Cours Diagonalisation
Matrices triangulaires : Soit T une matrice triangulaire. Pour quelles valeurs de ? est-ce que la matrice T ??I sera-t-elle non inversible ? Quelles sont les
Cours de mathématiques - Exo7
La diagonalisation est une opération fondamentale des matrices. Dans ce chapitre E est un -espace vectoriel. est un corps. Dans les exemples de ce ...
Cours de mathématiques - Exo7
C'est le but de la « diagonalisation » de se ramener à ce cas ! Exemple 5 (Cas d'une matrice diagonale). Soit A la matrice diagonale. A =.
Chapitre 8 : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
Dans tout ce chapitre E est un espace vectoriel de dimension finie n et f Une matrice carrée A ? Mn(R) est diagonalisable si l'endomorphisme f de Mn ...
Cours de mathématiques - Exo7
Le but de ce chapitre est de démontrer le théorème de Cayley-Hamilton. Si A est diagonalisable A est semblable à une matrice diagonale.
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
Une matrice n'est pas en général dia- gonalisable c'est-`a-dire semblable `a une matrice diagonale. Dans ce chapitre
Chapitre 9 - Réduction des matrices carrées
Cours de mathématiques. ECT2. 1. MATRICE DIAGONALISABLE. 1.1. Définition. Définition 1 : Soit A une matrice. On dit que la matrice A est diagonalisable si
Mathématiques
19 Apr 2021 Si au cours de l'épreuve
Cours de mathématiques
de f : l'endomorphisme f est diagonalisable. De plus les di sont tous égaux à 1 : les espaces propres sont tous des droites. Remarque 1. Ce cas se produit
Matrice de passage et changement de base
Comment se souvenir de ce qu'il y a dans la matrice de passage? 6. la diagonalisation des matrices symétriques et application aux formes quadratiques ;.
![Mathématiques Mathématiques](https://pdfprof.com/Listes/16/16149-16SUJETS-MATHS-ECE-PREPA-2021.pdf.pdf.jpg)
Mathématiques
Option Économique
Lundi 19 avril 2021 de 8h00 à 12h00
Durée
: 4 heuresCandidats bénéficiant de la mesure "
Tiers-temps
8h00 - 13h20
L'énoncé comporte 6 pages.
Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat. Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.Conformément au règlement du concours, l"usage d"appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l"épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l"énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs afrmations.
Si, au cours de l"épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en
expliquant les raisons des initiatives qu"il est amené à prendre.Ce document est la propriété d"ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l"issue de l"épreuve. CONCOURS D'ADMISSION 2021
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Sujet 1
EXERCICE1
SoitE=M
3 (R) l"ensembledes matricescarr´ees d"ordre3 `acoefficientsr ´eels.On noteI
3 la matriceiden tit´edeEet 0 3 la matricen ulledeE. SoitAl"ensemblede smatricesMdeEv´erifiantl"´egalit´ e: M(M+I 3 M+2I 3 )=0 3PartieA :Exemp lesde matricesappartena nt `a A.
1. D´eterminerl"ensemble desr´ee lsαtels queαI
3 ?A.2. L"ensembleAest-ilsous-e spacevectoriel deE?
3. Onnote B=(
(-1-11 1-311-1-1)
(a) Onp oseX 1 =((1 1 0) etX 2 =((1 1 1) . CalculerBX 1 etBX 2 (b) End ´eduiredeuxvaleurspr opresdeB. D´eterminerunebasede chacu ndessou s-es pacespropresassoci´ es.(c) D´emontrerqueBestdi agonalisable,etexplicite ru nematriceDdiagonaleet une matricePinversibletelles
que: B=PDP 1 (d) D´emontrerqueD?A, puisqueB?A.4. Plusg´ en´eralement,onsupposequeMestu nematrice deEdiagonalisable,tell equelespectr edeMsoit
inclusdans{0,-1,-2}.Montrerque M?A.
PartieB:Diagon alisabilit´ ed esmatricesdeA
SoitMunematri ceappartenant` aA. Onnote Sp( M) les pectredeM.5. D´eterminerunpoly nˆome annulateurdeM, etd ´emontrerquelesp ectred eMestin clusdans{0,-1,-2}.
6. Ons upposedanscettequestion que Madmet 0,-1 et-2 commevaleurs propres.
JustifierqueMestd iagonalisable.
7. (a)O nsuppose danscettequ estionque-1 estl"uni quevaleurpropre deM.
JustifierqueMetM+2I
3 sontin versibles,puisd´emontrerque M=-I 3 (b) Quep eut-ondirede Msi Sp(M)={-2}? SiS p(M)={0}?8. Ons upposedanscettequestion que Mn"admetauc unevaleurpropre.
Justifierqueles matricesM,M+I
3 etM+2I 3 sontin versibles.Aboutir`aunecontr adiction. - 2 -Sujet 1
9. Danscet tequestion,on supposequeMadmet exactementdeuxvaleurs propr esdistinctes.
On traiteici lec aso `uSp( M)={-1,-2}(et onad metquedans lesautressitu ations,ler´ esultatserait similaire).On veutd´ emontrerparl"absurdequelam atric eMestdi agonalisable,eton supposedon cque Mne l"estpas.
On noteBla basecanoniq uedeR
3 . Soitfl"endomorphismedeR 3 dontla matriced ansla baseBestM.On notee nfinIdl"endomorphismeidentit´ede R
3 (a) Montrerque : (f+Id)◦(f+2Id)=0 et(f+2Id)◦(f+Id)=0 (b) D´emontrerquedim(Ke r(f+Id))?1 etque di m(Ker(f+2Id))?1. (c) Enutili santqueMn"estpasdiagon alisable,d ´emontre rque: dim(Ker( f+Id)) =1 et dim(Ker(f+2Id))=1. (d) Soituun vecteurpropred efassoci´e`alav aleurpropre -1. Soitvun vecteurpropred efassoci´e`alav aleurpropre -2. i. Justifierque(u,v) formeunef amillelibr edansR 3 ii. Soitwun vecteurdeR 3 n"appartenantpas`aV ect(u,v).Montrerqu elafam ille (
u,v,w) estune basedeR 3 iii.En utilis antlefaitque? (f+Id)◦(f+2Id)? (w) =0 et? (f+2Id)◦(f+Id)? (w) =0, montr erqu"il existe deuxr´eels αetβtels que: f(w)+2w=αuetf(w)+w=βv. En d´eduirequewestu necombi naisonlin´eairedeuetv, etab outir`aune contradiction.10. Montreralors quepour toutematr iceMdeE:
M?A??Mestd iagonalisableetSp(M)?{0,-1,-2}.
EXERCICE2
Pourtout entier nsup´erieurou´ egal` a2,onp ose,sice sin t´ egralesconv er gent: I n 0 ln( t t n d t, J n 1 0 ln( t t n d tetK n 1 ln( t t n d t.PartieA
Dansce ttepartie,on fixeun entier nsup´erieurou´ egal` a2.1. (a)D ´emontrerque:
ln( t t n t→0 ln( t (b) D´emontrerque:?y?]0,1],? 1 y ln( t )dt=-1+y-yln(y).En d´eduirequel"int´ egr ale
1 0 ln( t )dtconvergeet d´etermin ersavaleur. (c) D´emontrerquel"int´ egraled ´efinissantJ n converge.2. (a)Calcul erlim
t→+∞ t 3 2 ln( t t n (b) End ´eduirelanaturedel"i nt ´egraled´efinis santK n3. Quelleestlanatu redel"in t´ egraled ´e finissantI
nSujet 1
EXERCICE1
SoitE=M
3 (R) l"ensembledes matricescarr´ees d"ordre3 `acoefficientsr ´eels.On noteI
3 la matriceiden tit´edeEet 0 3 la matricen ulledeE. SoitAl"ensemblede smatricesMdeEv´erifiantl"´egalit´ e: M(M+I 3 M+2I 3 )=0 3PartieA :Exemp lesde matricesappartena nt `a A.
1. D´eterminerl"ensemble desr´ee lsαtels queαI
3 ?A.2. L"ensembleAest-ilsous-e spacevectoriel deE?
3. Onnote B=(
(-1-11 1-311-1-1)
(a) Onp oseX 1 =((1 1quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] Naviguer sur Internet - coursdinfo
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