[PDF] V-formes-quadratiques.pdf Définition 3 – Une forme

View - Download V-formes-quadratiques.pdf

Previous PDF

Next PDF

UFR MATH

EMATIQUESFormes quadratiques

On se place sur unR-espace vectorielEdedimension nien.1.Formes bilineaires symetriques et formes quadratiques

1.1.Formes bilineaires symetriques

Denition 1 {Une forme bilineaire surEest une application':EE!Rlineaire par rapport a chacune de ses variables. Elle est dite symetrique si elle verie de plus :8(x;y)2EE; '(x;y) ='(y;x). Remarque -Si'est une forme bilineaire surE, alors, pour toutx2E,'(0;x) ='(x;0) = 0. Exemple -Soientfetgdeux formes lineaires surE. L'application'deEEdansR denie par'(x;y) =f(x)g(y) est une forme bilineaire denie surE. Proposition 2 {L'ensemble des formes bilineaires (respectivement bilineaires symetriques) sur unR-espace vectorielEest unR-espace vectoriel.1.2.Formes quadratiques Denition 3 {Une forme quadratiqueqsurEest une applicationq:E!Rveriant les deux conditions suivantes :

1)8x2E;82R; q(x) =2q(x)

2) L'application (x;y)7!12

[q(x+y)q(x)q(y)] est bilineaire symetrique. Proposition 4 {L'ensemble des formes quadratiques sur unR-espace vectorielEest un

R-espace vectoriel.

Theoreme 5 {Il existe un isomorphisme canonique entre l'espace vectoriel des formes

quadratiques et l'espace vectoriel des formes bilineaires symetriques.Demonstration :notonsQ(E)l'ensemble des formes quadratiques denies surEetB(E)

l'ensemble des formes bilineaires symetriques.

Soitq2Q(E). Posons(q) ='avec'(x;y) =12

[q(x+y)q(x)q(y)].(q)2B(E), ainsi denie, est bien une forme bilineaire symetrique. Soit'2B(E). Denissons0(')par0(')(x) ='(x;x)pour toutx2E. Un calcul montre que0(')2Q(E). Montrons queest inversible et que son inverse est0. Soit'2B(E). On a0(') = (q)avecq(x) ='(x;x). Or(q) ='0avec

0(x;y) =12

[q(x+y)q(x)q(y)] 12 ['(x+y;x+y)'(x;x)'(y;y)] ='(x;y) par bilinearite de'. On a donc0=IdB(E). On montre de m^eme que0=IdQ(E). L'applicationest donc bijective et1=0. Elle est lineaire par construction, d'ou le resultat. Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Denition 6 {Soitqune forme quadratique. L'unique forme bilineaire symetrique'telle que'(x;x) =q(x) pour toutx2Es'appelle la forme bilineaire symetrique associee aq. 1.3. Ecriture matricielleSoit (e1;:::;en) une base deE. Soientxetydeux vecteurs deEde coordonnees respectives (xi)1inet (yj)1jndans la base (e1;:::;en). Soit'une forme bilineaire symetrique denie surE. On a alors par bilinearite de': '(x;y) ='0 nX i=1x iei;nX j=1y jej1 A X

1i;jnx

iyj'(ei;ej) Reciproquement, soit (aij)1i;jnune famille de reels telle queaij=ajipour 1i;jn; alors l'application (x;y)7!X

1i;jna

ijxiyjest bilineaire symetrique. Denition 7 {Soit'une forme bilineaire symetrique denie surEet soit (e1;:::;en) une base deE. La matriceMdeMn(R) denie parMij='(ei;ej) s'appelle la matrice de' dans la base (e1;:::;en). SiXetYdesignent respectivement les matrices-colonnes des coordonnees dexet dey

dans la base (e1;:::;en), alors on a'(x;y) =tXMY=tY MXProposition 8 {Soit'une forme bilineaire symetrique denie surE. SiMest la matrice

de'dans la base (e1;:::;en), alors la matriceM0de'dans la base (e01;:::;e0n) estM0=tPAP, ouPest la matrice de passage de la base

(e1;:::;en) a la base (e01;:::;e0n).Demonstration :soientxetydes vecteurs deE. NotonsXetY(respectivementX0

etY0) les matrices-colonnes de leurs coordonnees respectives dans la base(e1;:::;en) (respectivement(e01;:::;e0n)). On aX=PX0etY=PY0. On en deduit que '(x;y) =tXMY=t(PX0)M(PY0) =tX0tPMPY0. D'ouM0=tPMP.Denition 9 {Soitqune forme quadratique. La matrice de la forme bilineaire symetrique associee aqdans une baseBs'appelle la matrice deqdans la baseB. Denition 10 {Deux matricesMetM0deMn(K) sont dites congruentess'il existe une matriceP2GLn(K) telle queM0=tPMP. Deux matrices sont donc congruentes si elles representent la m^eme forme bilineaire dans deux bases dierentes deE. Proposition 11 {La congruence est une relation d'equivalence.Demonstration :c'est une relation re exive car, pour toutM2Mn(R),M=tInMIn. Elle est symetrique car, siM0=tPMP, alorsM=tP1MP1. Enn c'est une relation transitive car siM00=tP0M0P0etM0=tPMP, alorsM00=tP0(tPMP)P0=

t(PP0)M(PP0)etPP0est bien une matrice inversible.1.4.Recherche de la forme bilineaire associee a une forme quadratique

Soit (e1;:::;en) une base deE. Une forme bilineaire symetrique'est une application de

EEdansRdenie par'(x;y) =tXMY=P

i;jmijxiyjouMest la matrice symetrique reelle denie parmij='(ei;ej). { 2 {

FORMES QUADRATIQUES

Une forme quadratique s'ecrit donc sous la forme : q(x) =X

1i;jnm

ijxixj=nX i=1m iix2i+ 2X

1i ijxixj: Reciproquement, si on se donne une forme quadratiqueq, on a alors q(x) =nX i=1m iix2i+ 2X

1i ijxixj: Pour retrouver la forme bilineaire associee'aq, on utilise la regle du dedoublement des termes : on remplace les termesx2iparxiyi on remplace le termexixjpar12 (xiyj+xjyi) On verie que, pour'ainsi construite, on a bien'(x;y) =12 [q(x+y)q(x)q(y)].2.Rang d'une forme bilineaire Soient'une forme bilineaire denie sur un espace vectorielEde dimension nie etxety deux vecteurs deE.

On denit deux formes lineaires'xet'ydeEpar

8y2E; 'x(y) ='(x;y)

8x2E; 'y(x) ='(x;y)

NotonsEle dual deE(c'est-a-dire l'ensemble des formes lineaires denies surE). Les deux applications deEdansEdenies parx7!'xety7!'ysont lineaires deE dansE. Soient (e1;:::;en) une base deE,Mla matrice de'dans cette base et (e1;:::;en) la base duale. On a, pour tout 1i;jn,mij='(ei;ej) donc la matricetM(respectivement M) represente l'endomorphismex7!'x(respectivementx7!'y) de la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en). En eet, lajeme colonne de la matrice representant l'endomorphismex7!'xdans les bases denies precedemment est la matrice-colonne des coordonnees de'ejdans la base (e1;:::;en). Posons'ej=nX i=1 iei. Comme'ej(ek) =nX i=1 iei(ek) =k='(ej;ek), la matrice representant l'endomorphismex7!'xde la base (e1;:::;en) dans la base (e1;:::;en) est donc bientM. De m^eme, poury7!'y. Denition 12 {On appelle rangd'une forme bilineaire'denie sur un espace vectorielE de dimension nie le rang commun de ces deux applications. On dit que'est non degenereesi son rang est egal a la dimension deE. Elle est dite degenereesinon. Proposition 13 {Une forme bilineaire est non degeneree si et seulement si la matrice qui la represente dans une base donnee deEest inversible. Elle est degeneree si et seulement s'il existex6= 0 tel que, pour tout y2E,'(x;y) = 0. Denition 14 {On appelle noyaude la forme quadratiqueq, et on note Kerq, l'ensemble fy2E;'(x;y) = 0g. Proposition 15 {Kerqest un sous-espace vectoriel deE. { 3 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Corollaire 16 {Une forme bilineaire'est non degeneree si et seulement si Kerq=f0g, ouqest la forme quadratique associee a'. Denition 17 {On dit qu'une forme quadratiqueqest deniesi on a, pour toutx2E, (x6= 0 =)q(x)6= 0). Proposition 18 {Siqest une forme quadratique denie, alors sa forme bilineaire associee

est non degeneree.Demonstration :montrons la contraposee. Soit'une forme bilineaire degeneree, alors il

existex6= 0tel que, pour touty2E,'(x;y) = 0. En particulierq(x) ='(x;x) = 0.

Doncqest non denie.Remarque -La reciproque est fausse. Il existe des formes bilineaires non degenerees ayant

une forme quadratique non denie. Par exemple, siE=R2,'(x;y) =x1y1x2y2est non degeneree etq(x) =x21x22est non denie carq(1;1) = 0.3.Formes quadratiques positives Denition 19 {Une forme quadratiqueqdeEest dite positive si, pour toutx2E, q(x)0.

Theoreme 20 {(Cauchy-Schwarz)

Soitqune forme quadratique positive et'sa forme bilineaire symetrique

associee. On a alors, pour tout (x;y)2EE['(x;y)]2q(x)q(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est realisee que sixetysont

proportionnels.Demonstration :pour toutt2R,q(x+ty)0. En developpant, on obtientt2q(y) + 2t'(x;y) +q(x)0. Siq(y) = 0, alors necessairement'(x;y) = 0et l'inegalite est veriee. Siq(y)6= 0, alors necessairement le discrimant du trin^ome est negatif ou nul, ce qui donne l'inegalite.

Supposons de plusqdenie avec'(x;y)2=q(x)q(y).

Siq(y) = 0, alorsy= 0etxetysont proportionnels.

Siq(y)6= 0, alors le discriminant du trin^ome s'annule et donc le trin^ome s'annule aussi. Il

existe donct2Rtel queq(x+ty) = 0. Orqest denie doncx+ty= 0.Remarque -L'inegalite de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilineaire

symetrique associee a une forme quadratique positive est continue.

Theoreme 21 {(Minkowski)

Soitqune forme quadratique positive surE. Alors, pour tout (x;y)2E2,pq(x+y)pq(x) +pq(y)De plus, siqest denie, l'egalite n'est veriee que s'il existe0 tel

quey=xou six= 0.Demonstration :q(x+y) =q(x) + 2'(x;y) +q(y)q(x) + 2pq(x)q(y) +q(y)d'apres l'inegaltie de Cauchy-Schwarz doncq(x+y)pq(x) +pq(y)2. Supposonsqdenie et l'egalite veriee. L'inegalite de Cauchy-Schwarz est alors egalement veriee. Donc on a soitx= 0soit il existe2Rtel quey=x. Or'(x;x) =pq(x)pq(x)0doncq(x)0, i.e.0. La reciproque est evidente.{ 4 {

FORMES QUADRATIQUES

4.Decomposition en carres d'une forme quadratique : methode de

GaussSoientEun espace vectoriel de dimensionnet (e1;:::;en) une base deE. Six2E, on note (x1;:::;xn) ses coordonnees dans la base (e1;:::;en). Soitqune forme quadratique non nulle denie surE. Pour toutx2E, on a q(x) =nX i=1m iix2i+ 2X

1i ijxixj: Proposition 22 {Il existenformes lineaires (`1;:::;`n) denies surElineairement independantesetnreels1;:::;ntels que, pour toutx2E, q(x) =nX i=1 i`i(x)2:Demonstration :par recurrence surn. Sin= 1, le resultat est evident. Supposons que toute forme quadratique den1variables s'ecrit comme la somme de carres de formes lineaires independantes.

1er cas : il existei2 f1;:::;ngtel quemii6= 0.

Supposons (quitte a renumeroter les variables) quei= 1; on ecrit q(x) =m11x21+ 2x1nX j=2m

1jx1xj+R(x2;:::;xn)

ouRest une forme quadratique den1variables. Posonsf(x2;:::;xn) =nX j=2m

1jx1xj;

fest une forme lineaire surE. On ecrit alors q(x) =m11 x

1+f(x2;:::;xn)m

11 2 f2(x2;:::;xn)m

11+R(x2;:::;xn)

=m11 x

1+f(x2;:::;xn)m

11 2 +S(x2;:::;xn) ouSest une forme quadratique den1variables. En utilisant l'hypothese de recurrence, on peut alors ecrireqcomme la somme des carres denformes lineaires; elles sont bien lineairement independantes d'apres l'hypothese de recurrence et le fait que l'application (x1;:::;xn)7!x1+f(x2;:::;xn)m

11est independante desn1autres qui ne contiennent

pasx1.

2eme cas : pour touti2 f1;:::;ng,mii= 0.

Alors il existemij6= 0aveci6=j(car la forme quadratique est non nulle). Supposons (quitte a renumeroter les variables) quem126= 0; on ecrit q(x) =m12x1x2+x1f(x2;:::;xn) +x2g(x3;:::;xn) +T(x3;:::;xn) oufetgsont des formes lineaires etTune forme quadratique. On a alors q(x) =m12 (x1+gm

12)(x2+fm

12)fgm

212
+T m124 x

1+x2+f+gm

12 2 x

1x2+gfm

12 2 +Tfgm 12 { 5 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Tfgm

12est une forme quadratique den1variables; on peut alors utiliser l'hypothese

de recurrence et on conclut comme precedemment.

On a alors prouve le resultat par recurrence.Remarque -La methode de Gauss est une methode algorithmique. On verra plus loin

qu'elle permet de trouver explicitement une base deEorthogonale pourqet de determiner la signature deq.5.Bases orthogonales

5.1.Denition

SoitEun espace vectoriel de dimension nienmuni d'une forme bilineaire symetrique'.

On noteqla forme quadratique associee.

Denition 23 {Deux elementsxetydeEsont dits orthogonauxs'ils verient'(x;y) = 0. Denition 24 {On dit que la base (e1;:::;en) deEest orthogonale si'(ei;ej) = 0 des quei6=j. Proposition 25 {Une base deEest orthogonale pour la forme quadratiqueqsi et

seulement si la matrice deqdans cette base est diagonale.Demonstration :la matriceQdeqdans la base(e1;:::;en)est denie parQij='(ei;ej).

Elle est donc diagonale si et seulement si'(ei;ej) = 0pouri6=j.Proposition 26 {Soitqune forme quadratique. Si (e1;:::;en) est une base deE

orthogonale pourq, alors les vecteurseitels queq(ei) = 0 forment

une base du noyau deq.Demonstration :soit(e1;:::;en)une base deEorthogonale pourqetQla matrice deqdans

cette base.Qest une matrice diagonale dont les coecients diagonaux sontq(e1);:::;q(en). Or, siq(ej)6= 0, alorsejn'appartient pas au noyau deqet siq(ej) = 0, alorsejest orthogonal a tous les vecteurs de la base(e1;:::;en)donc a tous les vecteurs deE. On en deduit queejappartient au noyau deq. Reciproquement, soitxun vecteur du noyau deq. Posonsx=x1e1++xnen. On a, pour touti2 f1;:::;ng,'(ei;x) = 0. Or'(ei;x) =xiq(ei). Donc siq(ei)6= 0, alors x i= 0et on a montre quexest combinaison lineaire des vecteurseitels queq(ei) = 0.

Ces vecteurs forment alors bien une base du noyau deq.Remarque -Siqest non degeneree, alors son noyau est reduit au vecteur nul.5.2.Construire une base orthogonale

Soitqune forme quadratique denie sur un espace euclidienE. On note'la forme bilineaire symetrique associee aq. Theoreme 27 {Soient`1;:::;`pdes formes lineaires deEdansRlineairement independantes et1;:::;pdes reels tous non nuls tels que q(x) =1`1(x)2++p`p(x)2. Il existe une base (e1;:::;en) deEorthogonale pourqtelle que q(ei) =i.Demonstration :completons le systeme(`1;:::;`p)en une base(`1;:::;`n)deE. On note (e1;:::;en)la base duale. On a alors'(ei;ej) =1`1(ei)`1(ej)++p`p(ei)`p(ej). Or, par construction,`k(ei)`k(ej) =ikjk. Donc, sii6=j, alors`k(ei)`k(ej) = 0. On en deduit que, sii6=j, alors'(ei;ej) = 0. La base(e1;:::;en)est donc orthogonale pourq.

De plus,q(ei) =i`i(ei)`i(ei) =i.{ 6 {

FORMES QUADRATIQUES

Corollaire 28 {Pour toute forme quadratiqueqsurE, il existe des bases orthogonales de

Epourq.

Corollaire 29 {Soient`1;:::`pdes formes lineaires deEdansRlineairement independantes et1;:::;pdes reels tous non nuls tels que q(x) =1`1(x)2++p`p(x)2. La forme quadratiqueqest positive si et seulement si lesisont tous positifs. La forme quadratiqueqest denie positive si et seulement sip=net les isont tous positifs.5.3.Signature d'une forme quadratique Soitqune forme quadratique denie sur un espace euclidienE. On note'la forme bilineaire symetrique associee aq.

Theoreme 30 {(loi d'inertie de Sylvester)

Il existe un couple (s;t) d'entiers naturels tel que, pour toute base (e1;:::;en) deEorthogonale pourq, ousest le nombre de vecteursei tels queq(ei)>0 ettest le nombre de vecteurseitels queq(ei)<0.

Denition 31 {Le couple (s;t) s'appelle la signaturede la forme quadratiqueq.Demonstration :soient(e1;:::;en)et(f1;:::;fn)deux bases orthogonales pour la forme

quadratiqueq. Notonss(respectivements0) le nombre de vecteurs de la base(e1;:::;en) (respectivement(f1;:::;fn)) tels queq(ei)>0(respectivementq(fi)>0) ett(respec- tivementt0) le nombre de vecteurs de la base(e1;:::;en)(respectivement(f1;:::;fn)) tels queq(ei)<0(respectivementq(fi)<0). Le rang deqest egal au rang de la matrice deq dans l'une des deux bases donc rangq=s+t=s0+t0. SoitFle sous-espace vectoriel deEengendre par leseitels queq(ei)>0. On a dimF=s. SoitGle sous-espace vectoriel deEengendre par lesfitels queq(fi)0. On adimG=ns0. OrF\G=f0g. En eet, six=x1e1++xnen, alors q(x) =x21q(e1) ++x2nq(en). Donc, six2Fn f0g, alorsq(x)>0. De m^eme, si x=1f1++nfn, alorsq(x) =21q(f1) ++2nq(fn). Donc, six2G, alors q(x)0.

On a alors

dim(F+G) = dimF+ dimGdim(F\G) =s+ns0dimE=n: On a donc montre quess0. Un raisonnement similaire (en echangeant le r^ole des bases) permet de montrer ques0s. On en deduit ques=s0, puis quet=t0par l'egalite s+t=s0+t0.6.Produit scalaire SoitEunR-espace vectoriel de dimension nie.6.1.Espace euclidien Denition 32 {On appelle produit scalairesurEune forme bilineaire symetrique telle que la forme quadratique associee soit denie positive. On appelle espace euclidienun espace vectoriel de dimension nie muni d'un produit scalaire. Proposition 33 {'est un produit scalaire surEsi et seulement si il existe une base de Eorthogonale pourq, forme quadratique associee a', dans laquelle la

matrice deqest la matrice identite.Demonstration :c'est une consequence immediate de la proposition25.{ 7 {

Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Corollaire 34 {SiEest de dimensionn, la forme bilineaire symeetrique associee a une forme quadratiqueqest un produit scalaire si et seulement si la signature deqest egale a (n;0). Proposition 35 {Soit (E;') un espace euclidien. L'applicationx7!p'(x;x) est une norme surEdite norme euclidienne. On noterakxk=p'(x;x). Theoreme 36 {Soit (E;') un espace euclidien de dimension nie. L'applicationx7!'x deEdansEest un isomorphisme canonique ou on a note'xla forme lineaire deEdansRdenie par'x(y) ='(x;y).

On deduit de ce theoreme :

toute application lineairefdeEdansRpeut s'ecrire de maniere unique sous la forme '(x;:), c'est-a-dire :quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] dessin industriel cours pdf

[PDF] coupes et sections dessin technique exercices corrigés

[PDF] bases du dessin technique pdf

[PDF] dessin technique

[PDF] cours et exercices avec solutions

[PDF] dessin technique exercices corrigés pdf

[PDF] cours de dessin technique mécanique pdf

[PDF] cours d'échographie gratuit

[PDF] manuel d'échographie

[PDF] cours echographie abdominale pdf

[PDF] prf doppler

[PDF] principe d'échographie

[PDF] cryptography engineering design principles and practical applications

[PDF] cryptographie pdf

[PDF] applied cryptography