Le déterminant de Vandermonde
Le déterminant de Vandermonde. Soient n un entier supérieur ou égal `a 2 et a1 D'apr`es le principe de récurrence on en déduit que P(n) est vraie pour ...
Calcul de deux déterminants classiques: Vandermonde et Cauchy
Démonstration. Montrons pour n ⩾ 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ⋆ Initialisation: On a pour n
Annexe Chapitre 3 : Compléments dalgèbre Calcul du déterminant
Calcul du déterminant de Vandermonde. Propriété 1 (Déterminant de Vandermonde) On procède par récurrence sur n. Initialisation : Pour n = 2 on a. V (x1
Déterminant de Vandermonde et corps cyclotomiques
Démonstration. Montrons pour n ⩾ 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ⋆ Initialisation: On a pour n
On a Recursion Formula Related to Confluent Vandermonde
determinant identity due to Schendel. 1. INTRODUCTION. Given an r-tuple. = (λ1
MATHÉMATIQUES 2
n ≥ on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes 1 2.
Deuxième épreuve CCINP 2022 – MP
déterminant de Vandermonde de n nombres complexes x1x2 ...
The determinants of matrices with recursive entries
Keywords: Determinant; LU-factorization; Recurrence relation; Vandermonde determinant. 1. Introduction. Bacher in [1] considers the determinants of matrices
ORTHOGONAL POLYNOMIALS The link between random matrix
The monic orthogonal polynomials πn(x) satisfy a sim- ple recursive system of linear equations called the three-term recurrence. Van der Monde Determinant ...
POLYNOMIAL RECURRENCES AND CYCLIC RESULTANTS 1
cyclic resultants linear recurrence
Le déterminant de Vandermonde
Vandermonde l'élément de K défini par : 1.1 Relation de récurrence. On rappelle qu'on ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant `a une ligne ...
Déterminant de Vandermonde inégalité de Hadamard et
Démonstration. Sans perte de généralité on suppose les (xi) distincts. On procède par récurrence sur n; c'est vrai pour n = 1
Calcul de deux déterminants classiques: Vandermonde et Cauchy
Montrons pour n ? 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ? Initialisation: On a pour n = 2: V2(x1
Déterminant de Vandermonde et corps cyclotomiques
Démonstration. Montrons pour n ? 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ? Initialisation: On a pour n = 2: V2(x1
Generalized Vandermonde Determinants and Characterization of
20 août 2016 Abstract. We present a different proof of the characterization of non–degenerate recurrence sequences which are also divisibility sequences ...
Calculs de déterminants
Exercice 7 Déterminant de Vandermonde. Montrer que Par le principe de récurrence la formule est vraie pour tout entier n ? 2.
Fiche n 2 : déterminants
Exercice 6 – un calcul de déterminant pas récurrence. Alexandre-Théophile Vandermonde né à Paris le 28 février 1735 et mort à Paris.
MATHÉMATIQUES 2
n ? on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes 1 2 L'objet de cet exercice est de démontrer par récurrence que l'on a :.
ON VANDERMONDE VARIETIES 1. Introduction The results in the
A linear recurrence relation with constant coefficients of order k is an equation of the form where W(x1...
CCP Maths 2 MP 2001 — Corrigé
2 Raisonner par récurrence sur la taille de la matrice compagnon 4.d Le déterminant de Vandermonde est le déterminant d'une base de vecteurs.
Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Calcul de deux determinants
classiques: Vandermonde et CauchyAbandonne
Dans tout ce qui suit,nest un entier naturel non nul, (x1;;xn)2Cnet on pose(a1;;an;b1;;bn)2C2navec, pour tousi;j2[[1;n]],ai+bj6= 0.Denition( Determinantsde V andermondeet de C auchy)
On denit lesdeterminants de Vandermonde et de Cauchyrespectivement par:V(x1;;xn) = detxi1
j16i;j6netC(a1;;an;b1;;bn) = det1a
i+bj16i;j6nTheoreme(C alculdu d eterminantde V andemonde)
Soientx1;:::;xn2C. On a alors:
V n(x1;:::;xn) = 1:::1 x1::: xn......
x n11::: xn1n =Y16i Demonstration
.Montrons pourn>2la formule du determinant de Vandermonde par recurrence surn. ?Initialisation: On a, pourn= 2: V 2(x1;x2) =1 1
x 1x2 =x2x1 ?Heredite: Soitn>2xe. Notre hypothese de recurrence est: V n(x1;:::;xn) =Y 16i Montrons la formule au rangn+ 1. Soit(x;xn+1)2C2.
V n+1(x1;:::;xn;x) = 1:::1 1
x 1::: xnx.........
x n1::: xnnxn Maxime BOUCHEREAU 1 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
est un polyn^ome de degrenenx. Il existe donc(a0;:::;an)2Cntel que: V n+1(x1;:::;xn;x) =nX j=0a jxj Le polyn^omeVn+1(x1;:::;xn;X)anracines, qui sontx1;:::;xn. En eet, pour tout j2[[1;n]], on aVn+1(x1;:::;xn;xj) = 0puisqu'il y a deux colonnes identiques. Donc on a: V n+1(x1;:::;xn;x) =ann Y i=1(xxi) ainsi que:an= 1:::1 x 1::: xn......
x n11::: xn1n =Vn(x1;:::;xn) En eet, en developpant le determinantVn+1(x1;:::;xn;x)par rapport a la derniere colonne, on a:Vn+1(x1;:::;xn;x) =xnVn(x1;:::;xn) +:::donc, par identication des coecients, on a bien ce resultat. Par hypothese de recurrence, on a donc: V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y 16i i=1(xn+1xi)( 1) V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y 16i Donc une matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si lesxisont distincts. Theoreme(C alculdu d eterminantde Ca uchy)
On a cette formules explicite pour le determinant de Cauchy: C(a1;;an;b1;;bn) =
1a 1+b11a
1+bn.........
1a n+b11a n+bn =Q 16i 16i;j6n(ai+bj)Maxime BOUCHEREAU 2 Universite Rennes 1-ENS Rennes
Agregation externe de mathematiques 2019-2020
La demonstration de ces deux resultats se fait par recurrence. Demonstration
.La preuve de se theoreme se fait par recurrence surn: ?Initialisation:Au rangn= 2, on a: det 1a 1+b11a
1+b21a
2+b11a
2+b2 =1(a1+b1)(a2+b2)1(a1+b2)(a2+b1) (a2a1)(b2b1)(a1+b1)(a1+b2)(a2+b1)(a2+b2) ?Heredite:Soitn2Nnf0;1g. Supposons la formule vraie au rangn, et montrons-la au rangn+ 1, en introduisantan+1;bn+12C, puis en posant: A n+1=C(a1;;an+1;b1;;bn+1) On a alors:
A n+1= 1a 1+b11a
1+bn+1.........
1a n+1+b11a n+1+bn+1 En multipliant chaque colonneCjparan+1+bj, on obtient: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1+b1a 1+b1an+1+bn+1a
1+bn+1.........
a n+1+b1a n+b1an+1+bn+1a n+bn+111 Or, pour tousi2[[1;n]],j2[[1;n+ 1]], on aan+1+bja
i+bj= 1 +an+1aia i+bj, donnant ainsi: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1 + an+1a1a 1+b11 +an+1a1a
1+bn+1.........
1 + an+1ana n+b11 +an+1ana n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj LjLn+1: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1a1a 1+b1an+1a1a
1+bn+1.........
a n+1ana n+b1an+1ana n+bn+111 Maxime BOUCHEREAU 3 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj (an+1aj)Lj: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1a 1+b11a
1+bn+1.........
1a n+b11a n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationCj CjCn+1: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b 1+bn+1............
b n+bn+100 1 On developpe par rapport a la derniere ligne:
A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b b Pour tousi;j2[[1;n]], on eectue les operationsCj (bn+1bj)CjetLi (bn+1+ a i)Li: A 1a 1+b11a
1+bn.........
1a n+b11a n+bn |{z} =An En appliquant l'hypothese de recurrence, il vient: A n+1=Q n i=1(an+1ai)(bn+1bi)Q 16i n j=1(an+1+bj)Qn+1 i=1(ai+bn+1)(an+1+bn+1)Q 16i;j6n(ai+bj)
Une reindexation (cf. Figure 1) assure alors que:
A n+1=Q 16i 16i;j6n+1(ai+bj)
Ce qui conclut.
Maxime BOUCHEREAU 4 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Remarque.Le passage de(1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde se fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit. Cette m^eme technique est utilise lors de la derniere etape de calcul du determinant de Cauchy.Maxime BOUCHEREAU 5 Universite Rennes 1-ENS Rennesquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
Demonstration
.Montrons pourn>2la formule du determinant de Vandermonde par recurrence surn. ?Initialisation: On a, pourn= 2: V2(x1;x2) =1 1
x 1x2 =x2x1 ?Heredite: Soitn>2xe. Notre hypothese de recurrence est: V n(x1;:::;xn) =Y16i Montrons la formule au rangn+ 1. Soit(x;xn+1)2C2.
V n+1(x1;:::;xn;x) = 1:::1 1
x 1::: xnx.........
x n1::: xnnxn Maxime BOUCHEREAU 1 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
est un polyn^ome de degrenenx. Il existe donc(a0;:::;an)2Cntel que: V n+1(x1;:::;xn;x) =nX j=0a jxj Le polyn^omeVn+1(x1;:::;xn;X)anracines, qui sontx1;:::;xn. En eet, pour tout j2[[1;n]], on aVn+1(x1;:::;xn;xj) = 0puisqu'il y a deux colonnes identiques. Donc on a: V n+1(x1;:::;xn;x) =ann Y i=1(xxi) ainsi que:an= 1:::1 x 1::: xn......
x n11::: xn1n =Vn(x1;:::;xn) En eet, en developpant le determinantVn+1(x1;:::;xn;x)par rapport a la derniere colonne, on a:Vn+1(x1;:::;xn;x) =xnVn(x1;:::;xn) +:::donc, par identication des coecients, on a bien ce resultat. Par hypothese de recurrence, on a donc: V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y 16i i=1(xn+1xi)( 1) V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y 16i Donc une matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si lesxisont distincts. Theoreme(C alculdu d eterminantde Ca uchy)
On a cette formules explicite pour le determinant de Cauchy: C(a1;;an;b1;;bn) =
1a 1+b11a
1+bn.........
1a n+b11a n+bn =Q 16i 16i;j6n(ai+bj)Maxime BOUCHEREAU 2 Universite Rennes 1-ENS Rennes
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La demonstration de ces deux resultats se fait par recurrence. Demonstration
.La preuve de se theoreme se fait par recurrence surn: ?Initialisation:Au rangn= 2, on a: det 1a 1+b11a
1+b21a
2+b11a
2+b2 =1(a1+b1)(a2+b2)1(a1+b2)(a2+b1) (a2a1)(b2b1)(a1+b1)(a1+b2)(a2+b1)(a2+b2) ?Heredite:Soitn2Nnf0;1g. Supposons la formule vraie au rangn, et montrons-la au rangn+ 1, en introduisantan+1;bn+12C, puis en posant: A n+1=C(a1;;an+1;b1;;bn+1) On a alors:
A n+1= 1a 1+b11a
1+bn+1.........
1a n+1+b11a n+1+bn+1 En multipliant chaque colonneCjparan+1+bj, on obtient: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1+b1a 1+b1an+1+bn+1a
1+bn+1.........
a n+1+b1a n+b1an+1+bn+1a n+bn+111 Or, pour tousi2[[1;n]],j2[[1;n+ 1]], on aan+1+bja
i+bj= 1 +an+1aia i+bj, donnant ainsi: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1 + an+1a1a 1+b11 +an+1a1a
1+bn+1.........
1 + an+1ana n+b11 +an+1ana n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj LjLn+1: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1a1a 1+b1an+1a1a
1+bn+1.........
a n+1ana n+b1an+1ana n+bn+111 Maxime BOUCHEREAU 3 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj (an+1aj)Lj: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1a 1+b11a
1+bn+1.........
1a n+b11a n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationCj CjCn+1: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b 1+bn+1............
b n+bn+100 1 On developpe par rapport a la derniere ligne:
A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b b Pour tousi;j2[[1;n]], on eectue les operationsCj (bn+1bj)CjetLi (bn+1+ a i)Li: A 1a 1+b11a
1+bn.........
1a n+b11a n+bn |{z} =An En appliquant l'hypothese de recurrence, il vient: A n+1=Q n i=1(an+1ai)(bn+1bi)Q 16i n j=1(an+1+bj)Qn+1 i=1(ai+bn+1)(an+1+bn+1)Q 16i;j6n(ai+bj)
Une reindexation (cf. Figure 1) assure alors que:
A n+1=Q 16i 16i;j6n+1(ai+bj)
Ce qui conclut.
Maxime BOUCHEREAU 4 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Remarque.Le passage de(1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde se fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit. Cette m^eme technique est utilise lors de la derniere etape de calcul du determinant de Cauchy.Maxime BOUCHEREAU 5 Universite Rennes 1-ENS Rennesquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
Montrons la formule au rangn+ 1. Soit(x;xn+1)2C2.
V n+1(x1;:::;xn;x) =1:::1 1
x1::: xnx.........
x n1::: xnnxn Maxime BOUCHEREAU 1 Universite Rennes 1-ENS RennesAgregation externe de mathematiques 2019-2020
est un polyn^ome de degrenenx. Il existe donc(a0;:::;an)2Cntel que: V n+1(x1;:::;xn;x) =nX j=0a jxj Le polyn^omeVn+1(x1;:::;xn;X)anracines, qui sontx1;:::;xn. En eet, pour tout j2[[1;n]], on aVn+1(x1;:::;xn;xj) = 0puisqu'il y a deux colonnes identiques. Donc on a: V n+1(x1;:::;xn;x) =ann Y i=1(xxi) ainsi que:an= 1:::1 x1::: xn......
x n11::: xn1n =Vn(x1;:::;xn) En eet, en developpant le determinantVn+1(x1;:::;xn;x)par rapport a la derniere colonne, on a:Vn+1(x1;:::;xn;x) =xnVn(x1;:::;xn) +:::donc, par identication des coecients, on a bien ce resultat. Par hypothese de recurrence, on a donc: V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y16i i=1(xn+1xi)( 1) V n+1(x1;:::;xn;xn+1) =Y 16i Donc une matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si lesxisont distincts. Theoreme(C alculdu d eterminantde Ca uchy)
On a cette formules explicite pour le determinant de Cauchy: C(a1;;an;b1;;bn) =
1a 1+b11a
1+bn.........
1a n+b11a n+bn =Q 16i 16i;j6n(ai+bj)Maxime BOUCHEREAU 2 Universite Rennes 1-ENS Rennes
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La demonstration de ces deux resultats se fait par recurrence. Demonstration
.La preuve de se theoreme se fait par recurrence surn: ?Initialisation:Au rangn= 2, on a: det 1a 1+b11a
1+b21a
2+b11a
2+b2 =1(a1+b1)(a2+b2)1(a1+b2)(a2+b1) (a2a1)(b2b1)(a1+b1)(a1+b2)(a2+b1)(a2+b2) ?Heredite:Soitn2Nnf0;1g. Supposons la formule vraie au rangn, et montrons-la au rangn+ 1, en introduisantan+1;bn+12C, puis en posant: A n+1=C(a1;;an+1;b1;;bn+1) On a alors:
A n+1= 1a 1+b11a
1+bn+1.........
1a n+1+b11a n+1+bn+1 En multipliant chaque colonneCjparan+1+bj, on obtient: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1+b1a 1+b1an+1+bn+1a
1+bn+1.........
a n+1+b1a n+b1an+1+bn+1a n+bn+111 Or, pour tousi2[[1;n]],j2[[1;n+ 1]], on aan+1+bja
i+bj= 1 +an+1aia i+bj, donnant ainsi: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1 + an+1a1a 1+b11 +an+1a1a
1+bn+1.........
1 + an+1ana n+b11 +an+1ana n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj LjLn+1: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1a1a 1+b1an+1a1a
1+bn+1.........
a n+1ana n+b1an+1ana n+bn+111 Maxime BOUCHEREAU 3 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj (an+1aj)Lj: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1a 1+b11a
1+bn+1.........
1a n+b11a n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationCj CjCn+1: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b 1+bn+1............
b n+bn+100 1 On developpe par rapport a la derniere ligne:
A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b b Pour tousi;j2[[1;n]], on eectue les operationsCj (bn+1bj)CjetLi (bn+1+ a i)Li: A 1a 1+b11a
1+bn.........
1a n+b11a n+bn |{z} =An En appliquant l'hypothese de recurrence, il vient: A n+1=Q n i=1(an+1ai)(bn+1bi)Q 16i n j=1(an+1+bj)Qn+1 i=1(ai+bn+1)(an+1+bn+1)Q 16i;j6n(ai+bj)
Une reindexation (cf. Figure 1) assure alors que:
A n+1=Q 16i 16i;j6n+1(ai+bj)
Ce qui conclut.
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Remarque.Le passage de(1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde se fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit. Cette m^eme technique est utilise lors de la derniere etape de calcul du determinant de Cauchy.Maxime BOUCHEREAU 5 Universite Rennes 1-ENS Rennesquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
16i Donc une matrice de Vandermonde est inversible si et seulement si lesxisont distincts. Theoreme(C alculdu d eterminantde Ca uchy)
On a cette formules explicite pour le determinant de Cauchy: C(a1;;an;b1;;bn) =
1a 1+b11a
1+bn.........
1a n+b11a n+bn =Q 16i 16i;j6n(ai+bj)Maxime BOUCHEREAU 2 Universite Rennes 1-ENS Rennes
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La demonstration de ces deux resultats se fait par recurrence. Demonstration
.La preuve de se theoreme se fait par recurrence surn: ?Initialisation:Au rangn= 2, on a: det 1a 1+b11a
1+b21a
2+b11a
2+b2 =1(a1+b1)(a2+b2)1(a1+b2)(a2+b1) (a2a1)(b2b1)(a1+b1)(a1+b2)(a2+b1)(a2+b2) ?Heredite:Soitn2Nnf0;1g. Supposons la formule vraie au rangn, et montrons-la au rangn+ 1, en introduisantan+1;bn+12C, puis en posant: A n+1=C(a1;;an+1;b1;;bn+1) On a alors:
A n+1= 1a 1+b11a
1+bn+1.........
1a n+1+b11a n+1+bn+1 En multipliant chaque colonneCjparan+1+bj, on obtient: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1+b1a 1+b1an+1+bn+1a
1+bn+1.........
a n+1+b1a n+b1an+1+bn+1a n+bn+111 Or, pour tousi2[[1;n]],j2[[1;n+ 1]], on aan+1+bja
i+bj= 1 +an+1aia i+bj, donnant ainsi: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1 + an+1a1a 1+b11 +an+1a1a
1+bn+1.........
1 + an+1ana n+b11 +an+1ana n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj LjLn+1: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1a1a 1+b1an+1a1a
1+bn+1.........
a n+1ana n+b1an+1ana n+bn+111 Maxime BOUCHEREAU 3 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj (an+1aj)Lj: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1a 1+b11a
1+bn+1.........
1a n+b11a n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationCj CjCn+1: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b 1+bn+1............
b n+bn+100 1 On developpe par rapport a la derniere ligne:
A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b b Pour tousi;j2[[1;n]], on eectue les operationsCj (bn+1bj)CjetLi (bn+1+ a i)Li: A 1a 1+b11a
1+bn.........
1a n+b11a n+bn |{z} =An En appliquant l'hypothese de recurrence, il vient: A n+1=Q n i=1(an+1ai)(bn+1bi)Q 16i n j=1(an+1+bj)Qn+1 i=1(ai+bn+1)(an+1+bn+1)Q 16i;j6n(ai+bj)
Une reindexation (cf. Figure 1) assure alors que:
A n+1=Q 16i 16i;j6n+1(ai+bj)
Ce qui conclut.
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Remarque.Le passage de(1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde se fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit. Cette m^eme technique est utilise lors de la derniere etape de calcul du determinant de Cauchy.Maxime BOUCHEREAU 5 Universite Rennes 1-ENS Rennesquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
Theoreme(C alculdu d eterminantde Ca uchy)
On a cette formules explicite pour le determinant de Cauchy:C(a1;;an;b1;;bn) =
1a1+b11a
1+bn.........
1a n+b11a n+bn =Q16i 16i;j6n(ai+bj)Maxime BOUCHEREAU 2 Universite Rennes 1-ENS Rennes
Agregation externe de mathematiques 2019-2020
La demonstration de ces deux resultats se fait par recurrence. Demonstration
.La preuve de se theoreme se fait par recurrence surn: ?Initialisation:Au rangn= 2, on a: det 1a 1+b11a
1+b21a
2+b11a
2+b2 =1(a1+b1)(a2+b2)1(a1+b2)(a2+b1) (a2a1)(b2b1)(a1+b1)(a1+b2)(a2+b1)(a2+b2) ?Heredite:Soitn2Nnf0;1g. Supposons la formule vraie au rangn, et montrons-la au rangn+ 1, en introduisantan+1;bn+12C, puis en posant: A n+1=C(a1;;an+1;b1;;bn+1) On a alors:
A n+1= 1a 1+b11a
1+bn+1.........
1a n+1+b11a n+1+bn+1 En multipliant chaque colonneCjparan+1+bj, on obtient: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1+b1a 1+b1an+1+bn+1a
1+bn+1.........
a n+1+b1a n+b1an+1+bn+1a n+bn+111 Or, pour tousi2[[1;n]],j2[[1;n+ 1]], on aan+1+bja
i+bj= 1 +an+1aia i+bj, donnant ainsi: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1 + an+1a1a 1+b11 +an+1a1a
1+bn+1.........
1 + an+1ana n+b11 +an+1ana n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj LjLn+1: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1a1a 1+b1an+1a1a
1+bn+1.........
a n+1ana n+b1an+1ana n+bn+111 Maxime BOUCHEREAU 3 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj (an+1aj)Lj: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1a 1+b11a
1+bn+1.........
1a n+b11a n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationCj CjCn+1: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b 1+bn+1............
b n+bn+100 1 On developpe par rapport a la derniere ligne:
A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b b Pour tousi;j2[[1;n]], on eectue les operationsCj (bn+1bj)CjetLi (bn+1+ a i)Li: A 1a 1+b11a
1+bn.........
1a n+b11a n+bn |{z} =An En appliquant l'hypothese de recurrence, il vient: A n+1=Q n i=1(an+1ai)(bn+1bi)Q 16i n j=1(an+1+bj)Qn+1 i=1(ai+bn+1)(an+1+bn+1)Q 16i;j6n(ai+bj)
Une reindexation (cf. Figure 1) assure alors que:
A n+1=Q 16i 16i;j6n+1(ai+bj)
Ce qui conclut.
Maxime BOUCHEREAU 4 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Remarque.Le passage de(1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde se fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit. Cette m^eme technique est utilise lors de la derniere etape de calcul du determinant de Cauchy.Maxime BOUCHEREAU 5 Universite Rennes 1-ENS Rennesquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
16i;j6n(ai+bj)Maxime BOUCHEREAU 2 Universite Rennes 1-ENS Rennes
Agregation externe de mathematiques 2019-2020
La demonstration de ces deux resultats se fait par recurrence.Demonstration
.La preuve de se theoreme se fait par recurrence surn: ?Initialisation:Au rangn= 2, on a: det 1a1+b11a
1+b21a
2+b11a
2+b2 =1(a1+b1)(a2+b2)1(a1+b2)(a2+b1) (a2a1)(b2b1)(a1+b1)(a1+b2)(a2+b1)(a2+b2) ?Heredite:Soitn2Nnf0;1g. Supposons la formule vraie au rangn, et montrons-la au rangn+ 1, en introduisantan+1;bn+12C, puis en posant: A n+1=C(a1;;an+1;b1;;bn+1)On a alors:
A n+1= 1a1+b11a
1+bn+1.........
1a n+1+b11a n+1+bn+1 En multipliant chaque colonneCjparan+1+bj, on obtient: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1+b1a1+b1an+1+bn+1a
1+bn+1.........
a n+1+b1a n+b1an+1+bn+1a n+bn+111Or, pour tousi2[[1;n]],j2[[1;n+ 1]], on aan+1+bja
i+bj= 1 +an+1aia i+bj, donnant ainsi: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1 + an+1a1a1+b11 +an+1a1a
1+bn+1.........
1 + an+1ana n+b11 +an+1ana n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj LjLn+1: A n+1=1(an+1+b1)(an+1+bn+1) a n+1a1a1+b1an+1a1a
1+bn+1.........
a n+1ana n+b1an+1ana n+bn+111 Maxime BOUCHEREAU 3 Universite Rennes 1-ENS RennesAgregation externe de mathematiques 2019-2020
Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationLj (an+1aj)Lj: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) 1a1+b11a
1+bn+1.........
1a n+b11a n+bn+111 Pour toutj2[[1;n]], on eectue l'operationCj CjCn+1: A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b1+bn+1............
b n+bn+100 1On developpe par rapport a la derniere ligne:
A n+1=(an+1a1)(an+1an)(an+1+b1)(an+1+bn+1) b b Pour tousi;j2[[1;n]], on eectue les operationsCj (bn+1bj)CjetLi (bn+1+ a i)Li: A 1a1+b11a
1+bn.........
1a n+b11a n+bn |{z} =An En appliquant l'hypothese de recurrence, il vient: A n+1=Q n i=1(an+1ai)(bn+1bi)Q16i n j=1(an+1+bj)Qn+1 i=1(ai+bn+1)(an+1+bn+1)Q 16i;j6n(ai+bj)
Une reindexation (cf. Figure 1) assure alors que:
A n+1=Q 16i 16i;j6n+1(ai+bj)
Ce qui conclut.
Maxime BOUCHEREAU 4 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Remarque.Le passage de(1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde se fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit. Cette m^eme technique est utilise lors de la derniere etape de calcul du determinant de Cauchy.Maxime BOUCHEREAU 5 Universite Rennes 1-ENS Rennesquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
16i;j6n(ai+bj)
Une reindexation (cf. Figure 1) assure alors que:
A n+1=Q16i 16i;j6n+1(ai+bj)
Ce qui conclut.
Maxime BOUCHEREAU 4 Universite Rennes 1-ENS Rennes Agregation externe de mathematiques 2019-2020
Remarque.Le passage de(1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde se fait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
que cet indice est compte dans le produit. Cette m^eme technique est utilise lors de la derniere etape de calcul du determinant de Cauchy.Maxime BOUCHEREAU 5 Universite Rennes 1-ENS Rennesquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
16i;j6n+1(ai+bj)
Ce qui conclut.
Maxime BOUCHEREAU 4 Universite Rennes 1-ENS RennesAgregation externe de mathematiques 2019-2020
Remarque.Le passage de(1)a(2)lors du calcul du determinant de Vandermonde sefait par "re indexation" des termes:Figure 1: Illustration de la re indexation. Les cases marquees d'un carre noir signient
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