[PDF] Fiche n 2 : déterminants Exercice 6 – un calcul de

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Université de Lille - Licence de mathématiques 2année 2019-2020

Fiche n

2: déterminants

(environ 2 séances) Dans tout ce qui suit,K=RouCetn2Nn f0;1g.Généralités sur le déterminant

Exercice 1 - vrai ou faux.

Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier l"assertion ou citer le cours si la réponse est "vraie», et donner un contre-exemple simple sinon. (a) P ourtout (A;B)2Mn(K)2, on a :det(A+B) = det(A) + det(B). (b) P ourtout (A;B)2Mn(K)2, on a :det(A+B) = det(A)det(B). (c)

P ourtous A2Mn(K)et2K, on a :det(A) =det(A)

(d) P ourtout (A;B)2Mn(K)2tel queAetBsoientsemblables(voir la fiche n0), on a :det(A) = det(B). Exercice 2 - déterminant de matrices particulières.

1.Que peut-on dire du déterminant d"une matricenilpotenteA2Mn(K)(c"est-à-

dire qu"il existeN2Ntel queAN= 0)?

2.Que peut-on dire du déterminant d"une matriceA2Mn(K)telle queA2=In?

3.Que peut-on dire du déterminant d"une matriceantisymétriqueA2Mn(K)

(c"est-à-dire que tA=A) lorsquenest impair?Calculs de déterminants Exercice 3 - calcul d"un déterminant à l"aide d"opérations élémentaires. Pour(a;b)2K2, calculer le déterminant d"ordrensuivant : a bb b a .........b bb a (Indication : commencer par effectuer l"opération élémentaireC1 C1+nP j=2C j.)Exercice 4 - utilisation du déterminant pour savoir si une matrice est inversible.

1.Calculer, pourt2C, le déterminant de la matrice suivante sous forme factorisée :

A t=0 @1 1t 1t1 t1 11 A

2.En déduire les valeurs detpour lesquelles la matriceAtest inversible.

3.LorsqueAtn"est pas inversible, déterminer une base deKerAt.

Exercice 5 - déterminant d"une matrice circulante.

On posej= exp2i3

. On rappelle les relations :j3= 1et1 +j+j2= 0.

1.Montrer que les vecteurs suivants forment une base deC3:

u 1=0 @1 1 11 A ; u2=0 @1 j j 21
A ; u3=0 @1 j 2 j 31
A

2.Soient(a;b;c)2C3etfl"endomorphisme deC3canoniquement associé à la

matricecirculantesuivante : A=0 @a b c b c a c a b1 A Calculerf(u1),f(u2),f(u3)et écrire la matrice defdans la base(u1;u2;u3).

3.En calculant de déterminant defde deux manières différentes, obtenir une fac-

torisation de3abca3b3c3. Exercice 6 - un calcul de déterminant pas récurrence.

Calculer le déterminant d"ordrensuivant :

n= +a11 00 a 21...
a

30...0

.........1 a n00 où;a1;:::;an2K. (Indication : on pourra établir une relation de récurrence entre netn1et raisonner par récurrence.)

1Chapitre 2: déterminants

Université de Lille - Licence de mathématiques 2année 2019-2020Exercice 7 - déterminant de Vandermonde.

Alexandre-Théophile Vandermonde, né à Paris le 28 février 1735 et mort à Paris le 1er janvier 1796, est un mathématicien français. Il fut aussi économiste, musicien et chimiste, travaillant notamment avec Étienne Bézout et Antoine Lavoisier. Son nom est maintenant surtout associé à une matrice et son déterminant. Soit(x1;:::;xn)2Cn. On appelledéterminant de Vandermondele déterminant d"ordrensuivant :

V(x1;:::;xn) =

1 11 1

x

1x2xn1xn

x21x22x2n1x2n............ x n11xn12xn1n1xn1n L"objectif de cet exercice est de calculerV(x1;:::;xn), et de déterminer pour quels n-uplets(x1;:::;xn)2Cnce déterminant est non nul.

1.CalculerV(x1),V(x1;x2),V(x1;x2;x3).

2.Que peut-on dire deV(x1;:::;xn)sixi=xjpour(i;j)2 f1;:::;ng2tel que

i < j?

3.On fixe dans cette question des complexesx1;:::;xndeux à deux distincts.

3.1Montrer que l"applicationt7!V(x1;:::;xn1;t)est une fonction polynomiale

de degrén1. Autrement dit,V(x1;:::;xn1;T)2C[T]est un polynôme de degré au plusn1en la variableT.

3.2À l"aide de la question2, trouvern1racines distinctes du polynôme

V(x1;:::;xn1;T). En déduire une expression deV(x1;:::;xn1;T)en fonc- tion dex1;;xn1et deV(x1;:::;xn1;xn).

3.3CalculerV(x1;:::;xn1;0)et obtenir, à l"aide d"une récurrence surn2N,

une expression deV(x1;:::;xn)sous forme factorisée.

4.Montrer queV(x1;:::;xn)est non nul si et seulement si les complexesx1;:::;xn

sont deux à deux distincts.2Chapitre 2: déterminantsquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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