Déterminant de Vandermonde inégalité de Hadamard et PDF

Le déterminant de Vandermonde

Le déterminant de Vandermonde. Soient n un entier supérieur ou égal `a 2 et a1 D'apr`es le principe de récurrence on en déduit que P(n) est vraie pour ...

Calcul de deux déterminants classiques: Vandermonde et Cauchy

Démonstration. Montrons pour n ⩾ 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ⋆ Initialisation: On a pour n

Annexe Chapitre 3 : Compléments dalgèbre Calcul du déterminant

Calcul du déterminant de Vandermonde. Propriété 1 (Déterminant de Vandermonde) On procède par récurrence sur n. Initialisation : Pour n = 2 on a. V (x1

Déterminant de Vandermonde et corps cyclotomiques

Démonstration. Montrons pour n ⩾ 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ⋆ Initialisation: On a pour n

On a Recursion Formula Related to Confluent Vandermonde

determinant identity due to Schendel. 1. INTRODUCTION. Given an r-tuple. = (λ1

MATHÉMATIQUES 2

n ≥ on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes 1 2.

Deuxième épreuve CCINP 2022 – MP

déterminant de Vandermonde de n nombres complexes x1x2 ...

The determinants of matrices with recursive entries

Keywords: Determinant; LU-factorization; Recurrence relation; Vandermonde determinant. 1. Introduction. Bacher in [1] considers the determinants of matrices

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The monic orthogonal polynomials πn(x) satisfy a sim- ple recursive system of linear equations called the three-term recurrence. Van der Monde Determinant ...

POLYNOMIAL RECURRENCES AND CYCLIC RESULTANTS 1

cyclic resultants linear recurrence

Le déterminant de Vandermonde

Vandermonde l'élément de K défini par : 1.1 Relation de récurrence. On rappelle qu'on ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant `a une ligne ...

Déterminant de Vandermonde inégalité de Hadamard et

Démonstration. Sans perte de généralité on suppose les (xi) distincts. On procède par récurrence sur n; c'est vrai pour n = 1

Calcul de deux déterminants classiques: Vandermonde et Cauchy

Montrons pour n ? 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ? Initialisation: On a pour n = 2: V2(x1

Déterminant de Vandermonde et corps cyclotomiques

Démonstration. Montrons pour n ? 2 la formule du déterminant de Vandermonde par récurrence sur n. ? Initialisation: On a pour n = 2: V2(x1

Generalized Vandermonde Determinants and Characterization of

20 août 2016 Abstract. We present a different proof of the characterization of non–degenerate recurrence sequences which are also divisibility sequences ...

Calculs de déterminants

Exercice 7 Déterminant de Vandermonde. Montrer que Par le principe de récurrence la formule est vraie pour tout entier n ? 2.

Fiche n 2 : déterminants

Exercice 6 – un calcul de déterminant pas récurrence. Alexandre-Théophile Vandermonde né à Paris le 28 février 1735 et mort à Paris.

MATHÉMATIQUES 2

n ? on définit le déterminant de Vandermonde de n nombres complexes 1 2 L'objet de cet exercice est de démontrer par récurrence que l'on a :.

ON VANDERMONDE VARIETIES 1. Introduction The results in the

A linear recurrence relation with constant coefficients of order k is an equation of the form where W(x1...

CCP Maths 2 MP 2001 — Corrigé

2 Raisonner par récurrence sur la taille de la matrice compagnon 4.d Le déterminant de Vandermonde est le déterminant d'une base de vecteurs.

Déterminant de Vandermonde, inégalité de Hadamard et application à un problème d"optimisation Théorème.Soientx1,..,xn?C, on noteV(x1,..,xn)?Mn(C)la matrice dont le coefficient(i,j)estxi-1j, et on notev(x1,..,xn)son determinant. Alors v(x1,..,xn) =? Démonstration.Sans perte de généralité, on suppose les(xi)distincts. On procède par récurrence surn; c"est vrai pourn= 1, et si c"est vrai au rangn-1, on considère le polynômev(x1,..,xn-1,X): par un développement du déterminant selon la dernière ligne, on voit que c"est un polynôme de degréN-1par hypothèse de récurrence. Son coefficient dominant estv(x1,..,xn-1). De plus, il s"annule en les(xi)i=1..n-1, d"où v(x1,..,xn) =v(x1,..,xn-1)n-1? i=1(xn-xi)

D"où le résultat.Théorème.SoitA?Mn(C), on note(vi)i=1..nses colonnes, alors on a l"inégalité de

Hadamard :

i=1?vi?2 Avec égalité si et seulement si les(vi)sont deux à deux orthogonales. Démonstration.On utilise la décompositionQ,RdeA: on peut supposerAinversible et on applique le procédé de Gram-Schimdt à la famille(v1,..,vn), pour obtenir une famille de vecteur orthogonormaux(w1,..,wn).

On écritvj=?j

k=1wkRk,j, oùR?T+n(C), et on noteQla matrice orthogonale de colonnes(wj). On a alorsA=QR, et |det(A)|=|det(R)| n? i=1|Ri,i| ij=1R2j,i=?vi?2, avec égalité pour toutisi et seulement siRest diagonale, donc lesvisont orthogonales.Corollaire.SoitDle disque unité fermé, le maximum de f:?Dn→R (z1,..,zn)?→? vautnn/2et est atteint pour les polygônes réguliers exactement. 1

Démonstration.

f(z1,..,zn) =|detV(z1,..,zn)| n? i=1?1 +|zi|2+..+|zi|2(n-1)avec égalité ssi les((zj i)j)isont orthogonaux n? i=1⎷navec égalité ssi?i,|zi|= 1 =nn/2

Notons enfin que

??????1 z i z2i... z n-1i? ??????et? ??????1 z j z2j... z n-1j? ??????sont orthogonaux si et seulement sizi¯zj?Un.2quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Hadamard :

On écritvj=?j

Démonstration.

Notons enfin que