Le déterminant de Vandermonde
Le déterminant de Vandermonde. Soient n un entier supérieur ou égal `a 2 et a1 D'apr`es le principe de récurrence on en déduit que P(n) est vraie pour ...
Calcul de deux déterminants classiques: Vandermonde et Cauchy
Démonstration. Montrons pour n ⩾ 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ⋆ Initialisation: On a pour n
Annexe Chapitre 3 : Compléments dalgèbre Calcul du déterminant
Calcul du déterminant de Vandermonde. Propriété 1 (Déterminant de Vandermonde) On procède par récurrence sur n. Initialisation : Pour n = 2 on a. V (x1
Déterminant de Vandermonde et corps cyclotomiques
Démonstration. Montrons pour n ⩾ 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ⋆ Initialisation: On a pour n
On a Recursion Formula Related to Confluent Vandermonde
determinant identity due to Schendel. 1. INTRODUCTION. Given an r-tuple. = (λ1
MATHÉMATIQUES 2
n ≥ on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes 1 2.
Deuxième épreuve CCINP 2022 – MP
déterminant de Vandermonde de n nombres complexes x1x2 ...
The determinants of matrices with recursive entries
Keywords: Determinant; LU-factorization; Recurrence relation; Vandermonde determinant. 1. Introduction. Bacher in [1] considers the determinants of matrices
ORTHOGONAL POLYNOMIALS The link between random matrix
The monic orthogonal polynomials πn(x) satisfy a sim- ple recursive system of linear equations called the three-term recurrence. Van der Monde Determinant ...
POLYNOMIAL RECURRENCES AND CYCLIC RESULTANTS 1
cyclic resultants linear recurrence
Le déterminant de Vandermonde
Vandermonde l'élément de K défini par : 1.1 Relation de récurrence. On rappelle qu'on ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant `a une ligne ...
Déterminant de Vandermonde inégalité de Hadamard et
Démonstration. Sans perte de généralité on suppose les (xi) distincts. On procède par récurrence sur n; c'est vrai pour n = 1
Calcul de deux déterminants classiques: Vandermonde et Cauchy
Montrons pour n ? 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ? Initialisation: On a pour n = 2: V2(x1
Déterminant de Vandermonde et corps cyclotomiques
Démonstration. Montrons pour n ? 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ? Initialisation: On a pour n = 2: V2(x1
Generalized Vandermonde Determinants and Characterization of
20 août 2016 Abstract. We present a different proof of the characterization of non–degenerate recurrence sequences which are also divisibility sequences ...
Calculs de déterminants
Exercice 7 Déterminant de Vandermonde. Montrer que Par le principe de récurrence la formule est vraie pour tout entier n ? 2.
Fiche n 2 : déterminants
Exercice 6 – un calcul de déterminant pas récurrence. Alexandre-Théophile Vandermonde né à Paris le 28 février 1735 et mort à Paris.
MATHÉMATIQUES 2
n ? on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes 1 2 L'objet de cet exercice est de démontrer par récurrence que l'on a :.
ON VANDERMONDE VARIETIES 1. Introduction The results in the
A linear recurrence relation with constant coefficients of order k is an equation of the form where W(x1...
CCP Maths 2 MP 2001 — Corrigé
2 Raisonner par récurrence sur la taille de la matrice compagnon 4.d Le déterminant de Vandermonde est le déterminant d'une base de vecteurs.
Calculs de déterminants
Fiche corrigée par Arnaud Bodin
Exercice 1Calculer les déterminants des matrices suivantes : 7 11 8 4 0 @1 0 63 4 15
5 6 211
A0 @1 0 2 3 4 55 6 71
A0 @1 01 2 3 54 1 31
A 0 BB@0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 21
C CA0 BB@0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 01
C CA0 BB@1 2 1 2
1 3 1 3
2 1 0 6
1 1 1 71
C CA 1. Calculer l"aire du parallélogramme construit sur les v ecteurs~u=2 3 et~v=1 4 2. Calculer le v olumedu parallélépipède construit sur les v ecteurs ~u=0 @1 2 01 A ,~v=0 @0 1 31A et~w=0 @1 1 11 A 3.
Montrer que le v olumed"un parallélépipède dont les sommets sont des points de R3à coefficients entiers
est un nombre entier. Calculer les déterminants des matrices suivantes : 0 @a b c c a b b c a1 A0 BB@1 0 0 1
0 1 0 0
1 0 1 1
2 3 1 11
C CA0 BB@1 1 1 1
11 1 1
1 11 1
1 1 111
C CA0 BB@10 05 15
2 7 3 0
8 14 0 2
021 111
C CA 0 BB@a a b0
a a0b c0a a0c a a1
C CA0 BBBB@1 0 3 0 0
0 1 0 3 0
a0a0 3 b a0a00b0 0a1
C CCCA0 BBBB@1 0 0 1 0
04 3 0 0
3 0 032
0 1 7 0 0
4 0 0 7 11
C CCCA 1Calculer les déterminants suivant :
a 1a2an a1a1......
.........a2 a 1a1a1 1 11 1(0)
(0)1 1 a+b aa a a+b...... .........a aa a+bSoit(a0;:::;an1)2Cn,x2C. Calculer
D n= x0a01.........
...x an201x+an1
Soitaun réel. On noteDnle déterminant suivant : D n= a00n10a.........
.........0 2 00a1 n12 1a 1.Calculer Dnen fonction deDn1.
2.Démontrer que : 8n>2Dn=anan2n1å
i=1i2.1t1t21:::tn111t2t22:::tn12::: ::: ::: ::: :::
1tnt2n:::tn1n
16i Indication pourl"exer cice3 N1.Règle de Sarrus. 2. Dév elopperpar rapport à la deuxième ligne. 3. F aireapparaître des 0 sur la première colonne. 4. Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coef ficients.
5. F aireapparaître des 0...
6. F aireapparaître des 0...
7. Permuter les lignes et les colonnes pour f aireapparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pourl"exer cice5 NDévelopper par rapport à la dernière colonne.
Indication pour
l"exer cice 6 NDévelopper par rapport à la première colonne pour obtenirDn1et un autre déterminant facile à calculer en
développant par rapport à sa première ligne.Indication pourl"exer cice7 NFaire les opérations suivantes sur les colonnesCn CntnCn1, puisCn1 Cn1tnCn2,...,C2 C2tnC1.
Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l"on obtient le déterminant recherché mais au rang
n1.3 Correction del"exer cice1 N1.Le déterminant de la matrice a b c d esta b c d =adbc. Donc7 11 8 4 =7411(8) =116. 2. Nous allons v oirdif férentesméthodes pour calculer les déterminants. Première méthode.Règle de Sarrus.Pour le matrice 33 il existe une formule qui permet de calculer
directement le déterminant. a 11a12a13
a 21a22a23
a 31a32a33
Donc 1 0 6 3 4 15
5 6 21
=1421+0155+36654661513021=18 Attention ! La règle de Sarrus ne s"applique qu"aux matrices 33. 3.Deuxième méthode.Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.
Si dans une matrice on change un ligneLienLilLjalors le déterminant reste le même. Même chose
avec les colonnes. L 11 0 2
L 23 4 5
L 35 6 7=1 0 2
L 2 L23L10 41L
3 L35L10 63=1 0 2
0 41L 3 L332
L20 032=14(32
) =6 sur la diagonale. 4.Troisième méthode.Développement par rapport à une ligne ou une colonne.Nous allons développer
par rapport à la deuxième colonne. 1 01 2 3 5 4 1 3 = (0)2 5 4 3 +(+3)11 4 3 +(1)11 2 5 =0+3717=14 Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la
colonne qui a le plus de 0. 5. On f aitapparaître des 0 sur la première colonne puis on dév eloppepar rapport à cette colonne.
D=L 10 1 2 3
L 21 2 3 0
L 32 3 0 1
L 43 0 1 2=0 1 2 3
1 2 3 0
L 3 L32L2016 1L
4 L43L2068 2=1 2 3
16 168 2Pour calculer le déterminant 33 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.
D=L 11 2 3
L 216 1L
368 2=1 2 3
L 2 L2+L104 4L
3 L3+6L10 4 20=14 4
4 20 =96 DoncD=96.
4 6.La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en f aireapparaît reda vantagesur la dernière colonne, puis
on développe par rapport à la dernière colonne. D 0=L 10 1 1 0
L 21 0 0 1
L 31 1 0 1
L 41 1 1 0=0 1 1 0
1 0 0 1
L 3 L3L20 1 0 0
1 1 1 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1 On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : D 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1=11 1
1 0 =1 7. T oujoursla même méthode, on f aitapparaître des 0 sur la première colonne, puis on dév eloppepar
rapport à cette colonne. D 00=L 11 2 1 2
L 21 3 1 3
L 32 1 0 6
L 41 1 1 7=1 2 1 2
L 2 L2L10 1 0 1
L 3 L32L1032 2L
4 L4L101 0 5=1 0 1
32 21 0 5On développe par rapport à la deuxième colonne :
D 00=21 1
1 5 =12Correction del"exer cice2 N1.L "aireAdu parallélogramme construit sur les vecteurs~u=a c et~v=b d est la valeur absolue du déterminant a b c d doncA=jadbcj. Ici on trouveA=abs2 1 3 4 = +5 où abs désigne la fonction valeur absolue. 2. Le v olumedu parallélépipède construit sur trois v ecteursde R3est la valeur absolue du déterminant de
la matrice formée des trois vecteurs. Ici V=abs 1 0 1 2 1 1 0 3 1 =abs +11 1 3 1 +12 1 0 3 =4 où l"on a développé par rapport à la première ligne. 3. Si un parallélépipède est construit sur trois v ecteursde R3dont les coefficients sont des entiers alors le
volume correspond au déterminant d"une matrice à coefficients entiers. C"est donc un entier.Correction del"exer cice3 N1.P arla règle de Sarrus :
D 1= a b c c a b b c a =a3+b3+c33abc: 5 2.On dév eloppepar rapport à la seconde ligne qui ne contient qu"un coef ficientnon nul et on calcule le
déterminant 33 par la règle de Sarrus : D 2= 1 0 0 1
0 1 0 0
1 0 1 1
2 3 1 1
= +1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 =1: 3. D 3=L 11 1 1 1L
211 1 1L
31 11 1L
41 1 11=1 1 1 1L
2 L2+L10 0 2 2
L 3 L3+L10 2 0 2
L 4 L4+L10 2 2 0
On développe par rapport à la première colonne :quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coef ficients.
5.F aireapparaître des 0...
6.F aireapparaître des 0...
7.Permuter les lignes et les colonnes pour f aireapparaître une matrice triangulaire par blocs. Indication pourl"exer cice5 NDévelopper par rapport à la dernière colonne.
Indication pour
l"exer cice6 NDévelopper par rapport à la première colonne pour obtenirDn1et un autre déterminant facile à calculer en
développant par rapport à sa première ligne.Indication pourl"exer cice7 NFaire les opérations suivantes sur les colonnesCn CntnCn1, puisCn1 Cn1tnCn2,...,C2 C2tnC1.
Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l"on obtient le déterminant recherché mais au rang
n1.3 Correction del"exer cice1 N1.Le déterminant de la matrice a b c d esta b c d =adbc. Donc7 11 8 4 =7411(8) =116. 2. Nous allons v oirdif férentesméthodes pour calculer les déterminants.Première méthode.Règle de Sarrus.Pour le matrice 33 il existe une formule qui permet de calculer
directement le déterminant. a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
Donc 1 0 63 4 15
5 6 21
=1421+0155+36654661513021=18 Attention ! La règle de Sarrus ne s"applique qu"aux matrices 33.3.Deuxième méthode.Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.
Si dans une matrice on change un ligneLienLilLjalors le déterminant reste le même. Même chose
avec les colonnes. L11 0 2
L23 4 5
L35 6 7=1 0 2
L2 L23L10 41L
3 L35L10 63=1 0 2
0 41L3 L332
L20 032=14(32
) =6 sur la diagonale.4.Troisième méthode.Développement par rapport à une ligne ou une colonne.Nous allons développer
par rapport à la deuxième colonne. 1 01 2 3 5 4 1 3 = (0)2 5 4 3 +(+3)11 4 3 +(1)11 2 5 =0+3717=14 Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par lesopérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la
colonne qui a le plus de 0. 5.On f aitapparaître des 0 sur la première colonne puis on dév eloppepar rapport à cette colonne.
D=L10 1 2 3
L21 2 3 0
L32 3 0 1
L43 0 1 2=0 1 2 3
1 2 3 0
L3 L32L2016 1L
4 L43L2068 2=1 2 3
16 168 2Pour calculer le déterminant 33 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.
D=L11 2 3
L216 1L
368 2=1 2 3
L2 L2+L104 4L
3 L3+6L10 4 20=14 4
4 20 =96DoncD=96.
46.La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en f aireapparaît reda vantagesur la dernière colonne, puis
on développe par rapport à la dernière colonne. D 0=L10 1 1 0
L21 0 0 1
L31 1 0 1
L41 1 1 0=0 1 1 0
1 0 0 1
L3 L3L20 1 0 0
1 1 1 0=0 1 1
0 1 0 1 1 1 On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : D0=0 1 1
0 1 01 1 1=11 1
1 0 =1 7.T oujoursla même méthode, on f aitapparaître des 0 sur la première colonne, puis on dév eloppepar
rapport à cette colonne. D 00=L11 2 1 2
L21 3 1 3
L32 1 0 6
L41 1 1 7=1 2 1 2
L2 L2L10 1 0 1
L3 L32L1032 2L
4 L4L101 0 5=1 0 1
32 21 0 5On développe par rapport à la deuxième colonne :
D00=21 1
1 5 =12Correction del"exer cice2 N1.L "aireAdu parallélogramme construit sur les vecteurs~u=a c et~v=b d est la valeur absolue du déterminant a b c d doncA=jadbcj. Ici on trouveA=abs2 1 3 4 = +5 où abs désigne la fonction valeur absolue. 2.Le v olumedu parallélépipède construit sur trois v ecteursde R3est la valeur absolue du déterminant de
la matrice formée des trois vecteurs. Ici V=abs 1 0 1 2 1 1 0 3 1 =abs +11 1 3 1 +12 1 0 3 =4 où l"on a développé par rapport à la première ligne. 3.Si un parallélépipède est construit sur trois v ecteursde R3dont les coefficients sont des entiers alors le
volume correspond au déterminant d"une matrice à coefficients entiers. C"est donc un entier.Correction del"exer cice3 N1.P arla règle de Sarrus :
D 1= a b c c a b b c a =a3+b3+c33abc: 52.On dév eloppepar rapport à la seconde ligne qui ne contient qu"un coef ficientnon nul et on calcule le
déterminant 33 par la règle de Sarrus : D 2=1 0 0 1
0 1 0 0
1 0 1 1
2 3 1 1
= +1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 =1: 3. D 3=L11 1 1 1L
211 1 1L
31 11 1L
41 1 11=1 1 1 1L
2 L2+L10 0 2 2
L3 L3+L10 2 0 2
L4 L4+L10 2 2 0
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