savants que l"application

A:K[X]!Mn(K)

P(X)7!P(A)

est unmorphisme d"algèbres(A2Mn(K)est fixée). Démonstration.SiP(X) =a0+a1X++amXmetQ(X) =b0+b1X++b`X`, alors (PQ)(X) =a0b0+(a0b1+a1b0)X+

Donc :

P(A)Q(A) = (a0In+a1A+)(b0In+b1A+)

=a0b0In+(a0b1+a1b0)A+ = (PQ)(A).Remarque(importante). En particulier, pour tousP,Q2K[X], les matricesP(A)etQ(A)commutent :

P(A)Q(A) =Q(A)P(A).

De même, les endomorphismesP(f)etQ(f)commutent.

1.2. Exemples

Exemple 3(Polynôme d"une matrice diagonale).

Pour D=0 B BB@ 100

02......

.........0 00n1 C CCA on a :

P(D) =0

B

BB@P(1)00

0P(2)......

.........0

00P(n)1

C CCA quel que soit le polynômeP(X)2K[X]. POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES2. SOUS-ESPACES STABLES3

Exemple 4.

Montrer plus généralement que pour une matrice triangulaire T=0 B BB@ 1

02......

00n1 C CCA on a :

P(T) =0

B

BB@P(1)

0P(2)......

00P(n)1

C CCApour tout polynômeP(X)2K[X]. Les coefficients au-dessus de la diagonale peuvent avoir une expression compliquée, mais les coefficients diagonaux sont obtenus simplement en leur appliquant le polynômeP.Mini-exercices. 1. SoitA=2 10 3. PourP(X) =X2X, calculerP(A). Idem avecP(X) =X3X, puisP(X) = X4X. 2.

Soitf:R3!R3,f(x,y,z) = (y2

,x,3z). PourP(X) =Xn, calculerP(f)en fonction de n>1 (commencer par les petites valeurs den:n=1,2,3,4,...). 3. SoientA=234 1,P(X) =X23X. Montrer queP(A) =10I2. FactoriserP(X)et en déduire

A1. Faire un travail similaire pourA=€

1 0204 11 01Š

,P(X) =X3+4X2+X. 4. SoientA,A0,Bdes matrices (avecBinversible) telles queA0=BAB1. Montrer que, pour tout polynômeP(X)2K[X],P(A0) =BP(A)B1. 5. Trouver une matriceAde taille33telle queA26=0, maisA3=0. Trouver une matriceBde taille 33 telle queB26=I3, maisB3=I3.2. Sous-espaces stables

2.1. DéfinitionDéfinition 1.

SoitEunK-espace vectoriel. Soitf2 L(E). Le sous-espace vectorielFdeEeststableparf si :

8x2F f(x)2F.Autrement dit,Fest stable parfsif(F)F.

Un premierexemple : les sous-espaces propres defsont stables parf. En effet,siF=Ker(fidE) alors, pourx2F,f(x) =x2F.

Exemple 5.

Soit(e1,e2,e3)la base canonique deR3. Soitrla rotation d"axe verticale3et d"angle. L"endo- POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES2. SOUS-ESPACES STABLES4 morphismerdeR3laisse invariant deux sous-espaces : F

1=Vect(e1,e2) =Re1Re2etF2=Vect(e3) =Re3

La matrice defdans cette base(e1,e2,e3)est la matrice0 @cossin0 sincos0

0 0 11

A La matrice de cet exemple a une structure particulière. Voyons pourquoi.

Effet sur les matrices.Supposons queEest de dimensionn,quefest un endomorphisme deE,et queFest un sous-espace

deEstable parf. Notons (e1,...,ep) une base deF. On la complète en une base deE:

B= (e1,...,ep,ep+1,...,en).

La matrice defdans la baseBest triangulaire par blocs : Mat

B(f) =0

B

BBBBBB@a

1,1a1,pb

1,1b1,np.......

a p,1ap,pb p,1bp,np00d

1,1d1,np.......

00d np,1dnp,np1 C

CCCCCCA=AB

0D oùA= (ai,j)16i,j6p2Mp(K)est la matrice defjFdans la base(e1,...,ep)deF.

Remarque.

SiE=F1F2et queF1etF2sont tous les deux stables parf, alors la matrice defest diagonale par blocs : Mat

B(f) =0

B

BBBBBB@a

1,1a1,p00

a p,1ap,p0000d

1,1d1,np.......

00d np,1dnp,np1 C

CCCCCCA=A0

0D

Voir l"exemple

5 ci-dessus.

2.2. Polynôme d"endomorphismeLemme 1.

SiFest un sous-espace vectoriel stable parfalors, pour tout polynômeP2K[X],Fest stable par

P(f).Démonstration.

Six2F, alorsf(x)2Fet doncf(f(x))2F. Par récurrence surk, on montre que fk(x)2F, pour toutk>0. Maintenant, siP(X) =Pm k=0akXk, alorsP(f)est l"endomorphisme défini par

P(f) =a0idE+a1f+a2f2++amfm.

POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES2. SOUS-ESPACES STABLES5 Donc

P(f)(x) =a0x+a1f(x)+a2f2(x)++amfm(x).Chaque termeakfk(x)2F, doncP(f)(x)2FcarFest un espace vectoriel. Conclusion :Fest

stable parP(f).Une autre proposition souvent utile est la suivante :

Proposition 2.

Soientfetgdeux endomorphismes deEqui commutent, c"est-à-dire tels quefg=gf. Alors

Kerg etImg sont stables par f .Démonstration.

Soitx2Kerg. On ag(x) =0, d"oùg(f(x)) =f(g(x)) =f(0) =0, doncf(x)2Kerg. Soity2Img. Il existex2Etel quey=g(x), d"oùf(y) =f(g(x)) =g(f(x)), donc f(y)2Img.2.3. Polynôme caractéristique SoitFun sous-espace stable par un endomorphismef:E!E. Dans ce cas, on notefjF:F!F, x2F7!f(x)2F, larestrictiondefàF. L"applicationfjFest un endomorphisme deF.Lemme 2. Soitfun endomorphisme deE(de dimension finie). On suppose aussi qu"il existe un sous-espaceF

de E laissé stable par f . NotonsfjFle polynôme caractéristique de la restriction de f à F. Alors :

On considère une base(e1,...,ep)deF, et on la complète en une base (e1,...,ep,ep+1,...,en)deE. La matrice defdans cette base est de la forme M=AB 0D oùA2Mp(K)est la matrice defjFdans la base(e1,...,ep).

On a alors

f(X) =det(MXIn) =AXIpB

0DXInp

=det(AXIp)det(DXInp) =fjF(X)Q(X).

Cela prouve quefjF(X)divisef(X).Mini-exercices.

1.

Soitf:R3!R3,f(x,y,z) = (2xy,3x2y,13

z). Calculer la matrice defdans la base

canonique et déterminer le polynôme caractéristique def. En déduire les sous-espaces stables

de l"applicationf. POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES3. THÉORÈME DECAYLEY-HAMILTON62.SoitA=

€11 021112 1Š

. Trouver une valeur propre deAet un vecteur propre associé. Montrer que les vecteursw1=

€101Š

etw2=

€011Š

engendrent un sous-espace stable de dimension2 de cette matrice. En déduire une matricePtelle queP1APsoit une matrice diagonale par blocs. 3. Soitfl"application linéaire définie par la matriceA=

€2 021 114 0 4Š

. Soitgl"application linéaire définie par la matriceB=

€2 0 13 3 32 01Š

. Montrer quefg=gf. CalculerKergetImg, et

vérifier qu"ils sont stables parf. Calculer Kerfet Imf, et vérifier qu"ils sont stables parg.3. Théorème de Cayley-Hamilton

3.1. ÉnoncéThéorème 1(de Cayley-Hamilton).

Soit A2Mn(K). Alors

A(A) =0.De même, soit f2 L(E), avec E de dimension finie. Alors

f(f) =0.L"égalitéA(A) =0 signifie que le polynôme caractéristique appliqué àAdonne la matrice nulle.

L"égalitéf(f) =0signifie que le polynôme caractéristique appliqué àfdonne l"application nulle.

Exemple 6.

SoitA=12

11

2M2(R). Le polynôme caractéristique deAest

A(X) =det(AXI2) =1X2

11X = (1X)(1X)+2=X2+1. Vérifions le théorème de Cayley-Hamilton sur cet exemple, en calculantA(A):

A(A) =A2+I2=I2+I2=0.

Exemple 7.

Plus généralement, en dimension 2, posons

A=a b c d

2M2(R).

On sait que

A(X) =X2(a+d)X+adbc.

Vérifions queA(A) =0 :

POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES3. THÉORÈME DECAYLEY-HAMILTON7

A(A) =A2(a+d)A+(adbc)I2

=a2+bc ab+bd ac+cd bc+d2 (a+d)a b c d +adbc0 0adbc 0 0 0 0

Exemple 8.

Soient les deux matrices deMn(K)suivantes :

N=0 B

BBBBB@0 1 00

.........0 ......1 0 01 C

CCCCCAetJ=0

B

BBBB@0 0 1

1 0 0 0 1

00 1 01

C CCCCA.D"une part,N(X) = (1)nXnet on a bienNn=0. D"autre part,J(X) = (1)n(Xn1)et on a bienJn=In.

3.2. Preuve

Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton. On supposeEde dimension finien. Soitfun endomorphisme deE. Soitxun vecteur non nul de E. Soit 16p6nle plus grand entier tel que la famillex,f(x),...,fp1(x) soit libre. Alors, forcément, la famille x,f(x),...,fp1(x),fp(x) est liée et, plus précisément, c

0x+c1f(x)++cp1fp1(x)+fp(x) =0 (1)

pour certains coefficientsc0,...,cp12K. PosonsF=Vect(x,f(x),...,fp1(x)). C"est un sous-espace vectoriel deE(de dimensionp) stable parf. En effet, notonsv0=x,v1=f(x), ...,vp1=fp1(x). Alors, pour06k6p2, on a f(vk) =vk+12F; et, par la relation (1), f(vp1) =fp(x) =c0v0c1v1cp1vp12F. De plus, la matrice de la restrictionfjFdans la basex,f(x),...,fp1(x) est la matrice A=0 B

BBBBB@0 0c0

1.........

0 .........0...

00 1cp11

C

CCCCCA.

POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES3. THÉORÈME DECAYLEY-HAMILTON8

C"est une matrice compagnon, donc

A(X) =(Xp+cp1Xp1++c0).

D"après le lemme

2 ,A(X)divisef(X), c"est-à-dire f(X) =Q(X)A(X) pour un certain polynômeQ(X)2K[X]. On a alors : f(f)(x) =Q(f)A(f)(x) =Q(f)

A(f)(x)

=Q(f)(fp(x)+cp1fp1(x)++c0x) =Q(f)(0) =0 Finalement,f(f)(x) =0 pour tout vecteurxdeE, et doncf(f) =0.3.3. Polynôme annulateur

Définition 2.On dit qu"un polynômeP(X)est unpolynôme annulateurde la matriceA(ou de l"endomor-

phismef) siP(A) =0 (ouP(f) =0).Exemple 9. Soitp:E!Etel quep2=p(c"est uneprojection). AlorsX2Xest un polynôme annulateur dep. Soitr:E!Etel quer2=idE(c"est uneréflexion). AlorsX21est un polynôme annulateur der. Reformulation du théorème de Cayley-Hamilton : Le polynôme caractéristique de la matriceA(resp. de l"endomorphismef) est un polynôme annulateur deA(resp. def). Où chercher les valeurs propres, connaissant un polynôme annulateur mais ne connaissant pas le polynôme caractéristique?Proposition 3.

Si P est un polynôme annulateur de f , alors

sp(f) fracines de Pg.Le même énoncé est bien sûr vrai pour les matrices.

Démonstration.

Soitxest vecteur propre def, associé à une valeur propre. Commef(x) =x, on a :

8k>0fk(x) =kx

et plus généralement, pour tout polynômeQ(X):

Q(f)(x) =Q()x

En particulier, commeP(f)(x) =0, alorsP()x=0, ce qui impliqueP() =0 carx6=0. POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES4. POLYNÔME MINIMAL9Mini-exercices. 1.

Soit A=€

53 37 3312 2Š

. Calculer le polynôme caractéristique deA. Vérifier queA(A) =0.

2.Soitf:R4!R4défini parf(x1,x2,x3,x4) = (3x1+5x2,2x14x2,x4,x3+2x4). Calculer

le polynôme caractéristique def. Vérifier quef(f) =0. 3.

SoitA=

. Montrer queX33X2est un polynôme annulateur deA. En déduire les valeurs propres deA.4. Polynôme minimal Nous venons de démontrer que sifest un endomorphisme etfest son polynôme caractéristique alorsf(f) =0(et de mêmeA(A) =0pourA2Mn(K)). Nous allons démontrerqu"il existe un plus

petit polynôme ayant cette propriété, ce polynôme n"étant pas toujours le polynôme caractéristique.

4.1. DéfinitionProposition 4.

Soitfun endomorphisme deE. Il existe un unique polynômef(X)2K[X]qui vérifie les trois conditions suivantes : f(X)est un polynôme annulateur pour f ; f(X)est unitaire; si P(X)2K[X]est un polynôme annulateur de f alorsdegf(X)6degP(X).

Ce polynôme est appelé lepolynôme minimaldef. C"est donc le polynôme unitaire de degré le

plus petit qui annulef. On définit de même le polynôme minimalA(X)d"une matriceA2Mn(K).

Exemple 10.

Soit A=0 @01 1 1 21

1 1 01

A

2M3(R).

Montrons queA(X) =X2X.

On vérifie queA2A=0, donc le polynômeX2XannuleA. On vérifie queAI3n"est jamais la matrice nulle (quel que soit2R). Donc aucun polynôme de degré 1 n"annuleA. Le polynômeX2Xest donc le polynôme unitaire de plus petit degré annulantA. Conclusion :

A(X) =X2X.

Autres exemples. Le polynôme minimal de la matrice identitéInestA(X) =X1(quel que soit n>1). Le polynôme minimal de la matrice nulle estX.

Non seulement le polynôme minimal est le polynôme annulateur de degré le plus petit, mais c"est

aussi le plus petit au sens de la division des polynômes.Proposition 5.

POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES4. POLYNÔME MINIMAL10Le polynôme minimal de f ,f(X), divise tous les polynômes annulateurs de f .Rappels sur la division euclidienne.SoientP,Qdeux polynômes dansK[X]. SiQ6=0, alors il existe un unique couple(B,R)tels que

B,R2K[X]et :

P=BQ+Ret degRquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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