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Formes quadratiques
Montrer que Q est une forme quadratique sur E. 2. Déterminer sa signature. Correction ?. [005812]. Exercice 8 ** I.
TD7 : formes quadratiques
g) Il est classique que f est la forme quadratique associée au produit tP(t)Q (t)dt et f(P) = B(P P). a) Montrer que B est une forme bilinéaire.
Université Paris VII 2009-2010 CM4 Groupe concours TD1 Formes
Montrer que q est une forme quadratique et expliciter sa forme polaire b. 2. Calculer la matrice de b dans la base canonique B = (X0 X
Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
Si E est de dimension finie et E une base de E la matrice M de la forme quadratique q dans la base E est la matrice de sa forme polaire. La forme quadratique s
Leçon 170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de
La forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique q est unique Pour montrer ce théorème
Examen “Algèbre bilinéaire”
Pour toute matrice A ? E on pose q(A) = tr(A2). 1. Montrer que q est une forme quadratique sur E et déterminer sa forme polaire (en cherchant à minimiser les
Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens
On suppose que E est de dimension finie n ? N?. Soient ? une forme hermitienne q la forme quadratique hermitienne associée et e = (e1
chapitre 2 formes quadratiques
Soit q une forme quadratique de forme polaire . Alors est donnée par . PREUVE: • Il faut montrer que est bilinéaire symétrique. • q lui est associée.
Sommaire 1. Produit Scalaire sur E
Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique Théorème : Si q une forme quadratique sur E
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Montrer que l'application q : E ?? k u ?? ? ? ? n=0 u2 n est une forme quadratique sur E associée `a la forme bi- linéaire symétrique
[PDF] CHAPITRE 2 FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES ET FORMES
Si q est une forme quadratique sur E alors il existe une unique forme bilinéaire symétrique ? telle que q(x) = ?(x x) pour tout x ? E Démonstration
Comment montrer que c'est une forme quadratique ?
On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait q ( x ) = ? ( x , x ) .Comment calculer le noyau d'une forme quadratique ?
Il te faut 2 vecteurs de l'espace vectoriel ambiant pour calculer une valeur de g. Par ailleurs, le noyau de g est l'ensemble des vecteurs v tels que g(v,w)=0 pour tout w, et non pas l'ensemble des vecteurs v tels que g(v,v)=0. Si tu calcules l'ensemble des vecteurs isotropes, tu trouveras bien 0.Quand Dit-on qu'une forme quadratique est positive ?
La forme quadratique est non dégénérée si et seulement si p + s = n . On dit que est positive (ou que est positive) si : ? x ? E , q ( x ) ? 0 .- Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu'elle est linéaire par rapport à une variable, au choix, et qu'elle est symétrique. en faisant jouer la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable. On obtient bien la deuxième linéarité.
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Chapitre 2
Formes bilin´eaires sym´etriques,
formes quadratiques2.1 Formes bilin´eaires sym´etriques
Dans ce qui suit,Eest un espace vectoriel sur un corpsK.2.1.1 D´efinition
D´efinition 2.1
Une application
b:E×E-→K est appel´ee uneforme bilin´eairequand ?x1,x2,y?E?λ?Kb(x1+λx2,y) =b(x1,y) +λb(x2,y) ?x,y1,y2?E?λ?Kb(x,y1+λy2) =b(x,y1) +λb(x,y2) (bilin´earit´e = lin´earit´e `a gauche + lin´earit´e `a droite).On dit quebestsym´etriquequand
?x,y?E b(x,y) =b(y,x). Remarquer que la sym´etrie permet de ne v´erifier la lin´earit´e que d"un seul cˆot´e.Exemples:
1. E=K. La multiplication (x,y)?→xyest une forme bilin´eaire sym´etrique surK×K. 56CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
2.E=R2. Le produit scalaire usuel
µµx1
x ,µy1 y ?→x1y1+x2y2 est une forme bilin´eaire sym´etrique surR2×R2. 3.E=C([-1,1],R). L"application
C0([-1,1],R)× C0([-1,1],R)-→R
(f,g)?-→Z 1 -1f(t)g(t)dt est une forme bilin´eaire sym´etrique. 4.E=Mn(K). L"application
M n(K)×Mn(K)-→K (A,B)?-→trace(AB) est une forme bilin´eaire sym´etrique (v´erifier la sym´etrie).2.1.2 Matrice d"une forme bilin´eaire sym´etrique
On suppose
Ede dimension finien. SoitE= (e1,...,en) une base deE. Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique surE×E.D´efinition 2.2
La matriceME(b)debdans la baseEest la matrice sym´etrique n×nqui a pour coefficientsb(ei,ej)(i num´ero de ligne entre 1 etn,jnum´ero de colonne entre 1 etn). Sixetysont des ´el´ements deEdont les vecteurs colonnes de coordonn´ees dans la baseEsontXetYrespectivement, on a b(x,y) =tX ME(b)Y . Dans l"autre sens, siMest une matrice sym´etrique dansMn(K), alors (x,y)?→tX M Y(o`uXetYsont les vecteurs colonnes des coordonn´ees de xetydans la baseE) est bien une forme bilin´eaire sym´etrique.Exemple:µ3 1
est la matrice (dans la base canonique) de la forme bilin´eaire sym´etriqueµµx1
x ,µy1 y ?-→3x1y1-2x2y2+x1y2+x2y1. SoitE?une autre base deEetPla matrice de changement de base deE `aE?.2.1. FORMES BILIN
´EAIRES SYM´ETRIQUES7
Rappel : Changement de base.
D´efinition 2.3
La matrice de changement de base deE`aE?= (e?1,...,e?n)est la matrice inversibleP dont laj-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees dee?jdans la baseE.Proposition 2.4
Soitxun ´el´ement deE,X(respX?) le vecteur colonne de ses coodonn´ees dansE (resp.E?). AlorsX=P X?. Soituun endomorphisme deE,M(resp.M?) sa matrice dans la baseE (resp.E?). AlorsM?=P-1AP. Proposition 2.5 (Changement de base pour les f.b.s.)La matrice de
la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle baseE?est ME?(b) =tP ME(b)P .
2.1.3 Forme bilin´eaire et dualit´e
Soitb:E×E→Kune forme bilin´eaire sym´etrique. Pour toutx?E, l"application b(·,x) :E-→K y?-→b(y,x) est une forme lin´eaire surK, c"est `a dire un ´el´ement du dualE?.Proposition 2.6
L"application
b:E-→E? x?-→b(·,x) est lin´eaire. On appelle?bl"application lin´eaire deEdans son dual associ´ee `a la forme bilin´eaire sym´etriqueb. SiEest de dimension finie etEest une base deE, alors la matrice debdansEest ´egale `a la matrice de?b:E→E?o`uEest muni de la baseEetE?de la base dualeE?.D´efinition 2.7
Lenoyaude la forme bilin´eaire sym´etriqueb, not´eker(b) est le noyau de?b, c.-`a-d. : ker(b) ={x?E| ?y?E b(y,x) = 0}. La forme bilin´eaire sym´etriquebest ditenon d´eg´en´er´eequand son noyau est r´eduit `a{0}. SiEest de dimension finie, lerangdebest le rang de l"application?b, c.-`a-d. aussi le rang de la matrice debdans une base deE.8CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
On peut v´erifier que toutes les formes bilin´eaires sym´etriques donn´ees en exemple apr`es la d´efinition 2.1 sont non d´eg´en´er´ees. En dimension finie, une forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Eest donc non d´eg´en´er´ee si et seulement si sa matrice dans une base deEest inversible.Proposition 2.8
Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee sur E×E, o`uEest de dimension finie. Alors, pour toute forme lin´eaire??E?, il existe un uniquex?Etel que ?y?E ?(y) =b(y,x).2.1.4 Orthogonalit´e
Dans ce paragraphe,best une forme bilinaire sym´etrique surE×E.D´efinition 2.9
SoitFun sous-espace vectoriel deE. L"orthogonal deF pourbest le sous-espace deEd´efini par F ?={x?E| ?y?F b(y,x) = 0} Par exemple, pour le produit scalaire dansR3, l"orthogonal d"une droite vectorielleDest bien le plan vectoriel orthogonal (au sens usuel) `aD. Le lien avec l"orthogonal pour la dualit´e se fait grˆace `a l"application lin´eaire?b:E→E?associ´ee `ab.Proposition 2.10
F ?= (?b(F))◦.Th´eor`eme 2.11
On supposeEde dimension finien.
Sibest non d´eg´en´er´ee, alorsdim(F?) =n-dim(F). En g´en´eraldim(F?) =n-dim(F) + dim(F∩ker(b)).Proposition 2.12
On a toujoursF?(F?)?. SiEest de dimension finie
etbnon d´eg´en´er´ee, on aF= (F?)?.2.2 Formes quadratiques
A partir de maintenant et pour tout le reste du chapitre, le corpsKest suppos´e de caract´eristique diff´erente de 2, ce qui veut dire que 2?= 0 dansK (par exemple,Z/2Zest exclu). On d´esigne toujours parEun espace vectoriel surK.2.2. FORMES QUADRATIQUES9
2.2.1 D´efinitions
D´efinition 2.13
Une applicationq:E→Kest appel´ee forme quadratique surEs"il existe une forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Etelle que ?x?E q(x) =b(x,x). La forme quadratiqueqest diteassoci´ee `a la forme bilin´eaire sym´etrique b. Les formes quadratiques associ´ees aux formes bilin´eaires sym´etriques donn´ees en exemple apr`es la d´efinition 2.1 sont respectivement 1. x?→x2(surK), 2. x1 x ?→x21+x22(surR2), 3. f?→R1 -1f(t)2dt(surC0([-1,1],R)), 4.A?→trace(A2) (surMn(K)).
Proposition 2.14
Siqest une forme quadratique surE, alors il existe une unique forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Etelle queqsoit associ´ee `ab. On l"appelle laforme polaire deq, et elle est d´efinie par b(x,y) =1 2 (q(x+y)-q(x)-q(y)). SiEest de dimension finie etEune base deE, lamatriceMde la forme quadratiqueqdans la baseEest la matrice de sa forme polaire. La forme quadratique s"exprime alors matriciellement commeq(x) =tX M X, o`uXest le vecteur colonne des coordonn´ees dexdansE. Une forme quadratiqueqs"exprime comme un polynˆome homog`ene du second degr´e en fonction des coordonn´ees (x1,...,xn) : c"est une somme de monˆomes enx2iouxixj. Par exemple, la forme quadratique q(x1,x2,x3) =x21+ 7x22+ 6x1x2-2x1x3+ 8x2x3 a pour matrice 0 @1 3-1 3 7 4 -1 4 01 A Une forme quadratiqueqest ditenon d´eg´en´er´eequand sa forme polaire l"est. On d´efinit lenoyauet lerangd"une forme quadratique comme ceux de sa forme polaire. De mˆeme, l"orthogonal d"un sous-espacepour une forme quadratique est son orthogonal pour la forme polaire.10CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
D´efinition 2.15
Un ´el´ementxdeEest ditisotropepour la forme qua- dratiqueqquandq(x) = 0. Exemple: La forme quadratiqueqsurR2d´efinie parq(x1,x2) =x21-x22 a pour matriceµ1 0 . Elle est non d´eg´en´er´ee, son noyau est r´eduit `a {0}. Mais l"ensemble de ses vecteurs isotropes est la r´eunion des deux droites vectorielles d"´equationsx2=x1etx2=-x1.Proposition 2.16
Soitqune forme quadratique surE. Sixest un ´el´ement non isotrope deE, alorsVect(x)?est un hyperplan deEsuppl´ementaire deVect(x).
2.2.2 Base orthogonale, d´ecomposition en carr´es
D´efinition 2.17
Soitqune forme quadratique sur un espace vectorielEde dimension finien, et soitbsa forme polaire. Une base(e1,...,en)deEest diteorthogonale (pourq)quandb(ei,ej) = 0pour tout couple(i,j)avec i?=j. Autrement dit, une base est orthogonale pourqquand la matrice deq dans cette base est diagonale.Th´eor`eme 2.18
Toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimen- sion finie admet des bases orthogonales. Le carr´e d"une forme lin´eaire est une forme quadratique. Le th´eor`eme suivant permet de d´ecomposer n"importe quelle forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension finie en carr´es de formes lin´eaires. Th´eor`eme 2.19 (D´ecomposition en carr´es)Soitqune forme quadra-
tique sur un espace vectorielEde dimension finien. Alors il existe des formes lin´eaires lin´eairement ind´ependantes?1,...,?r?E?et des constantes non nullesc1,...,cr?Ktelles que q=c1?21+···+cr?2r. Dans toute d´ecomposition de ce type (avec les?ilin´eairement ind´ependantes), le nombrerde formes lin´eaires est ´egal au rang deq. Le th´eor`eme de d´ecomposition en carr´es est une cons´equence du th´eor`eme d"existence de bases orthogonales. Mais on l"obtient aussi de mani`ere algorith- mique, au moyen de l"algorithme de Gauss. Cet algorithme, ´etant donn´e une forme quadratiqueq(x1,...,xn) ennvariables, produit une d´ecomposition en carr´es. Il proc`ede par r´ecurrence sur le nombre de variables. Pour ´eliminer les variables, on distingue deux cas.2.2. FORMES QUADRATIQUES11
1. La forme quadratiqueqcontient le carr´e d"une variable. On peut sup- poser qu"il s"agit dex21, etqpeut alors s"´ecrire q(x1,...,xn) =cx21+x1?(x2,...,xn) +r(x2,...,xn), o`ucest une constante non nulle,?une forme lin´eaire etrune forme quadratique. On compl`ete alors le carr´e en q=c(x1+12c?)2+r-1
c ?2.On a bien quex1+1
2c?(x2,...,xn) est une forme lin´eaire, et
q ?(x2,...,xn) =r(x2,...,xn)-1 c ?(x2,...,xn)2 est une forme quadratiquequi ne d´epend plus de la variablex1. 2. La forme quadratiqueqne contient aucun carr´e de variable. Si elle est non nulle, elle contient au moins un produit de variablesxixj. On peut supposer qu"il s"agit dex1x2, et alorsqpeut s"´ecrire q(x1,...,xn) =cx1x2+x1?(x3,...,xn)+x2m(x3,...,xn)r(x3,...,xn), o`ucest une constante non nulle,?etmdes formes lin´eaires etrune forme quadratique. On compl`ete le produit en q=c(x1+1 c m)(x2+1 c ?) +r-1 c ?m . On transforme le produit des formes lin´eairesk1=x1+1 c metk2= x 2+1 c ?en k 1k2=1 4¡(k1+k2)2-(k1-k2)2¢,
qui est une combinaison lin´eaire des carr´es de formes lin´eairesk1+k2 etk1-k2. Il reste apr`es la forme quadratique q ?(x3,...,xn) =r(x3,...,xn)-1 c ?(x3,...,xn)m(x3,...,xn), qui ne d´epend plus des variablesx1etx2. L"algorithme de Gauss produit une d´ecomposition en carr´es q=c1?21+···+cr?2r avecc1,...,cr´el´ements non nuls deKet?1,...,?rdes formes lin´eaireslin´eai- rement ind´ependantessurKn. On peut alors compl´eter cette famille libre en une base (?1,...,?r,?r+1,...,?n) de (Kn)?. La base duale (e1,...,en) deKn sera une base orthogonale pourq, dans laquelle la matrice deqest diagonale avecc1,...,cr,0,...,0 comme coefficients diagonaux.12CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
2.3 Classification des formes quadratiques
2.3.1 Matrices congruentes
D´efinition 2.20
Deux matricesAetBdeMn(K)sont dites congruentes
(surK) quand il existe une matricePinversible dansMn(K)telle queB= tP AP. La relation de congruence est une relation d"´equivalence. Soitqune forme quadratique sur un espace vectorielEde dimensionn, Ala matrice deqdans une baseEdeE. Une matrice sym´etriqueBde taille nest congruente `aAsi et seulement s"il existe une baseFdeEdans laquelleBest la matrice deq.
2.3.2 Classification surC
Proposition 2.21
Soitqune forme quadratique de rangrsur unC-espace
vectorielEde dimensionn. Alors il existe une base deEdans laquelle la matrice deqest 0 BBBBBBBB@r
z 1 10 0 0 01 CCCCCCCCA.
Th´eor`eme 2.22
Deux matrices sym´etriques complexes sont congruentes surCsi et seulement si elles ont mˆeme rang.
2.3.3 Classification surR, signature
D´efinition 2.23
Une forme quadratiqueqsur un espace vectoriel r´eelEest dited´efinie positive(resp. n´egative) quand, pour toutx?Enon nul, on aq(x)>0(resp.q(x)<0). Th´eor`eme 2.24 (Th´eor`eme d"inertie de Sylvester)SoitEun espace
vectoriel de dimensionnsurR. Soitqune forme quadratique surEetE une base deEorthogonale pourq. Soit0 B @a 10 0an1quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] coupes et sections dessin technique exercices corrigés
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