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Définition 3 – Une forme quadratique q sur E est une application q : E ? R Remarque - L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme ...
Formes quadratiques
Montrer que Q est une forme quadratique sur E. 2. Déterminer sa signature. Correction ?. [005812]. Exercice 8 ** I.
TD7 : formes quadratiques
g) Il est classique que f est la forme quadratique associée au produit tP(t)Q (t)dt et f(P) = B(P P). a) Montrer que B est une forme bilinéaire.
Université Paris VII 2009-2010 CM4 Groupe concours TD1 Formes
Montrer que q est une forme quadratique et expliciter sa forme polaire b. 2. Calculer la matrice de b dans la base canonique B = (X0 X
Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
Si E est de dimension finie et E une base de E la matrice M de la forme quadratique q dans la base E est la matrice de sa forme polaire. La forme quadratique s
Leçon 170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de
La forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique q est unique Pour montrer ce théorème
Examen “Algèbre bilinéaire”
Pour toute matrice A ? E on pose q(A) = tr(A2). 1. Montrer que q est une forme quadratique sur E et déterminer sa forme polaire (en cherchant à minimiser les
Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens
On suppose que E est de dimension finie n ? N?. Soient ? une forme hermitienne q la forme quadratique hermitienne associée et e = (e1
chapitre 2 formes quadratiques
Soit q une forme quadratique de forme polaire . Alors est donnée par . PREUVE: • Il faut montrer que est bilinéaire symétrique. • q lui est associée.
Sommaire 1. Produit Scalaire sur E
Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique Théorème : Si q une forme quadratique sur E
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2 nov 2014 · On va montrer dans ce mémoire que l'étude algébrique des formes quadratiques permet de déduire des résultats aussi bien en géométrie qu'en
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Soit q une forme quadratique de forme polaire Alors est donnée par PREUVE: • Il faut montrer que est bilinéaire symétrique • q lui est associée
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(3) q(?x + ?y) = ?2q(x)+2??f(x y) + ?2q(y) est une forme quadratique par rapport à (??) Théorème 1 2 L'application q de E dans K qui à x de E associe l'
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Montrer que l'application q : E ?? k u ?? ? ? ? n=0 u2 n est une forme quadratique sur E associée `a la forme bi- linéaire symétrique
[PDF] CHAPITRE 2 FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES ET FORMES
Si q est une forme quadratique sur E alors il existe une unique forme bilinéaire symétrique ? telle que q(x) = ?(x x) pour tout x ? E Démonstration
Comment montrer que c'est une forme quadratique ?
On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait q ( x ) = ? ( x , x ) .Comment calculer le noyau d'une forme quadratique ?
Il te faut 2 vecteurs de l'espace vectoriel ambiant pour calculer une valeur de g. Par ailleurs, le noyau de g est l'ensemble des vecteurs v tels que g(v,w)=0 pour tout w, et non pas l'ensemble des vecteurs v tels que g(v,v)=0. Si tu calcules l'ensemble des vecteurs isotropes, tu trouveras bien 0.Quand Dit-on qu'une forme quadratique est positive ?
La forme quadratique est non dégénérée si et seulement si p + s = n . On dit que est positive (ou que est positive) si : ? x ? E , q ( x ) ? 0 .- Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu'elle est linéaire par rapport à une variable, au choix, et qu'elle est symétrique. en faisant jouer la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable. On obtient bien la deuxième linéarité.
Formes quadratiques
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1**Rang et signature des formes quadratiques suivantes :1.Q((x;y;z)) =2x22y26z2+3xy4xz+7yz.
2.Q((x;y;z)) =3x2+3y2+3z22xy2xz2yz
3.Q((x;y;z;t)) =xy+yz+zt+tx.
4.Q((x;y;z;t)) =x2+(4+l)y2+(1+4l)z2+lt2+4xy+2xz+4(1l)yz+2lyt+(14l)zt.
5.Q((x1;:::;x5)) =å16i 6.Q((x1;:::;xn)) =å16i;j6nijxixj.
7.Q((x1;:::;xn)) =åi16i;j6nxixj.
8.Q((x1;:::;xn)) =å16i;j6nInf(i;j)xixj.
8f2L(R2),Q(f) =lTr(f2)+mdet(f).
1. Vérifier que Qest une forme quadratique surE.
2. Déterminer en fonction de letmle rang et la signature deQ. Analyser en particulier les cas(l;m) = (1;0)et(l;m) = (0;1). On suppose quejest non dégénérée mais non définie. Montrer queQn"est pas de signe constant.
afi(t)fj(t)dtpuis pour(x1;:::xn)2Rn,Q((x1;:::;xn)) =å16i;j6nbi;jxixj. 1. Montrer que Qest une forme quadratique positive.
1 2.Montrer que Qest définie positive si et seulement si la famille(f1;:::;fn)est libre.
3. Ecrire la matrice de Qdans la base canonique deRndans le cas particulier :8i2[[1;n]],8t2[a;b], f i(t) =ti1. Q((x1;:::;xn)) =det0
B BB@0x1:::xn
x 1...S x n1 C CCA. Montrer queQest une forme quadratique définie positive. suivantes : 1.Q((x;y)) =x2+10xy+y2.
2.Q((x;y)) =6x2+4xy+9y2.
3.Q((x;y;z)) =4x2+9y2z2+2p6xy+10p2xz+2p3yz.
1. Montrer que Qest une forme quadratique surE.
2. Déterminer sa signature.
inversibleTtelle queA=tTT. égal au produit de ses coefficients diagonaux (utiliser l"exercice 8 Correction del"exer cice1 N1.1èresolution.LamatricedelaformequadratiqueQdanslabasecanoniquedeR3estA=0
@232 2 32
272
272
61
A Le polynôme caractéristique deAest
c A= 2X32 2 32
2X72 272
6X = (2X) X 2+8X14
32
32
X2 2 2X+54 =X36X2+452 X=X X 2+6X452
PuisqueAest symétrique réelle, on sait que les valeurs propres deAsont réelles.cAadmet pour racines
0 et deux réels non nuls de signes contraires (puisque leur produit vaut452
). Par suite, le rang et la signature deQsont r=2 ets= (1;1).2ème solution.On effectue une réduction de GAUSS. Q((x;y;z)) =2x22y26z2+3xy4xz+7yz=2x2+x(3y4z)2y2+7yz6z2 =2 x+34 yz 2 234
yz 2 2y2+7yz6z2=2
x+34 yz 2 258
y2+10yz8z2 =2 x+34 yz 2 258
y85 z 2 Les formes linéaires(x;y;z)7!x+34
yzet(x;y;z)7!y85 zétant linéairement indépendantes, on retrouve le fait queQest de rangr=2 et de signatures= (1;1). La forme quadratiqueQest dégénérée
et n"est ni positive ni négative. 2. La matrice de Qdans la base canonique(i;j;k)estA=0 @311 1 31 11 31 A . Le nombre 4 est valeur propre deAet puisqueAest diagonalisable, 4 est valeur propre d"ordre dim(Ker(A4I3)) =3rg(A 4I3) =2. La dernière valeur proprelest fournie par 4+4+l=Tr(A) =9 et ?=1. Ainsi, Sp(A) =
(1;4;4). Les trois valeurs propres deAsont strictement positives et donc la forme quadratiqueQest de rang 3 et
de signature(3;0). Qest définie positive.3.Ef fectuonsune réduction de G AUSS. Q((x;y;z;t)) =xy+yz+zt+tx= (x+z)(y+t) =14
(x+y+z+t)214 (xy+zt)2. Puisque les deux formes linéaires(x;y;z;t)7!x+y+z+tet(x;y;z;t)7!xy+ztsont linéairement indépendantes, la forme quadratiqueQest de rangr=2 et de signatures= (1;1). 3 4.Ef fectuonsune réduction de G AUSS.
Q((x;y;z;t)) =x2+(4+l)y2+(1+4l)z2+lt2+4xy+2xz+4(1l)yz+2lyt+(14l)zt = (x+2y+z)2+ly2+4lz2+lt24lyz+2lyt+(14l)zt = (x+2y+z)2+l(y2z+t)2+zt= (x+2y+z)2+l(y2z+t)2+14 (z+t)214 (zt)2: Sil<0, la forme quadratiqueQest de rang 4 et de signature(2;2). Sil=0, la forme quadratiqueQest de rang 3 et de signature(2;1). Sil>0, la forme quadratiqueQest de rang 4 et de signature(3;1). 0 B BBB@0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
0 1 1 1 11
C CCCA. Les valeurs propres deAsont12
qui est d"ordre 4 et 2 qui est valeur propre simple.Donc, la signature de la forme quadratiqueQest s= (1;4).2ème solution.Effectuons une réduction de GAUSS. Q((x1;:::;x5)) =x1x2+x1(x3+x4+x5)+x2(x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5 = (x1+x3+x4+x5)(x2+x3+x4+x5)(x3+x4+x5)2+x3x4+x3x5+x4x5 14 (x1+x2+2x3+2x4+2x5)214 (x1x2)2x23x24x25x3x4x3x5x4x5 14 (x1+x2+2x3+2x4+2x5)214 (x1x2)2 x 3+12 x4+12 x5 2 34
x2412 x4x534 x25 14 (x1+x2+2x3+2x4+2x5)214 (x1x2)2 x 3+12 x4+12 x5 2 34
x 413
x5 2 56
x25; et on retrouves= (1;4). 6.Q(x1;:::;xn) = (x1+:::+xn)2et donc
r=1 ets= (1;0).7.Pour n>2,Q((x1;:::;xn)) = (åni=1ixi)ånj=1xj=14 (åni=1(i+1)xi)214 (åni=1(i1)xi)2. Donc r=2 ets= (1;1)car les deux formes linéaires(x1;:::;xn)7!åni=1(i+1)xiet(x1;:::;xn)7!åni=1(i1)xisont indépendantes
pourn>2. 4 8.Puisque la matrice de Qdans la base canonique est0
B BBBBBB@1 1 1:::1 1
1 2 2:::2 2
1 2 3:::3 3
1 2 3n1n1
1 2 3:::n1n1
C CCCCCCA
Q((x1;:::;xn)) =å
16i;j6nx
ixj+å 26i;j6nx
ixj+:::+å n16i;j6nx ixj+x2n = (x1+:::+xn)2+(x2+:::+xn)2+:::+(xn1+xn)2+x2n: Qest donc définie positive.Correction del"exer cice2 N1.Si la matrice de fdans la base canonique deR2estA=a c
b d Q(f) =l(a2+2bc+d2)+m(adbc).
Qest un polynôme homogène de degré 2 en les coordonnées defdans la base canonique deL(R2)et
doncQest une forme quadratique surL(R2). 2. • Si l=m=0,r=0 ets= (0;0). Sil=0 etm6=0, Q(f) =m4
(a+d)2m4 (ad)2mu4 (b+c)2+m4 (bc)2, et doncr=4 ets= (2;2). • Sil6=0, Q(f) =la2+mad+(2lm)bc+ld2=l
a+m2ld 2+(2lm)bc+
lm24l d 2 =l a+m2ld 2+ lm24l d 2+2lm4
(b+c)22lm4 (bc)2: Maintenant, les quatre formes linéaires(a;b;c;d)7!a+m2ld,(a;b;c;d)7!d,(a;b;c;d)7!b+cet (a;b;c;d)7!bcsont linéairement indépendantes. Donc - sim=2l(6=0),r=1, - sim=2l(6=2l),r=3, - sijmj 6=2jlj(6=0),r=4. En particulier, sil=1 etm=0, alorsr=4 ets= (3;1)et sil=0 etm=1,r=4 ets= (2;2).Correction del"exer cice3 NDans le cas oùEest de dimension finie, la signature deQpermet de conclure immédiatement. Supposons donc
queEn"est pas de dimension fine. Par hypothèse, il existe un vecteur non nulx0tel queQ(x0) =0. SupposonsQde signe constant. Ouite à
remplacerQparQ, on supposera queQest positive. D?après l"inégalité de CAUCHY-SCHWARZ(valable
pour les formes quadratiques positives) 5 8y2E;jj(x0;y)j6pQ(x0)pQ(y) =0.
Donc8y2E;j(x0;y) =0 etx0est dans le noyau dej. Puisquex06=0, on en déduit quejest dégénérée.
En résumé, siQest de signe constant,jest dégénérée ou encore sijest non dégénérée,Qn"est pas de signe
constant.Correction del"exer cice4 N1.Pour tout (x1;:::;xn)2Rn, Q(x1;:::;xn) =å16i;j6n
Rb afi(t)fj(t)dt x ixj=Rb aå16i;j6nxixjfi(t)fj(t)dt=Rb a(åni=1xifi(t))2dt> 0. Donc Q est une forme quadratique positive.
2. De plus, pour tout (x1;:::;xn)2Rn,Q((x1;:::;xn)) =0,åni=1xifi=0 (fonction continue positive d"intégrale nulle). Donc Qdéfinie, 8(x1;:::;xn)2Rn;[Q((x1;:::;xn)) =0)(x1;:::;xn) =0] , 8(x1;:::;xn)2Rn;[nå i=1x ifi=0)(x1;:::;xn) =0] (f1;:::;fn)libre: 3. Dans le cas particulier en visagé,la matrice de Qdans la base canonique deRnest la matrice de HILBERT
H n=1i+j1 16i;j6n.Correction del"exer cice5 NPosonsX=0
B @x 1... x n1 C AetA=0
B BB@0x1:::xn
x 1...S x n1 C CCA=0tX
X S Un calcul par blocs fournit
0tX X S 1 0 0S1 =0tXS1 X I n puis 0tX X S 1 0 0S11 0
X I n =0tXS1 X I n 1 0 X I n tXS1XtXS1 0In On en déduit que det(A)det(S1)(1) =tXS1Xpuis queQ(X) =det(A) =tX((det(S))S1)X=tXS0X oùS0= (det(S))S1. Maintenant, la matriceSest définie positive et donc ses valeurs propres sont des réels strictement positifs. Les
valeurs propres de la matriceS0sont lesdet(S)l oùldécrit le spectre deSet donc la matriceS0est aussi une matrice symétrique définie positive.Qest donc une forme quadratique définie positive.Correction del"exer cice6 N1.(Quand x2ety2ont les mêmes coefficients, penser à faire une rotation d"anglep4
) En posantx=1p2 (X+ Y)ety=1p2
(XY), on obtient x 2+10xy+y2=12
(X+Y)2+5(X+Y)(XY)+12 (XY)2=6X24Y2. 6 Ainsi, si on note(i;j)la base canonique deR2puise1=1p2 (i+j)ete2=1p2 (ij), on a x 2+10xy+y2=Q(xi+yj) =Q(Xe1+Ye2) =6X24Y2.
2. La matrice de Qdans la base canonique(i;j)deR2estA=6 2 2 9 . Les deux nombres 5 et 10 ont une somme égale à 15=Tr(A)et un produit égal à 50=det(A)et sont donc les valeurs propres deA.
On sait alors que dans une base orthonormée(e1;e2)de vecteurs propres deAassociée à la famille de
valeurs propres(5;10), on aQ(Xe1+Ye2) =5X2+10Y2. Déterminons une telle base. (A5I2)x y =0 0 ,x+2y=0 et donc Ker(A5I2)=Vect(e1)oùe1=1p5 (2;1)puis Ker(A 10I2) = (Ker(A5I2))?=Vect(e2)oùe2=1p5
(1;2). Donc, sie1=1p5
quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33
6.Q((x1;:::;xn)) =å16i;j6nijxixj.
7.Q((x1;:::;xn)) =åi16i;j6nxixj.
8.Q((x1;:::;xn)) =å16i;j6nInf(i;j)xixj.
8f2L(R2),Q(f) =lTr(f2)+mdet(f).
1.Vérifier que Qest une forme quadratique surE.
2. Déterminer en fonction de letmle rang et la signature deQ. Analyser en particulier les cas(l;m) = (1;0)et(l;m) = (0;1).On suppose quejest non dégénérée mais non définie. Montrer queQn"est pas de signe constant.
afi(t)fj(t)dtpuis pour(x1;:::xn)2Rn,Q((x1;:::;xn)) =å16i;j6nbi;jxixj. 1.Montrer que Qest une forme quadratique positive.
12.Montrer que Qest définie positive si et seulement si la famille(f1;:::;fn)est libre.
3. Ecrire la matrice de Qdans la base canonique deRndans le cas particulier :8i2[[1;n]],8t2[a;b], f i(t) =ti1.Q((x1;:::;xn)) =det0
BBB@0x1:::xn
x 1...S x n1 C CCA. Montrer queQest une forme quadratique définie positive. suivantes :1.Q((x;y)) =x2+10xy+y2.
2.Q((x;y)) =6x2+4xy+9y2.
3.Q((x;y;z)) =4x2+9y2z2+2p6xy+10p2xz+2p3yz.
1.Montrer que Qest une forme quadratique surE.
2.Déterminer sa signature.
inversibleTtelle queA=tTT. égal au produit de ses coefficients diagonaux (utiliser l"exercice 8Correction del"exer cice1 N1.1èresolution.LamatricedelaformequadratiqueQdanslabasecanoniquedeR3estA=0
@232 2 32272
272
61
A
Le polynôme caractéristique deAest
c A= 2X32 2 322X72 272
6X = (2X) X
2+8X14
3232
X2 2 2X+54 =X36X2+452 X=X X
2+6X452
PuisqueAest symétrique réelle, on sait que les valeurs propres deAsont réelles.cAadmet pour racines
0 et deux réels non nuls de signes contraires (puisque leur produit vaut452
). Par suite, le rang et la signature deQsont r=2 ets= (1;1).2ème solution.On effectue une réduction de GAUSS. Q((x;y;z)) =2x22y26z2+3xy4xz+7yz=2x2+x(3y4z)2y2+7yz6z2 =2 x+34 yz 2 234yz 2
2y2+7yz6z2=2
x+34 yz 2 258y2+10yz8z2 =2 x+34 yz 2 258
y85 z 2
Les formes linéaires(x;y;z)7!x+34
yzet(x;y;z)7!y85 zétant linéairement indépendantes, onretrouve le fait queQest de rangr=2 et de signatures= (1;1). La forme quadratiqueQest dégénérée
et n"est ni positive ni négative. 2. La matrice de Qdans la base canonique(i;j;k)estA=0 @311 1 31 11 31 A . Le nombre 4 est valeur propre deAet puisqueAest diagonalisable, 4 est valeur propre d"ordre dim(Ker(A4I3)) =3rg(A4I3) =2. La dernière valeur proprelest fournie par 4+4+l=Tr(A) =9 et ?=1. Ainsi, Sp(A) =
(1;4;4).Les trois valeurs propres deAsont strictement positives et donc la forme quadratiqueQest de rang 3 et
de signature(3;0). Qest définie positive.3.Ef fectuonsune réduction de G AUSS.Q((x;y;z;t)) =xy+yz+zt+tx= (x+z)(y+t) =14
(x+y+z+t)214 (xy+zt)2. Puisque les deux formes linéaires(x;y;z;t)7!x+y+z+tet(x;y;z;t)7!xy+ztsont linéairement indépendantes, la forme quadratiqueQest de rangr=2 et de signatures= (1;1). 34.Ef fectuonsune réduction de G AUSS.
Q((x;y;z;t)) =x2+(4+l)y2+(1+4l)z2+lt2+4xy+2xz+4(1l)yz+2lyt+(14l)zt = (x+2y+z)2+ly2+4lz2+lt24lyz+2lyt+(14l)zt = (x+2y+z)2+l(y2z+t)2+zt= (x+2y+z)2+l(y2z+t)2+14 (z+t)214 (zt)2: Sil<0, la forme quadratiqueQest de rang 4 et de signature(2;2). Sil=0, la forme quadratiqueQest de rang 3 et de signature(2;1). Sil>0, la forme quadratiqueQest de rang 4 et de signature(3;1). 0 BBBB@0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
0 1 1 1 11
C CCCA.Les valeurs propres deAsont12
qui est d"ordre 4 et 2 qui est valeur propre simple.Donc, la signature de la forme quadratiqueQest s= (1;4).2ème solution.Effectuons une réduction de GAUSS. Q((x1;:::;x5)) =x1x2+x1(x3+x4+x5)+x2(x3+x4+x5)+x3x4+x3x5+x4x5 = (x1+x3+x4+x5)(x2+x3+x4+x5)(x3+x4+x5)2+x3x4+x3x5+x4x5 14 (x1+x2+2x3+2x4+2x5)214 (x1x2)2x23x24x25x3x4x3x5x4x5 14 (x1+x2+2x3+2x4+2x5)214 (x1x2)2 x 3+12 x4+12 x5 2 34x2412 x4x534 x25 14 (x1+x2+2x3+2x4+2x5)214 (x1x2)2 x 3+12 x4+12 x5 2 34
x 413
x5 2 56
x25; et on retrouves= (1;4).
6.Q(x1;:::;xn) = (x1+:::+xn)2et donc
r=1 ets= (1;0).7.Pour n>2,Q((x1;:::;xn)) = (åni=1ixi)ånj=1xj=14 (åni=1(i+1)xi)214 (åni=1(i1)xi)2. Doncr=2 ets= (1;1)car les deux formes linéaires(x1;:::;xn)7!åni=1(i+1)xiet(x1;:::;xn)7!åni=1(i1)xisont indépendantes
pourn>2. 48.Puisque la matrice de Qdans la base canonique est0
BBBBBBB@1 1 1:::1 1
1 2 2:::2 2
1 2 3:::3 3
1 2 3n1n1
1 2 3:::n1n1
CCCCCCCA
Q((x1;:::;xn)) =å
16i;j6nx
ixj+å26i;j6nx
ixj+:::+å n16i;j6nx ixj+x2n = (x1+:::+xn)2+(x2+:::+xn)2+:::+(xn1+xn)2+x2n:Qest donc définie positive.Correction del"exer cice2 N1.Si la matrice de fdans la base canonique deR2estA=a c
b dQ(f) =l(a2+2bc+d2)+m(adbc).
Qest un polynôme homogène de degré 2 en les coordonnées defdans la base canonique deL(R2)et
doncQest une forme quadratique surL(R2). 2. • Si l=m=0,r=0 ets= (0;0). Sil=0 etm6=0,Q(f) =m4
(a+d)2m4 (ad)2mu4 (b+c)2+m4 (bc)2, et doncr=4 ets= (2;2). • Sil6=0,Q(f) =la2+mad+(2lm)bc+ld2=l
a+m2ld2+(2lm)bc+
lm24l d 2 =l a+m2ld 2+ lm24l d2+2lm4
(b+c)22lm4 (bc)2: Maintenant, les quatre formes linéaires(a;b;c;d)7!a+m2ld,(a;b;c;d)7!d,(a;b;c;d)7!b+cet (a;b;c;d)7!bcsont linéairement indépendantes. Donc - sim=2l(6=0),r=1, - sim=2l(6=2l),r=3, - sijmj 6=2jlj(6=0),r=4.En particulier, sil=1 etm=0, alorsr=4 ets= (3;1)et sil=0 etm=1,r=4 ets= (2;2).Correction del"exer cice3 NDans le cas oùEest de dimension finie, la signature deQpermet de conclure immédiatement. Supposons donc
queEn"est pas de dimension fine.Par hypothèse, il existe un vecteur non nulx0tel queQ(x0) =0. SupposonsQde signe constant. Ouite à
remplacerQparQ, on supposera queQest positive. D?après l"inégalité de CAUCHY-SCHWARZ(valable
pour les formes quadratiques positives) 58y2E;jj(x0;y)j6pQ(x0)pQ(y) =0.
Donc8y2E;j(x0;y) =0 etx0est dans le noyau dej. Puisquex06=0, on en déduit quejest dégénérée.
En résumé, siQest de signe constant,jest dégénérée ou encore sijest non dégénérée,Qn"est pas de signe
constant.Correction del"exer cice4 N1.Pour tout (x1;:::;xn)2Rn,Q(x1;:::;xn) =å16i;j6n
Rb afi(t)fj(t)dt x ixj=Rb aå16i;j6nxixjfi(t)fj(t)dt=Rb a(åni=1xifi(t))2dt> 0.Donc Q est une forme quadratique positive.
2. De plus, pour tout (x1;:::;xn)2Rn,Q((x1;:::;xn)) =0,åni=1xifi=0 (fonction continue positive d"intégrale nulle). Donc Qdéfinie, 8(x1;:::;xn)2Rn;[Q((x1;:::;xn)) =0)(x1;:::;xn) =0] , 8(x1;:::;xn)2Rn;[nå i=1x ifi=0)(x1;:::;xn) =0] (f1;:::;fn)libre: 3.Dans le cas particulier en visagé,la matrice de Qdans la base canonique deRnest la matrice de HILBERT
H n=1i+j116i;j6n.Correction del"exer cice5 NPosonsX=0
B @x 1... x n1 CAetA=0
BBB@0x1:::xn
x 1...S x n1 CCCA=0tX
X SUn calcul par blocs fournit
0tX X S 1 0 0S1 =0tXS1 X I n puis 0tX X S 1 00S11 0
X I n =0tXS1 X I n 1 0 X I n tXS1XtXS1 0In On en déduit que det(A)det(S1)(1) =tXS1Xpuis queQ(X) =det(A) =tX((det(S))S1)X=tXS0X oùS0= (det(S))S1.Maintenant, la matriceSest définie positive et donc ses valeurs propres sont des réels strictement positifs. Les
valeurs propres de la matriceS0sont lesdet(S)l oùldécrit le spectre deSet donc la matriceS0est aussi unematrice symétrique définie positive.Qest donc une forme quadratique définie positive.Correction del"exer cice6 N1.(Quand x2ety2ont les mêmes coefficients, penser à faire une rotation d"anglep4
) En posantx=1p2 (X+Y)ety=1p2
(XY), on obtient x2+10xy+y2=12
(X+Y)2+5(X+Y)(XY)+12 (XY)2=6X24Y2. 6 Ainsi, si on note(i;j)la base canonique deR2puise1=1p2 (i+j)ete2=1p2 (ij), on a x2+10xy+y2=Q(xi+yj) =Q(Xe1+Ye2) =6X24Y2.
2. La matrice de Qdans la base canonique(i;j)deR2estA=6 2 2 9 . Les deux nombres 5 et 10 ontune somme égale à 15=Tr(A)et un produit égal à 50=det(A)et sont donc les valeurs propres deA.
On sait alors que dans une base orthonormée(e1;e2)de vecteurs propres deAassociée à la famille de
valeurs propres(5;10), on aQ(Xe1+Ye2) =5X2+10Y2. Déterminons une telle base. (A5I2)x y =0 0 ,x+2y=0 et donc Ker(A5I2)=Vect(e1)oùe1=1p5 (2;1)puis Ker(A10I2) = (Ker(A5I2))?=Vect(e2)oùe2=1p5
(1;2).Donc, sie1=1p5
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