[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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DiagonalisationLa diagonalisation estune opération fondamentale des matrices. Nous allons énoncerdes conditions

qui déterminent exactement quand une matrice est diagonalisable. Nous reprenons pas à pas les

notions du chapitre " Valeurs propres, vecteurs propres », mais du point de vue plus théorique des

applications linéaires.

Notations.

Dans ce chapitre,Eest unK-espace vectoriel.Kest un corps. Dans les exemples de ce chapitre,K seraRouC. Sauf mention contraire,Esera de dimension finie.

1. Valeurs propres, vecteurs propres

Commençons par définir les valeurs et les vecteurs propres d"une application linéaire. Il est

important d"avoir d"abord compris le chapitre " Valeurs propres, vecteurs propres » des matrices.

1.1. Définitions

Rappel.f

:E!Eest appelé unendomorphismesifest une application linéaire deEdans lui-même. Autrement dit, pour toutv2E,f(v)2Eet, en plus, pour tousu,v2Eet tout2K: f(u+v) =f(u)+f(v)etf(v) =f(v)Définition 1.

Soitf:E!Eun endomorphisme.

2K est ditevaleur proprede l"endomorphismefs"il existe un vecteur non nulv2Etel quef(v) =v.• Le vecteurvest alors appelévecteur propredef, associé à la valeur propre. Lespectredefest l"ensemble des valeurs propres def. Notation :sp(f)(ouspK(f)si on

veut préciser le corps de base).Sivest un vecteur propre alors, pour tout2K,vest aussi un vecteur propre.

Ces définitions sont bien sûr compatibles avec celles pour les matrices. SoitA2Mn(K). Soit f:Kn!Knl"application linéaire définie parf(v) =Av(oùvest considéré comme un vecteur colonne). Alors les valeurs propres (et les vecteurs propres) defsont celles deA. DIAGONALISATION1. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES2

1.2. ExemplesLa principale source d"exemples provient des matrices et nous renvoyons encore une fois au

chapitre " Valeurs propres, vecteurs propres ».

Exemple 1.

Soitf:R3!R3définie par

f(x,y,z) =2x2y+2z,3xy+3z,x+y+z. 1. Écriture en terme de matrice. L "applicationfs"écrit aussif(X) =AXavec : X=0 @x y z1 A etA=0 @22 2 31 3

1 1 11

A 2.

Le vecteur v1= (1,1,0)est vecteur propre.

En effet,f(1,1,0) = (4,4,0), autrement ditf(v1) =4v1. Ainsiv1est un vecteur propre associé à la valeur propre1=4.

Si on préfère faire les calculs avec les matrices, on considèrev1comme un vecteur colonne et

on calculeAv1=4v1.

3.2=2 est valeur propre.

Pour le prouver, il s"agit de trouver un vecteur non nul dansKer(f2idR3)pour2=2. Pour cela, on calculeA2I3:

A2I3=0

@42 2 33 3
1 111 A On trouve quev2= (0,1,1)est dans le noyau deA2I3, c"est-à-dire(A2I3)v2est le vecteur nul. En d"autres termes,v22Ker(f2idR3), c"est-à-diref(v2)2v2=0, doncf(v2) =2v2. Bilan :v2est un vecteur propre associé à la valeur propre2=2.

4.3=0 est valeur propre.

On peut faire juste comme au-dessus et trouver quev3= (1,0,1)vérifief(v3) = (0,0,0). Ainsi f(v3) =0v3. Bilan :v3est vecteur propre associé à la valeur propre3=0. 5. On a trouvé3valeurs propres, et il ne peut y en avoir plus car la matriceAest de taille33.

Conclusion : sp(f) =f4,2,0g.

Exemple 2.

Soitf:Rn!Rnl"application linéaire définie par(x1,...,xn1,xn)7!(x1,...,xn1,0). Géométri- quement,fest une projection surRn1f0g Rn. Notonse1= (1,0,0,...),e2= (0,1,0,...),..., e n= (0,...,0,1)lesnvecteurs de la base canonique deRn. Alors f(e1) =e1f(e2) =e2...f(en1) =en1etf(en) =0.

Ainsie1,...,en1sont des vecteurs propres associés à la valeur propre1. Etenest un vecteur propre

associé à la valeur propre 0. Conclusion : sp(f) =f0,1g.

Voici d"autres exemples plus théoriques.

Exemple 3.

DIAGONALISATION1. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES3

1.SoitE=Rn[X]l"espace des polynômesde degré6n. Soitd:E!E,P(X)7!P0(X)l"application

de dérivation. Pour des raisons de degré, P

0=P=)=0 etPconstant

De plus, tout polynôme constant non nul est un vecteur propre ded, de valeur propre associée

0; donc sp(d) =f0g.

2. (Cet exemple est en dimension infinie.) SoitE=C1(R)l"espace des fonctions infiniment dérivables deRdansR. Soitd:E!E,7!0l"application de dérivation.

Pour tout2R, définissons la fonction

e :R!R,x7!exp(x).

On ae0

=e, donc chaque fonctioneest un vecteur propre dedde valeur propre associée . Ici, sp(d) =R.

1.3. Sous-espaces propres

Cherchons une autre écriture de la relation de colinéarité définissant les vecteurs propres :

f(v) =v()f(v)v=0 ()(fidE)(v) =0 ()v2Ker(fidE)

D"où la définition :Définition 2.

Soitfun endomorphisme deE. Soit2K. Lesous-espace propreassocié àest le sous-espace vectorielEdéfini par :E =Ker(fidE)

On notera aussi ce sous-espaceE(f)si on souhaite signaler sa dépendance vis-à-vis de l"endomor-

phismef.

Autrement dit :E

=v2Ejf(v) =v

C"est le sous-espace vectoriel deEconstitué des vecteurs propres defassociés à la valeur propre

, auquel on ajoute le vecteur nul. Être valeur propre, c"est donc exactement avoir un sous-espace propre non trivial : valeur propre()E6=f0g

Remarque.

Plaçons-nous dans le cas oùEest de dimension finie. Siest une valeur propre def, alors le sous-espace propre associéEest de dimension>1. Le sous-espace propreEest stable parf, c"est-à-diref(E)E. En effet : v2Ker(fidE) =)f(f(v)) =f(v) =f(v) =)f(v)2Ker(fidE)Théorème 1. Soitfun endomorphisme deE. Soient1,...,rdes valeurs propresdistinctesdef. Alors les sous-espaces propres associés E1,...,Ersont en somme directe. DIAGONALISATION1. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES4

On retrouve un résultat déjà prouvé dans le cas des matrices :Corollaire 1.Soient1,...,rdes valeurs propres distinctes defet, pour16i6r, soitviun vecteur propre

associé ài. Alors les visont linéairement indépendants.Cela implique que le nombre de valeurs propres est6dimE.

Avant de lire les exemples et la preuve de ce théorème, lire si besoin la section suivante sur les

sommes directes.

Exemple 4.

Reprenons l"exemple

1 avec f:R3!R3définie par f(x,y,z) =2x2y+2z,3xy+3z,x+y+z. Nous avions trouvé les valeurs propres et les vecteurs propres associés suivants :

1=4v1= (1,1,0)2=2v2= (0,1,1)3=0v3= (1,0,1)

Par le corollaire

1 ,(v1,v2,v3)forme une famille libre deR3(ce que l"on vérifie par un calcul direct). Mais trois vecteurs indépendants deR3forment automatiquement une base. Conclusion : (v1,v2,v3)est une base de vecteurs propres deR3.

Ce que l"on peut aussi écrire :

R

3=Rv1Rv2Rv3

ou encore R

3=E4E2E0.

Exemple 5.

Reprenons l"exemple

2 , avecf:Rn!Rndéfinie par(x1,...,xn1,xn)7!(x1,...,xn1,0). Nous avions trouvé deux valeurs propres 0 et 1. Pour la valeur propre0, nous avions un seul vecteur propreen= (0,...,0,1), ainsiE0=Ren. Pour la valeur propre1, nous avions trouvén1vecteurs propres linéairement indépendants e1= (1,0,0,...),e2= (0,1,0,...),...,en1= (0,...,0,1,0). Plus précisément, E

1=Ker(fidRn) =Vect(e1,...,en1) =(x1,x2,...,xn1,0)2Rnjx1,...,xn12R=Rn1f0g.

Nous avons bien

R n=E0E1=RenRn1f0g.

Preuve du théorème

1 Pour chaque16i6r, soitvi2Ei. On supposev1++vr=0, et nous allons montrer par récurrence qu"alorsv1=0,v2=0,...,vr=0. Sir=1, c"est vérifié. Fixonsr>2et supposons notre assertion vraie pour les familles der1 vecteurs. Soit une famille qui vérifie v

1+v2++vr1+vr=0. (1)

Par composition par l"application linéairef,

f(v1)+f(v2)++f(vr1)+f(vr) =0.

Mais commevi2Eialorsf(vi) =iviet donc :

1v1+2v2++r1vr1+rvr=0. (2)

À partir des équations (

1 ) et ( 2 ), on calcule l"expression(2)r(1): (1r)v1+(2r)v2++(r1r)vr1=0

DIAGONALISATION1. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES5(le vecteurvrn"apparaît plus dans cette expression). On applique l"hypothèse de récurrence à la

famille den1vecteurs(1r)v1, ...,(r1r)vr1, ce qui implique que tous ces vecteurs sont nuls : (1r)v1=0 ...(r1r)vr1=0 Comme les valeurs propres sont distinctes, alorsir6=0 (pouri=1,...,r1). Ainsi v

1=0 ...vr1=0.

L"équation (

1 ) implique en plus v r=0. Cela termine la récurrence.1.4. Rappels sur les sommes directes

Il faut bien comprendre le vocabulaire suivant. On commence par le cas de deux sous-espaces.Définition 3.

SoientE1,E2deux sous-espaces vectoriels d"un espace vectorielE.

LasommedeE1et deE2est

E

1+E2=v

1+v2jv12E1etv22E2.

On dit queE1etE2sont ensomme directesiE1\E2=f0g.

On dit queE1etE2sont ensomme directe dansEsiE1+E2=EetE1\E2=f0g. On note alorsE=E1E2.Cela se généralise à plusieurs sous-espaces.

Définition 4.

SoientE1,E2,...,Erdes sous-espaces vectoriels d"un espace vectorielE.

LasommedeE1,E2,...,Erest

E

1+E2++Er=v

1+v2++vrjv12E1,v22E2,...,vr2Er.

On dit queE1,E2,...,Ersont ensomme directesi

On dit queE1,E2,...,Ersont ensomme directe dansEs"ils sont en somme directe et que

E1+E2++Er=E. On note alorsE=E1E2Er.Exemple 6.

Si(v1,...,vn)est une famille libre deE, alors les droitesKv1,...,Kvnsont en somme directe. Si(v1,...,vn)est une base deE, alors les droitesKv1,...,Kvnsont en somme directe dansE:

E=Kv1Kvn.

La notion de somme directe généralise celle de base :Proposition 1. Les sous-espaces vectorielsE1,...,Ersont en somme directe si et seulement si, pour chaquev2 E

1++Er, il existe vi2Eiunique (16i6r) tel que

v=v1+v2++vr.

DIAGONALISATION1. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES6En particulier,E=E1Ersi et seulement si, pour toutv2E, il existe un uniquevi2Eitel

que v=v1+v2++vr. Voici une autre application : siE=E1Eret siBiest une base deEi(pour16i6r) alors

B=B1[...[Brest une base deE.

Il est facile de calculer la dimension d"une somme directe :Proposition 2.

Les sous-espaces vectoriels E

1,...,Ersont en somme directe si et seulement si

dim(E1++Er) =dimE1++dimEr. En particulier, siE=E1++Er, alors les sous-espaces vectorielsE1,...,Ersont en somme directe dansEsi et seulement si dimE=dimE1++dimEr.Mini-exercices. 1. Soitf:E!Eun endomorphisme. Quel est le lien entre l"assertion "finjective » et les valeurs propres def? SiEest de dimension finie, que peut-on dire de plus? 2. Soitf:E!Eun endomorphisme. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses.

Justifier.

(a)

Si 1et2sont valeurs propres, alors1+2aussi.

(b)

Si v1etv2sont vecteurs propres, alorsv1+v2aussi.

(c)

Si est valeur propre, alorsaussi (pour2K).

(d)

Si vest vecteur propre, alorsvaussi (pour2K).

3. Soientf,g:E!Edeux endomorphismes. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses. Justifier. (a) Si est valeur propre pourfet pourg, alorsest valeur propre pourf+g. (b) Si vest vecteur propre pourfet pourg, alorsvest vecteur propre pourf+g. (c) Si est valeur propre pourf, alorsest valeur propre pourf(pour2K). (d) Si vest vecteur propre pourf, alorsvest vecteur propre pourf(pour2K). 4. Montrer (sans utiliser le cours) que sietsont deux valeurs propres distinctes d"un endomorphismef:E!EalorsE\E=f0g. 5. Montrer que sif:E!Eest un endomorphisme vérifiantf2=f(c"est-à-dire, pour tout x2E,f(f(x)) =f(x)) alorsE0=KerfetE1=Imf.

DIAGONALISATION2. POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE7

2. Polynôme caractéristiqueLe polynôme caractéristique permet de trouver facilement les valeurs propres. Encore une fois, le

chapitre " Valeurs propres, vecteurs propres » sur les matrices fournit de nombreux exemples.

2.1. Polynôme caractéristiqueDéfinition 5.

Soitf:E!Eun endomorphisme d"unK-espace vectorielEde dimension finien. Soit

A2Mn(K)la matrice defdans une baseB.

Lepolynôme caractéristiquedefest égal au polynôme caractéristique de la matriceA: f(X) =A(X) =det(AXIn).

Le polynôme caractéristique est indépendant de la matriceA(et du choix de la baseB). En effet,

siBest la matrice du même endomorphismefmais dans une autre baseB0, alors on sait qu"il existeP2Mn(K)inversible telle queB=P1AP. On écrit :

BXIn=P1(AXIn)P.

Alors,

B(X) =det(BXIn) =1det(P)det(AXIn)det(P) =det(AXIn) =A(X).

2.2. Caractérisation des valeurs propresProposition 3.

valeur propre de f()f() =0 Voyons une autre formulation. Soitf:E!E. SoitA2Mn(K)sa matrice dans une baseB. Soit

2K. Alors :

valeur propre def()det(AIn) =0

Démonstration.

est une valeur propre def() 9v2Enf0g,f(v) =v ()Ker(fidE)6=f0g ()fidEn"est pas injective ()fidEn"est pas bijective ()AInn"est pas inversible ()det(AIn) =0 ()f() =0 Noter que l"équivalence entre "fidEnon injective » et "fidEnon bijective » repose sur le fait que : (a)fidEest un endomorphisme (il va deEdans lui-même) et (b)Eest de dimension finie.

DIAGONALISATION2. POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE8

Exemple 7.

SiDest la matrice diagonale

D=0 B BB@ 100

02......

.........0 00n1 C CCAalorsD(X) = (1X)(nX)et donc lesisont les racines deD(X)et aussi les valeurs propres deD.

Exemple 8.

SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie. Soitf:E!Eunesymétrie, c"est-à-dire un endomorphisme qui vérifief2=f. Montrons que le polynôme caractéristique est de la forme f(X) =Xa(X+1)baveca,b>0. Pour cela, cherchons quelle peut être une valeur propre def. Soit2Kune valeur propre, et soit v2Enf0gun vecteur propre associé. Alors : f(v) =v=)ff(v)=f(v) =) f(v) =f(v)carf2=f =) v=2vcarvvecteur propre =) =2carvnon nul =)(+1) =0 =)=0 ou=1 Conséquence : les seules valeurs propres possibles sont0ou1. Par la proposition3 , les seules racines possibles def(X)sont0et1. Doncf(X) =Xa(X+1)boù2C,a,b>0. Nous verrons juste après que le coefficient dominant est1. Ainsif(X) =Xa(X+1)b.

2.3. Coefficients du polynôme caractéristiqueProposition 4.

SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn. Soitf:E!Eun endomorphisme. SoitAla matrice de f dans une baseB. Le polynôme caractéristique de f est de degré n et vérifie :

f(X) = (1)nXn+(1)n1(trA)Xn1++detA.Sifadmetnvaleurs propres, qui sont donc toutes les racines def(X), alors de l"égalité

f(X) = (1)nnY i=1(Xi) on en déduit :La somme des valeurs propres vaut trA.Le produit des valeurs propres vaut detA.

DIAGONALISATION2. POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE9

Preuve de la proposition

4 .SiA= (aij)16i,j6nest la matrice def, on a f(X) =det(AXIn) = a

11X a12a1n

a

21a22Xa2n............

a n1an2annX

Par la définition du déterminant :

f(X) =X

On met à part la permutation identité :

f(X) = (a11X)(annX)+X

2Sn,6=id()b(1)1b(n)n.

Or, si6=id, il y a au plusn2 entiersktels que(k) =k, et donc le polynômeX

2Sn,6=id()b(1)1b(n)n

est de degré au plusn2.

Conclusion :

Le polynômef(X)est de degrén.

Les termes de degrénetn1 proviennent du produit (a11X)(annX) = (1)nXn+(1)n1(trA)Xn1+ Le terme constant, quant à lui, est donné parf(0) =detA.2.4. Exemples et applications Voyons quelques applications du polynôme caractéristique : •SiEest unK-espace vectoriel de dimensionn, alors tout endomorphismef:E!Eadmet au

plusnvaleurs propres. En effet, le polynôme caractéristique defest un polynôme de degrén,

donc admet au plusnracines dansK. SiEest unC-espace vectoriel, alors tout endomorphismef:E!Eadmet au moins une valeur propre. En effet, le polynôme caractéristique defest un polynôme complexe non constant donc admet (au moins) une racine2C. Alorsest une valeur propre def.

Exemple 9.

SoitA2Mn(R)une matrice. AlorsApossède un sous-espace invariant de dimension 1 ou 2.

Démonstration.

Considérons la matriceA2Mn(R)comme une matrice deMn(C). AlorsApossède une valeur propre=a+ib2C(a,bréels), et un vecteur propre associéZ=X+iY2Cnnf0g oùX,Y2Rn.

Alors :

AZ=Z=)A(X+iY) = (a+ib)(X+iY)

=)AX+iAY= (aXbY)+i(bX+aY) =)AX=aXbY

AY=bX+aY

DIAGONALISATION3. DIAGONALISATION10En particulier,AXetAYappartiennent àVect(X,Y), donc le sous-espace (réel)Vect(X,Y)est stable

parA. OrXouYn"est pas nul, donc Vect(X,Y)est de dimension 1 ou 2.Exemple 10. Soitfun endomorphisme deE. SiEest de dimensionnet si le polynôme caractéristiquef(X)2 K [X]admetnracines distinctes dansK, alors il existe une base deEformée de vecteurs propres def.

Démonstration.

Soient1,...,n2Klesnracines distinctes def(X). Ce sont aussinvaleurs

propres def. Soientv1,...,vndes vecteurs propres associés. Parle corollaire1 ,la famille(v1,...,vn)

est une famille libre deE. C"est donc une famille libre ànéléments dans un espace vectoriel de

dimensionn: cela implique que(v1,...,vn)est une base deE.Mini-exercices. 1. Calculer le polynôme caractéristique d"une matrice triangulaire. 2. Trouveruneapplicationlinéairef:R2!R2quin"admetaucunevaleurpropreréelle. Montrer que les valeurs propres complexes d"un tel endomorphismefseront toujours conjuguées. 3.

Calculer le polynôme caractéristique deA=

€1+1 01131 2Š

en fonction de2R. Montrer quequotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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