Le déterminant de Vandermonde
Le déterminant de Vandermonde. Soient n un entier supérieur ou égal `a 2 et a1 D'apr`es le principe de récurrence on en déduit que P(n) est vraie pour ...
Calcul de deux déterminants classiques: Vandermonde et Cauchy
Démonstration. Montrons pour n ⩾ 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ⋆ Initialisation: On a pour n
Annexe Chapitre 3 : Compléments dalgèbre Calcul du déterminant
Calcul du déterminant de Vandermonde. Propriété 1 (Déterminant de Vandermonde) On procède par récurrence sur n. Initialisation : Pour n = 2 on a. V (x1
On a Recursion Formula Related to Confluent Vandermonde
determinant identity due to Schendel. 1. INTRODUCTION. Given an r-tuple. = (λ1
MATHÉMATIQUES 2
n ≥ on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes 1 2.
Deuxième épreuve CCINP 2022 – MP
déterminant de Vandermonde de n nombres complexes x1x2 ...
The determinants of matrices with recursive entries
Keywords: Determinant; LU-factorization; Recurrence relation; Vandermonde determinant. 1. Introduction. Bacher in [1] considers the determinants of matrices
ORTHOGONAL POLYNOMIALS The link between random matrix
The monic orthogonal polynomials πn(x) satisfy a sim- ple recursive system of linear equations called the three-term recurrence. Van der Monde Determinant ...
POLYNOMIAL RECURRENCES AND CYCLIC RESULTANTS 1
cyclic resultants linear recurrence
Le déterminant de Vandermonde
Vandermonde l'élément de K défini par : 1.1 Relation de récurrence. On rappelle qu'on ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant `a une ligne ...
Déterminant de Vandermonde inégalité de Hadamard et
Démonstration. Sans perte de généralité on suppose les (xi) distincts. On procède par récurrence sur n; c'est vrai pour n = 1
Calcul de deux déterminants classiques: Vandermonde et Cauchy
Montrons pour n ? 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ? Initialisation: On a pour n = 2: V2(x1
Déterminant de Vandermonde et corps cyclotomiques
Démonstration. Montrons pour n ? 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ? Initialisation: On a pour n = 2: V2(x1
Generalized Vandermonde Determinants and Characterization of
20 août 2016 Abstract. We present a different proof of the characterization of non–degenerate recurrence sequences which are also divisibility sequences ...
Calculs de déterminants
Exercice 7 Déterminant de Vandermonde. Montrer que Par le principe de récurrence la formule est vraie pour tout entier n ? 2.
Fiche n 2 : déterminants
Exercice 6 – un calcul de déterminant pas récurrence. Alexandre-Théophile Vandermonde né à Paris le 28 février 1735 et mort à Paris.
MATHÉMATIQUES 2
n ? on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes 1 2 L'objet de cet exercice est de démontrer par récurrence que l'on a :.
ON VANDERMONDE VARIETIES 1. Introduction The results in the
A linear recurrence relation with constant coefficients of order k is an equation of the form where W(x1...
CCP Maths 2 MP 2001 — Corrigé
2 Raisonner par récurrence sur la taille de la matrice compagnon 4.d Le déterminant de Vandermonde est le déterminant d'une base de vecteurs.
Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Determinant de Vandermonde et corps
cyclotomiquesLecons 102,125,152
Dans tout ce qui suit,ndesigne un entier naturel superieur ou egal a 2.Theoreme( Calculd ud eterminantd eV andemonde)
Soientx1;:::;xn2C. On a alors:
V n(x1;:::;xn) = 1:::1 x1::: xn......
x n11::: xn1n =Y16i Demonstration
.Montrons pourn>2la formule du determinant de Vandermonde par recurrence surn. ?Initialisation: On a, pourn= 2: V 2(x1;x2) =1 1
x 1x2 =x2x1 ?Heredite: Soitn>2xe. Notre hypothese de recurrence est: V n(x1;:::;xn) =Y 16i Montrons la formule au rangn+ 1. Soit(x;xn+1)2C2.
V n+1(x1;:::;xn;x) = 1:::1 1
x 1::: xnx.........
x n1::: xnnxn est un polyn^ome de degrenenx. Il existe donc(a0;:::;an)2Cntel que: V n+1(x1;:::;xn;x) =nX j=0a jxj Le polyn^omeVn+1(x1;:::;xn;X)anracines, qui sontx1;:::;xn. En eet, pour tout j2[[1;n]], on aVn+1(x1;:::;xn;xj) = 0puisqu'il y a deux colonnes identiques. Donc on a:Maxime BOUCHEREAU 1 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
V n+1(x1;:::;xn;x) =ann Y i=1(xxi) ainsi que:an= 1:::1 x 1::: xn......
x n11::: xn1n =Vn(x1;:::;xn) En eet, en developpant le determinantVn+1(x1;:::;xn;x)par rapport a la derniere colonne, on a:Vn+1(x1;:::;xn;x) =xnVn(x1;:::;xn) +:::donc, par identication des coecients, on a bien ce resultat. Par hypothese de recurrence, on a donc: V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y 16i i=1(xn+1xi)( 1) V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y 16i Donc une matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si lesxisont distincts. Application( Etuded 'unc orpsc yclotomique)
Soitune racine primitiven-ieme de l'unite. On a alors: fx2Q() :82AutcorpsQ();(x) =xg=Q Demonstration
.Soitx2Q()tel que pour tout2AutcorpsQ(),(x) =x. On a: Q() =\
QKC sous-corps:2KK=Q[] =Q[X]hni ounest len-ieme polyn^ome cyclotomique. Doncdeg(n) =(n)(indicatrice d'Euler) et il existeR2Q[X]tel quex=R(). On fait une division euclidienne de Rparn:
R=Sn+Q
avecdeg(Q)Agregation externe de mathematiques 2019-2020 ou(a1;:::;a(n))2Q(n). De plus, les automorphismes de corps deQ[]sont donnes par: k:Q[]!Q[] P()7!Pk
ouk2N. On a donc: x=k(x) =(n)X j=1a jk(j1) pour toutk2N. Ainsi, en posant1 =k1< k2< ::: < k(n)< n, pour tout i2[[1;(n)]]: x=ki(x) =(n)X j=1a jki(j1) SoitV=hkij1i
16i;j6(n).Vest une matrice de Vandermonde. On a ainsi:
V 2 6 664a
1 a 2... a (n)3 7 775=2
6 664x
k1(x)... k(n)(x)3 7 775=2
6 664x
x... x3 7 775=V2
6 664x
0... 03 7 775
Comme leskisont tous distincts (est une racine primitive de l'unite), la formule du determinant de Vandermonde assure queVest inversible, donc on a: 2 6 664a
1 a 2... a (n)3 7 775=2
6 664x
0... 03 7 775
Doncx=a12Q, ce qui conclut.
Remarques.1.L ep assagede (1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde se fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit.Maxime BOUCHEREAU 3 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
2. L er esultatnal c oncernantles c orpscyclotomiques indique que le gr oupedes au- tomorphismes deQ(), egal aZnZ ,abelien, est aussi celui qui laisse stableQ(on travaille avecQ()qui est une extension surQ). On dit que c'est une extension abelienne. En realite, ce resultat est lie a la theorie de Galois.Maxime BOUCHEREAU 4 Universite Rennes 1-ENS Rennes
quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
Demonstration
.Montrons pourn>2la formule du determinant de Vandermonde par recurrence surn. ?Initialisation: On a, pourn= 2: V2(x1;x2) =1 1
x 1x2 =x2x1 ?Heredite: Soitn>2xe. Notre hypothese de recurrence est: V n(x1;:::;xn) =Y16i Montrons la formule au rangn+ 1. Soit(x;xn+1)2C2.
V n+1(x1;:::;xn;x) = 1:::1 1
x 1::: xnx.........
x n1::: xnnxn est un polyn^ome de degrenenx. Il existe donc(a0;:::;an)2Cntel que: V n+1(x1;:::;xn;x) =nX j=0a jxj Le polyn^omeVn+1(x1;:::;xn;X)anracines, qui sontx1;:::;xn. En eet, pour tout j2[[1;n]], on aVn+1(x1;:::;xn;xj) = 0puisqu'il y a deux colonnes identiques. Donc on a:Maxime BOUCHEREAU 1 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
V n+1(x1;:::;xn;x) =ann Y i=1(xxi) ainsi que:an= 1:::1 x 1::: xn......
x n11::: xn1n =Vn(x1;:::;xn) En eet, en developpant le determinantVn+1(x1;:::;xn;x)par rapport a la derniere colonne, on a:Vn+1(x1;:::;xn;x) =xnVn(x1;:::;xn) +:::donc, par identication des coecients, on a bien ce resultat. Par hypothese de recurrence, on a donc: V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y 16i i=1(xn+1xi)( 1) V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y 16i Donc une matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si lesxisont distincts. Application( Etuded 'unc orpsc yclotomique)
Soitune racine primitiven-ieme de l'unite. On a alors: fx2Q() :82AutcorpsQ();(x) =xg=Q Demonstration
.Soitx2Q()tel que pour tout2AutcorpsQ(),(x) =x. On a: Q() =\
QKC sous-corps:2KK=Q[] =Q[X]hni ounest len-ieme polyn^ome cyclotomique. Doncdeg(n) =(n)(indicatrice d'Euler) et il existeR2Q[X]tel quex=R(). On fait une division euclidienne de Rparn:
R=Sn+Q
avecdeg(Q)Agregation externe de mathematiques 2019-2020 ou(a1;:::;a(n))2Q(n). De plus, les automorphismes de corps deQ[]sont donnes par: k:Q[]!Q[] P()7!Pk
ouk2N. On a donc: x=k(x) =(n)X j=1a jk(j1) pour toutk2N. Ainsi, en posant1 =k1< k2< ::: < k(n)< n, pour tout i2[[1;(n)]]: x=ki(x) =(n)X j=1a jki(j1) SoitV=hkij1i
16i;j6(n).Vest une matrice de Vandermonde. On a ainsi:
V 2 6 664a
1 a 2... a (n)3 7 775=2
6 664x
k1(x)... k(n)(x)3 7 775=2
6 664x
x... x3 7 775=V2
6 664x
0... 03 7 775
Comme leskisont tous distincts (est une racine primitive de l'unite), la formule du determinant de Vandermonde assure queVest inversible, donc on a: 2 6 664a
1 a 2... a (n)3 7 775=2
6 664x
0... 03 7 775
Doncx=a12Q, ce qui conclut.
Remarques.1.L ep assagede (1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde se fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit.Maxime BOUCHEREAU 3 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
2. L er esultatnal c oncernantles c orpscyclotomiques indique que le gr oupedes au- tomorphismes deQ(), egal aZnZ ,abelien, est aussi celui qui laisse stableQ(on travaille avecQ()qui est une extension surQ). On dit que c'est une extension abelienne. En realite, ce resultat est lie a la theorie de Galois.Maxime BOUCHEREAU 4 Universite Rennes 1-ENS Rennes
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Montrons la formule au rangn+ 1. Soit(x;xn+1)2C2.
V n+1(x1;:::;xn;x) =1:::1 1
x1::: xnx.........
x n1::: xnnxn est un polyn^ome de degrenenx. Il existe donc(a0;:::;an)2Cntel que: V n+1(x1;:::;xn;x) =nX j=0a jxj Le polyn^omeVn+1(x1;:::;xn;X)anracines, qui sontx1;:::;xn. En eet, pour tout j2[[1;n]], on aVn+1(x1;:::;xn;xj) = 0puisqu'il y a deux colonnes identiques. Donc on a:Maxime BOUCHEREAU 1 Universite Rennes 1-ENS RennesAgregation externe de mathematiques 2019-2020
V n+1(x1;:::;xn;x) =ann Y i=1(xxi) ainsi que:an= 1:::1 x1::: xn......
x n11::: xn1n =Vn(x1;:::;xn) En eet, en developpant le determinantVn+1(x1;:::;xn;x)par rapport a la derniere colonne, on a:Vn+1(x1;:::;xn;x) =xnVn(x1;:::;xn) +:::donc, par identication des coecients, on a bien ce resultat. Par hypothese de recurrence, on a donc: V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y16i i=1(xn+1xi)( 1) V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y 16i Donc une matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si lesxisont distincts. Application( Etuded 'unc orpsc yclotomique)
Soitune racine primitiven-ieme de l'unite. On a alors: fx2Q() :82AutcorpsQ();(x) =xg=Q Demonstration
.Soitx2Q()tel que pour tout2AutcorpsQ(),(x) =x. On a: Q() =\
QKC sous-corps:2KK=Q[] =Q[X]hni ounest len-ieme polyn^ome cyclotomique. Doncdeg(n) =(n)(indicatrice d'Euler) et il existeR2Q[X]tel quex=R(). On fait une division euclidienne de Rparn:
R=Sn+Q
avecdeg(Q)Agregation externe de mathematiques 2019-2020 ou(a1;:::;a(n))2Q(n). De plus, les automorphismes de corps deQ[]sont donnes par: k:Q[]!Q[] P()7!Pk
ouk2N. On a donc: x=k(x) =(n)X j=1a jk(j1) pour toutk2N. Ainsi, en posant1 =k1< k2< ::: < k(n)< n, pour tout i2[[1;(n)]]: x=ki(x) =(n)X j=1a jki(j1) SoitV=hkij1i
16i;j6(n).Vest une matrice de Vandermonde. On a ainsi:
V 2 6 664a
1 a 2... a (n)3 7 775=2
6 664x
k1(x)... k(n)(x)3 7 775=2
6 664x
x... x3 7 775=V2
6 664x
0... 03 7 775
Comme leskisont tous distincts (est une racine primitive de l'unite), la formule du determinant de Vandermonde assure queVest inversible, donc on a: 2 6 664a
1 a 2... a (n)3 7 775=2
6 664x
0... 03 7 775
Doncx=a12Q, ce qui conclut.
Remarques.1.L ep assagede (1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde se fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit.Maxime BOUCHEREAU 3 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
2. L er esultatnal c oncernantles c orpscyclotomiques indique que le gr oupedes au- tomorphismes deQ(), egal aZnZ ,abelien, est aussi celui qui laisse stableQ(on travaille avecQ()qui est une extension surQ). On dit que c'est une extension abelienne. En realite, ce resultat est lie a la theorie de Galois.Maxime BOUCHEREAU 4 Universite Rennes 1-ENS Rennes
quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
16i Donc une matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si lesxisont distincts. Application( Etuded 'unc orpsc yclotomique)
Soitune racine primitiven-ieme de l'unite. On a alors: fx2Q() :82AutcorpsQ();(x) =xg=Q Demonstration
.Soitx2Q()tel que pour tout2AutcorpsQ(),(x) =x. On a: Q() =\
QKC sous-corps:2KK=Q[] =Q[X]hni ounest len-ieme polyn^ome cyclotomique. Doncdeg(n) =(n)(indicatrice d'Euler) et il existeR2Q[X]tel quex=R(). On fait une division euclidienne de Rparn:
R=Sn+Q
avecdeg(Q)Agregation externe de mathematiques 2019-2020 ou(a1;:::;a(n))2Q(n). De plus, les automorphismes de corps deQ[]sont donnes par: k:Q[]!Q[] P()7!Pk
ouk2N. On a donc: x=k(x) =(n)X j=1a jk(j1) pour toutk2N. Ainsi, en posant1 =k1< k2< ::: < k(n)< n, pour tout i2[[1;(n)]]: x=ki(x) =(n)X j=1a jki(j1) SoitV=hkij1i
16i;j6(n).Vest une matrice de Vandermonde. On a ainsi:
V 2 6 664a
1 a 2... a (n)3 7 775=2
6 664x
k1(x)... k(n)(x)3 7 775=2
6 664x
x... x3 7 775=V2
6 664x
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Comme leskisont tous distincts (est une racine primitive de l'unite), la formule du determinant de Vandermonde assure queVest inversible, donc on a: 2 6 664a
1 a 2... a (n)3 7 775=2
6 664x
0... 03 7 775
Doncx=a12Q, ce qui conclut.
Remarques.1.L ep assagede (1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde se fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit.Maxime BOUCHEREAU 3 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
2. L er esultatnal c oncernantles c orpscyclotomiques indique que le gr oupedes au- tomorphismes deQ(), egal aZnZ ,abelien, est aussi celui qui laisse stableQ(on travaille avecQ()qui est une extension surQ). On dit que c'est une extension abelienne. En realite, ce resultat est lie a la theorie de Galois.Maxime BOUCHEREAU 4 Universite Rennes 1-ENS Rennes
quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
Application( Etuded 'unc orpsc yclotomique)
Soitune racine primitiven-ieme de l'unite. On a alors: fx2Q() :82AutcorpsQ();(x) =xg=QDemonstration
.Soitx2Q()tel que pour tout2AutcorpsQ(),(x) =x. On a:Q() =\
QKC sous-corps:2KK=Q[] =Q[X]hni ounest len-ieme polyn^ome cyclotomique. Doncdeg(n) =(n)(indicatrice d'Euler) et il existeR2Q[X]tel quex=R(). On fait une division euclidienne deRparn:
R=Sn+Q
avecdeg(Q)P()7!Pk
ouk2N. On a donc: x=k(x) =(n)X j=1a jk(j1) pour toutk2N. Ainsi, en posant1 =k1< k2< ::: < k(n)< n, pour tout i2[[1;(n)]]: x=ki(x) =(n)X j=1a jki(j1)SoitV=hkij1i
16i;j6(n).Vest une matrice de Vandermonde. On a ainsi:
V 2 6 664a1 a 2... a (n)3 7 775=2
6 664x
k1(x)... k(n)(x)3 7 775=2
6 664x
x... x3 7
775=V2
6 664x0... 03 7 775
Comme leskisont tous distincts (est une racine primitive de l'unite), la formule du determinant de Vandermonde assure queVest inversible, donc on a: 2 6 664a
1 a 2... a (n)3 7 775=2
6 664x
0... 03 7 775
Doncx=a12Q, ce qui conclut.
Remarques.1.L ep assagede (1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermondese fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit.Maxime BOUCHEREAU 3 Universite Rennes 1-ENS RennesAgregation externe de mathematiques 2019-2020
2. L er esultatnal c oncernantles c orpscyclotomiques indique que le gr oupedes au- tomorphismes deQ(), egal aZnZ ,abelien, est aussi celui qui laisse stableQ(on travaille avecQ()qui est une extension surQ). On dit que c'est une extensionabelienne. En realite, ce resultat est lie a la theorie de Galois.Maxime BOUCHEREAU 4 Universite Rennes 1-ENS Rennes
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