[PDF] Chapitre 8 : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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ECE 2 - Mathématiques

Mme Marcelin - Lycée Clemenceau RéductionChapitre 8 :

Réduction des endomorphismes

et des matrices carréesDans tout ce chapitre,Eest un espace vectoriel de dimension finienetfest un endomorphisme deE.

Le but de ce chapitre est de vérifier s"il existe une base deEdans laquelle la matrice defest une matrice diagonaleDet, le cas échéant, de déterminer cette base.

Si une telle base n"existe pas, on en cherchera une dans laquelle la matrice defest une matrice triangulaire

T. Grâce à la formule de changement de base, toute matriceAdefsera donc semblable à la matrice diagonaleD(ou à la matriceT).

Ceci permet de résoudre des problèmes faisant intervenir une matriceAen se ramenant à un problème

plus simple faisant intervenir une matrice diagonale ou triangulaire.

1 Eléments propres d"un endomorphismea) Définitions

Définition 1

Un réelest unevaleur propre defs"il existe un vecteur~unon nuldeEtel que :

f(~u) =~uUn tel vecteur non nul~uest appelévecteur propre defassocié à la valeur propre.Vocabulaire :l"ensemble des valeurs propres defest appelé lespectre def; notésp(f).

Remarques

1.

Autremen tdit, un r éelest donc valeur propre defs"il existe un vecteur non nul (vecteur propre associé

à) dont l"image parfest colinéaire à lui-même, de coefficient de colinéarité. 2.

On imp ose~u6=~0sans quoi tous les réelsseraient toujours valeurs propres def. En effet,f(~0) =~0 =:~0

pour tout réel.

Exemple 1

Soitf2 L(R3)définie parf(x;y;z) = (x+ 2y;y;z).

Montrer que(1;1;0)et(1;0;0)sont des vecteurs propres def.

Définition 2Soitune valeur propre def. On appellesous-espace propre associé à la valeur propre

l"ensemble notéE(f)constitué de toutes les solutions de l"équationf(~u) =~u, d"inconnue~u2E.

E (f) =f~u2Ejf(~u) =~ug1

ECE 2 - Mathématiques

Mme Marcelin - Lycée Clemenceau RéductionRemarques 1.

Le sous espace propre asso ciéà est l"ensembledes vecteurs propres associés àauquel on ajoute le vecteur nul.

2.est une valeur propre defsi et seulement siE(f)6=f~0g.

Méthode

Une fois qu"une valeur propre defest trouvée (ou suggérée), pour déterminer une base de vecteurs propres

defassociés à cette valeur propre, on détermine une base deE(f)en résolvant l"équationf(~u) =~u

d"inconnue~u2E.

Exemple 1

Calculer les sous-espaces propres defassociés aux valeurs propres1et1.

b) Lien entre les éléments propres defet la fonctionfIdEThéorème 1 : recherche de vecteurs propres

Soitune valeur propre def, on a :

E (f) =Ker(fIdE)Le sous-espace propre defassocié àest donc un sous-espace vectoriel deE.Preuve ker(fId) =f~u2Ej(fId)(~u) =~0g or(fId)(~u) =~0,f(~u)Id(~u) =~0,f(~u)~u=~0,f(~u) =~u

Ainsi,ker(fId) =f~u2Ejf(~u) =~ug=E(f).

Théorème 2 : recherche de valeurs propresUn réelest une valeur propre defsi et seulement sifIdEn"est pasbijective.

Preuve

est une valeur propre defsi et seulement siE(f)6=f~0gsi et seulement siKer(fIdE)6=f~0gsi et seulement si

fIdEn"est pas injective si et seulement sifIdEn"est pas bijective car c"est un endomorphisme en dimension finie.

Corollaire 1 : Cas particulier= 00est valeur propre defsi et seulement sifn"est pas bijective et : kerf=E0(f)2

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Mme Marcelin - Lycée Clemenceau Réductionc) Polynôme annulateur et valeurs propres possibles

Théorème 3 : polynôme annulateur et valeurs propres possibles defSiPest un polynôme annulateur defalors les seules valeurs propres possiblesdefsont les racines

deP.Attention :la réciproque est fausse! Les racines dePne sont pas forcément des valeurs propres def.

Exemple 2

Soitf2 L(R2)définie parf(x;y) = (y;x). Déterminer la fonctionf2et déterminer les seules valeurs propres

possiblesdef.

Remarque

Ce théorème est fondamental pour déterminer les valeurs propres d"un endomorphisme dans un cadre théorique où

le calcul des valeurs propres est complexe. Si on vous donne une relation entre les puissances def, il faut l"exploiter

pour trouver les quelques valeurs propres possibles def.

Il ne reste alors plus qu"à chercheKer(fIdE)oùn"est plus un paramètre mais l"une des quelques valeurs

possibles. SiKer(fIdE)6=f~0g, alorsest bien une valeur propre def, sinon ce n"en est pas une.

2 Eléments propres d"une matrice carréeNous savons que l"équationf(~u) =~uest traduite en calcul matriciel (calcul sur les coordonnées) par

l"équationAX=XoùAest la matrice defdans une baseBetXla matrice du vecteur~udans la base B. D"où la définition et la propriété suivantes : a) DéfinitionsSoitAune matrice carrée d"ordren.

Définition 3On appellevaleur propre de Atout réeltel qu"il existeX2 Mn;1(R)(matrice colonne) ,X6= 0,

vérifiant : AX=X Une telle matriceX6= 0est alors appeléevecteur propre de A associé à la valeur propre. On appellesous-espace propre associé à la valeur proprel"ensemble : E (A) =fX2 Mn;1(R)jAX=Xgb) Lien avec les endomorphismes

Propriété 4

Soitf2 L(E)etAla matrice defdans une certaine baseB. sp(f) =sp(A)Ainsi, deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.

~uest vecteur propre defassocié àsi et seulement si sa matriceXdansBest vecteur propre deAassocié à3

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Mme Marcelin - Lycée Clemenceau RéductionExemple Soitfl"endomorphisme deM2(R)dont la matrice dans la base canonique estA=0 B

B@1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 11

C CA.

1. 0 est-elle valeur propre def?

2. Montrer que0

B B@1 1 1 11 C CAest un vecteur propre deAet en déduire un vecteur propre def. c) Méthode de calculs des éléments propres d"une matricePropriété 5

1.Calcul des valeurs propres :est valeur propre deAsi et seulement siAIn"est pas inversible.

2.Calcul des vecteurs propres :E(A) =Ker(AI) =fX2 Mn;1(R) ; (AI)X= 0gE

(A)est donc l"ensemble solution de l"équation(AI)X= 0, d"inconnueX2 Mn;1(R).Méthode

S"ils ne sont pas suggérés, pour déterminer les éléments propres d"une matriceA. On cherche les valeurs

depour lesquellesAIn"est pas inversible (grâce à la méthode du pivot sur les matrices).

On résout alors l"équationTX= 0oùTest la matrice triangulaire supérieure obtenue par le pivot.

Propriété 6 : Cas particulier des matrices triangulairesUne matrice triangulaire a pour valeurs propres les éléments de sa diagonale.

Preuve

SoitAune matrice triangulaire. Supposons par exempleA=0 B BB@a

10::: :::0

a20:::0 ::: ::: ::: :::0 :::an10 ::: :::an1 C

CCA(triangulaire inférieure) alors

AI=0 B BB@a

10::: :::0

a20:::0 ::: ::: ::: :::0 :::an10 ::: :::an1 C CCAest aussi triangulaire donc n"est pas inversible si et seulement si =a1ou=a2ou ....ou=an.

Ainsi,sp(A) =fa1;a2;:::ang

d) Polynôme annulateur et valeurs propres possiblesThéorème 7 SiPest un polynôme annulateur deAalors les seules valeurs propres possiblesdeAsont les racines deP.Exemple

SoitA=0

B

B@1 01 0

0 1 01

1 0 1 0

01 0 11

C CA. CalculerA2et en déduire un polynôme annulateur deA.

En déduiresp(A).4

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Mme Marcelin - Lycée Clemenceau Réduction3 Réduction a) Définitions i) Endomorphisme diagonalisable

Définition 4

On dit qu"un endomorphismefestdiagonalisables"il existe une baseBdeEdans laquelle la matrice defest diagonale c"est-à-dires"il existe une baseBdeEconstituée de vecteurs propres de f.ii) Matrice diagonalisable

Définition 5

Une matrice carréeA2 Mn(R)estdiagonalisablesi l"endomorphismefdeMn;1(R)dontAest la matrice dans la base canonique est diagonalisable , autrement dit : Aestdiagonalisablesi et seulement si il existePinversible etDdiagonale telles queA=PDP1. Les colonnes de la matricePforment alors une base deMn;1(R)constituée de vecteurs propres deA et les coefficients diagonaux de la matriceDsont les valeurs propres correspondantes.Preuve

Aest diagonalisable si et seulement si l"endomorphismefdeRndontAest la matrice dans la base canoniqueBcest diago-

nalisable. C"est-à-dire si et seulement si il existe une baseBdeRntelle queMatB(f) =Dest diagonale.

Or d"après la formule de changement de base :

Mat

Bc(f) =PBc;BMatB(f)PB;Bc,A=PDP1

oùP=PBc;Best la matrice donc les colonnes sont coordonnées des vecteurs d"une base de vecteurs propres defdans la

baseBcdonc c"est une base de vecteurs propres deA.

etDa pour coefficients diagonaux les valeurs propres defassociées à ces vecteurs donc les valeurs propres deA.

Méthode

Cette définition est utilisée en particulier pour prouver par l"absurde qu"une matrice non diagonale ayant

une seule valeur propre ne peut pas être diagonalisable :

Montrons par l"absurde que la matriceA=0

B

BBB@a2 0

a ...2 0a1 C

CCCAn"est pas diagonalisable, quelque soit la

valeur dearéel : b) Caractérisation des endomorphismes diagonalisablesPropriété 8 Soient1,2, ...,pdes valeurs propres distinctes def. SoientL1une famille libre deE1(f),L2une famille libre deE2(f),...,Lpune famille libre deEp(f). Alors la familleLconcaténation des famillesL1,L2, ...,Lpest libre.Théorème 9 SoitEde dimensionn. Tout endomorphisme deEa au plusnvaleurs propres distinctes.Preuve

Soitple nombre de valeurs propres distinctes def. Alors pour chacune de ces valeurs propres, il existe au moins un vecteur

propre associé que l"on fixe .5

ECE 2 - Mathématiques

Mme Marcelin - Lycée Clemenceau RéductionOn obtient doncpvecteurs propres associés à des valeurs distinctes donc qui forment une famille libre.

Ainsi,pn(une famille libre a moins de vecteurs que la dimension de l"espace). i) Cas particulier : sifan=dim(E)valeurs propres distinctesThéorème 10

Sif2 L(E)(ouA2 Mn(R)) an=dim(E)valeurs propres distinctes alorsf(resp. A) est diagonalisable.Alors, tous les sous-espaces propres def(respA) sont de dimension 1.Preuve

Sifanvaleurs propres distinctes alors pour chacune de ces valeurs propres il existe au moins un vecteur propre associé que

l"on fixe. On obtient donc une famille denvecteurs propres, libre donc une base deEconstituée de vecteurs propres def.

fest diagonalisable.

Méthode

Si une matriceA2 Mn(R)anvaleurs propres distinctes alors on conclut directement queAest diago- nalisable, sans calculer les sous-espaces propres deA! ii) Cas généralThéorème 11 Soitf2 L(E)(respectivementA2 Mn(R)). On notesp(f)(resp.sp(A))=f1;2;:::;pg. Alors : dim(E1) +dim(E2) +::::+dim(Ep)nDe plus, f(resp. A) est diagonalisable si et seulement sidim(E1) +dim(E2) +::::+dim(Ep) =nPreuve

Pour chaque valeur proprei, on choisit une baseBide vecteurs propres associés àic"est-à-dire une base deEi(f). On

a choisitcard(Bi) =dim(Ei(f))vecteurs.

Si on concatène ces bases en une familleF= (B1;B2;:::;Bp), alors on obtient une famille libre d"après la propriété 8.

Ainsi,Card(F)nc"est-à-diredim(E1) +dim(E2) +::::+dim(Ep)n.

La familleFest libre donc :

Fest une base deEsi et seulement siCard(F) =nsi et seulement sidim(E1) +dim(E2) +::::+dim(Ep) =n.

Méthode

Si une matriceA2 Mn(R)n"a pasnvaleurs propres distinctes alors on doit chercher les sous-espaces propres deApour déterminer si la somme de leur dimension vaut bienn.

Si on rassemble les bases de chacun des sous-espaces propres deA, on obtient une base de vecteurs propres

deA.

c) Cas particulier des matrices symétriquesConformément au programme, nous admettrons le théorème suivant :

Théorème 12 : Cas particulier des matrices symétriquesToute matrice symétrique est diagonalisable.

Remarque

Ce théorème sert uniquement à répondre à la question "justifier sans calculs queAest diagonalisable".

Attention : la réciproque est fausse. Beaucoup de matrices non symétriques sont diagonalisables.6

ECE 2 - Mathématiques

Mme Marcelin - Lycée Clemenceau RéductionRécapitulatif de la partie 3. du cours :

Comment justifier qu"un endomorphisme ou

une matrice est ou n"est pas diagonalisable?I. Cas pratique où on connait la matriceM2 Mn(R)(ou la fonction):

Si on n"a pas encore calculé la moindre valeur propre ou le moindre vecteur propre: on re- garde si la matrice ne serait pas symétrique : alors elle est diagonalisable.

Remarque :la réciproque est bien sûr fausse : une matrice non symétrique peut être diagonalisable.

Dans le cas où la matrice n"est pas symétrique : il va falloir calculer les valeurs propres pour pouvoir

conclure :

Si on n"a calculé que les valeurs propres:

-S"il n" y a qu"une seule valeur propre: on raisonne par l"absurde pour montrer que la matrice n"est pas diagonalisable (sauf si elle est diagonale) : cf méthode page 5. -S"il y an=dim(E)valeurs propres: alors elle est diagonalisable. Cas général : S"il y a un autre nombre de valeurs propres (que une ounvaleurs propres) : il faut trouver s"il y a suffisamment de vecteurs propres pour tout de même former une base deE:

sauf si on vous a déjà suggéré suffisamment de vecteurs propres, il faut donc trouver les sous-espaces

propres. :

Si on a trouvé les sous-espaces propres:

On cherche les dimensions des sous-espaces propres (la plupart du temps en trouvant une base de ces sous-espaces) : si la somme de leur dimension donnen=dim(E), alors la matrice (ou l"endomorphisme) est diagonalisable, sinon, elle ne l"est pas .

On peut alors prendre une base de chacun des sous-espaces propres pour former une base deEconstituée

de vecteurs propres de la matrice (ou de l"endomorphisme).!

II. Cas théorique où on ne connait pas la matrice (ou la fonction) :Comment répondre à une question du type "soitfquelconque diagonalisable, montrer que ...."? :

Dans ce cas là on ne peut bien sûr pas calculer les éléments propres donc les méthodes ci-dessus ne

sont pas applicables :

Dans le cadre théorique, il faut revenir à la caractérisation première, c"est-à-dire :

-Pour un endomorphisme, utiliser la caractérisation :fest diagonalisable si et seulement si il existe

une base deEconstituée de vecteurs propres def: vous introduisez donc une telle base(u1;u2;::::un)et

vous traduisez le fait que ce sont des vecteurs propres :f(u1) =1u1, ...,f(ui) =iui,...., et vous utilisez

ces hypothèses pour conclure.

-Pour une matrice :, utiliser la caractérisation :Mest diagonalisable si et seulement si elle est sem-

blable à une matrice diagonale et donc on introduitPinversible etDdiagonale telle queM=PDP1et on utilise cette égalité pour conclure.7quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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