Le déterminant de Vandermonde
Le déterminant de Vandermonde. Soient n un entier supérieur ou égal `a 2 et a1 D'apr`es le principe de récurrence on en déduit que P(n) est vraie pour ...
Calcul de deux déterminants classiques: Vandermonde et Cauchy
Démonstration. Montrons pour n ⩾ 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ⋆ Initialisation: On a pour n
Déterminant de Vandermonde et corps cyclotomiques
Démonstration. Montrons pour n ⩾ 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ⋆ Initialisation: On a pour n
On a Recursion Formula Related to Confluent Vandermonde
determinant identity due to Schendel. 1. INTRODUCTION. Given an r-tuple. = (λ1
MATHÉMATIQUES 2
n ≥ on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes 1 2.
Deuxième épreuve CCINP 2022 – MP
déterminant de Vandermonde de n nombres complexes x1x2 ...
The determinants of matrices with recursive entries
Keywords: Determinant; LU-factorization; Recurrence relation; Vandermonde determinant. 1. Introduction. Bacher in [1] considers the determinants of matrices
ORTHOGONAL POLYNOMIALS The link between random matrix
The monic orthogonal polynomials πn(x) satisfy a sim- ple recursive system of linear equations called the three-term recurrence. Van der Monde Determinant ...
POLYNOMIAL RECURRENCES AND CYCLIC RESULTANTS 1
cyclic resultants linear recurrence
Le déterminant de Vandermonde
Vandermonde l'élément de K défini par : 1.1 Relation de récurrence. On rappelle qu'on ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant `a une ligne ...
Déterminant de Vandermonde inégalité de Hadamard et
Démonstration. Sans perte de généralité on suppose les (xi) distincts. On procède par récurrence sur n; c'est vrai pour n = 1
Calcul de deux déterminants classiques: Vandermonde et Cauchy
Montrons pour n ? 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ? Initialisation: On a pour n = 2: V2(x1
Déterminant de Vandermonde et corps cyclotomiques
Démonstration. Montrons pour n ? 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ? Initialisation: On a pour n = 2: V2(x1
Generalized Vandermonde Determinants and Characterization of
20 août 2016 Abstract. We present a different proof of the characterization of non–degenerate recurrence sequences which are also divisibility sequences ...
Calculs de déterminants
Exercice 7 Déterminant de Vandermonde. Montrer que Par le principe de récurrence la formule est vraie pour tout entier n ? 2.
Fiche n 2 : déterminants
Exercice 6 – un calcul de déterminant pas récurrence. Alexandre-Théophile Vandermonde né à Paris le 28 février 1735 et mort à Paris.
MATHÉMATIQUES 2
n ? on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes 1 2 L'objet de cet exercice est de démontrer par récurrence que l'on a :.
ON VANDERMONDE VARIETIES 1. Introduction The results in the
A linear recurrence relation with constant coefficients of order k is an equation of the form where W(x1...
CCP Maths 2 MP 2001 — Corrigé
2 Raisonner par récurrence sur la taille de la matrice compagnon 4.d Le déterminant de Vandermonde est le déterminant d'une base de vecteurs.
Le determinant de Vandermonde
Soientnun entier superieur ou egal a 2 eta1;:::;annelements d'un corpsK. On appelle determinant deVandermondel'element deKdeni par :
V(a1;:::;an) =
1a1a21::: an11
1a2a22::: an12............
1ana2n::: an1n
1 Une premiere demonstration
1.1 Relation de recurrence
On rappelle qu'on ne change pas la valeur d'un determinant en ajoutant a une ligne (resp. une colonne) une
combinaison lineaire des autres lignes (resp. colonnes). NotonsL1;:::;Lnles lignes du determinant ci-dessus.
Pour toutk2J2;nK, eectuons l'operation suivante :Lk LkL1. On a alors :V(a1;:::;an) =
1a1a21::: an11
0a2a1a22a21::: an12an11............
0ana1a2na21::: an1nan11
Eectuons un developpement suivant la premiere colonne, puis mettons en facteuraka1sur chaque ligne (k2J2;nK) :V(a1;:::;an) =Y
26k6n(aka1)
1a2+a1a22+a1a2+a21::: an22+a1an32++an21
1a3+a1a23+a1a3+a21::: an23+a1an33++an21............
1an+a1a2n+a1an+a21::: an2n+a1an3n++an21
En eectuantsuccessivementles operationsCk Ckk1P
i=1ai1Cipourk2J2;n1K, on obtient :V(a1;:::;an) =Y
26k6n(aka1)
1a2a22::: an22
1a3a23::: an23............
1ana2n::: an2n
c'est-a-direV(a1;:::;an) =Y
26k6n(aka1)V(a2;:::;an):
1Le determinant de Vandermonde
1.2 Demonstration par recurrence
Pournentier superieur ou egal a 2, on noteP(n) la propriete :V(a1;:::;an) =Q16i Pourn= 2 : soienta1;a22K.V(a1;a2) =
1a1 1a2 = (a2a1) doncP(2) est vraie. Soitn2N,n>2. SupposonsP(n) vraie. Soienta1:::an+12K. V(a1;:::;an+1) =Y
26k6n+1(aka1)V(a2;:::;an+1) (relation de recurrence)
Y 26k6n+1(aka1)Y
26i Y 16i doncP(n+ 1) est vraie. D'apres le principe de recurrence, on en deduit queP(n) est vraie pour toutn>2. 2 Une deuxieme demonstration
2.1 Relation de recurrence
Soientn2N,n>2,a1;:::;an2K. On a :
V(a1;:::;an1;X) =
1a1a21::: an11............
1an1a2n1::: an1n1
1X X2::: Xn1
V(a1;:::;an1;X) est un polyn^ome de degre inferieur ou egal an1 (il sut pour cela de developper le determinant suivant la derniere ligne). Soitk2J1;n1K.V(a1;:::;an1;ak) = 0 car c'est un determinant ayant deux lignes egales.a1;:::;an1sont donc des racines du polyn^omeV(a1;:::;an1;X). compte-tenu du degre de ce polyn^ome, il existe donc2Ktel queV(a1;:::;an1;X) =n1Q k=1(Xak). Le coecient de X n1est. Par ailleurs, en developpantV(a1;:::;an1;X) suivant la derniere ligne, le coecient deXn1est V(a1;:::;an1) donc=V(a1;:::;an1) et on a :
V(a1;:::;an1;an) =V(a1;:::;an1)n1Y
k=1(anak): 2.2 Demonstration par recurrence
Pournentier superieur ou egal a 2, on noteP(n) la propriete :V(a1;:::;an) =Q 16i Pourn= 2 : soienta1;a22K.V(a1;a2) =
1a1 1a2 = (a2a1) doncP(2) est vraie. Soitn2N,n>2. SupposonsP(n) vraie. Soienta1:::an+12K. V(a1;:::;an+1) =Y
16k6n(an+1ak)V(a1;:::;an) (relation de recurrence)
Y 16k6n(an+1ak)Y
16i Y 16i doncP(n+ 1) est vraie. D'apres le principe de recurrence, on en deduit queP(n) est vraie pour toutn>2.S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr2/2
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Pourn= 2 : soienta1;a22K.V(a1;a2) =
1a1 1a2 = (a2a1) doncP(2) est vraie. Soitn2N,n>2. SupposonsP(n) vraie. Soienta1:::an+12K.V(a1;:::;an+1) =Y
26k6n+1(aka1)V(a2;:::;an+1) (relation de recurrence)
Y26k6n+1(aka1)Y
26i Y 16i doncP(n+ 1) est vraie. D'apres le principe de recurrence, on en deduit queP(n) est vraie pour toutn>2. 2 Une deuxieme demonstration
2.1 Relation de recurrence
Soientn2N,n>2,a1;:::;an2K. On a :
V(a1;:::;an1;X) =
1a1a21::: an11............
1an1a2n1::: an1n1
1X X2::: Xn1
V(a1;:::;an1;X) est un polyn^ome de degre inferieur ou egal an1 (il sut pour cela de developper le determinant suivant la derniere ligne). Soitk2J1;n1K.V(a1;:::;an1;ak) = 0 car c'est un determinant ayant deux lignes egales.a1;:::;an1sont donc des racines du polyn^omeV(a1;:::;an1;X). compte-tenu du degre de ce polyn^ome, il existe donc2Ktel queV(a1;:::;an1;X) =n1Q k=1(Xak). Le coecient de X n1est. Par ailleurs, en developpantV(a1;:::;an1;X) suivant la derniere ligne, le coecient deXn1est V(a1;:::;an1) donc=V(a1;:::;an1) et on a :
V(a1;:::;an1;an) =V(a1;:::;an1)n1Y
k=1(anak): 2.2 Demonstration par recurrence
Pournentier superieur ou egal a 2, on noteP(n) la propriete :V(a1;:::;an) =Q 16i Pourn= 2 : soienta1;a22K.V(a1;a2) =
1a1 1a2 = (a2a1) doncP(2) est vraie. Soitn2N,n>2. SupposonsP(n) vraie. Soienta1:::an+12K. V(a1;:::;an+1) =Y
16k6n(an+1ak)V(a1;:::;an) (relation de recurrence)
Y 16k6n(an+1ak)Y
16i Y 16i doncP(n+ 1) est vraie. D'apres le principe de recurrence, on en deduit queP(n) est vraie pour toutn>2.S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr2/2
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16i doncP(n+ 1) est vraie. D'apres le principe de recurrence, on en deduit queP(n) est vraie pour toutn>2. 2 Une deuxieme demonstration
2.1 Relation de recurrence
Soientn2N,n>2,a1;:::;an2K. On a :
V(a1;:::;an1;X) =
1a1a21::: an11............
1an1a2n1::: an1n1
1X X2::: Xn1
V(a1;:::;an1;X) est un polyn^ome de degre inferieur ou egal an1 (il sut pour cela de developper le determinant suivant la derniere ligne). Soitk2J1;n1K.V(a1;:::;an1;ak) = 0 car c'est un determinant ayant deux lignes egales.a1;:::;an1sont donc des racines du polyn^omeV(a1;:::;an1;X). compte-tenu du degre de ce polyn^ome, il existe donc2Ktel queV(a1;:::;an1;X) =n1Q k=1(Xak). Le coecient de X n1est. Par ailleurs, en developpantV(a1;:::;an1;X) suivant la derniere ligne, le coecient deXn1est V(a1;:::;an1) donc=V(a1;:::;an1) et on a :
V(a1;:::;an1;an) =V(a1;:::;an1)n1Y
k=1(anak): 2.2 Demonstration par recurrence
Pournentier superieur ou egal a 2, on noteP(n) la propriete :V(a1;:::;an) =Q 16i Pourn= 2 : soienta1;a22K.V(a1;a2) =
1a1 1a2 = (a2a1) doncP(2) est vraie. Soitn2N,n>2. SupposonsP(n) vraie. Soienta1:::an+12K. V(a1;:::;an+1) =Y
16k6n(an+1ak)V(a1;:::;an) (relation de recurrence)
Y 16k6n(an+1ak)Y
16i Y 16i doncP(n+ 1) est vraie. D'apres le principe de recurrence, on en deduit queP(n) est vraie pour toutn>2.S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr2/2
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2 Une deuxieme demonstration
2.1 Relation de recurrence
Soientn2N,n>2,a1;:::;an2K. On a :
V(a1;:::;an1;X) =
1a1a21::: an11............
1an1a2n1::: an1n1
1X X2::: Xn1
V(a1;:::;an1;X) est un polyn^ome de degre inferieur ou egal an1 (il sut pour cela de developper le determinant suivant la derniere ligne). Soitk2J1;n1K.V(a1;:::;an1;ak) = 0 car c'est un determinant ayant deux lignes egales.a1;:::;an1sont donc des racines du polyn^omeV(a1;:::;an1;X). compte-tenu du degre de ce polyn^ome, il existe donc2Ktel queV(a1;:::;an1;X) =n1Q k=1(Xak). Le coecient de X n1est. Par ailleurs, en developpantV(a1;:::;an1;X) suivant la derniere ligne, le coecient deXn1estV(a1;:::;an1) donc=V(a1;:::;an1) et on a :
V(a1;:::;an1;an) =V(a1;:::;an1)n1Y
k=1(anak):2.2 Demonstration par recurrence
Pournentier superieur ou egal a 2, on noteP(n) la propriete :V(a1;:::;an) =Q16i Pourn= 2 : soienta1;a22K.V(a1;a2) =
1a1 1a2 = (a2a1) doncP(2) est vraie. Soitn2N,n>2. SupposonsP(n) vraie. Soienta1:::an+12K. V(a1;:::;an+1) =Y
16k6n(an+1ak)V(a1;:::;an) (relation de recurrence)
Y 16k6n(an+1ak)Y
16i Y 16i doncP(n+ 1) est vraie. D'apres le principe de recurrence, on en deduit queP(n) est vraie pour toutn>2.S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr2/2
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Pourn= 2 : soienta1;a22K.V(a1;a2) =
1a1 1a2 = (a2a1) doncP(2) est vraie. Soitn2N,n>2. SupposonsP(n) vraie. Soienta1:::an+12K.V(a1;:::;an+1) =Y
16k6n(an+1ak)V(a1;:::;an) (relation de recurrence)
Y16k6n(an+1ak)Y
16i Y 16i doncP(n+ 1) est vraie. D'apres le principe de recurrence, on en deduit queP(n) est vraie pour toutn>2.S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr2/2
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