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Définition 3 – Une forme quadratique q sur E est une application q : E ? R Remarque - L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme ...
Formes quadratiques
Montrer que Q est une forme quadratique sur E. 2. Déterminer sa signature. Correction ?. [005812]. Exercice 8 ** I.
TD7 : formes quadratiques
g) Il est classique que f est la forme quadratique associée au produit tP(t)Q (t)dt et f(P) = B(P P). a) Montrer que B est une forme bilinéaire.
Université Paris VII 2009-2010 CM4 Groupe concours TD1 Formes
Montrer que q est une forme quadratique et expliciter sa forme polaire b. 2. Calculer la matrice de b dans la base canonique B = (X0 X
Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
Si E est de dimension finie et E une base de E la matrice M de la forme quadratique q dans la base E est la matrice de sa forme polaire. La forme quadratique s
Leçon 170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de
La forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique q est unique Pour montrer ce théorème
Examen “Algèbre bilinéaire”
Pour toute matrice A ? E on pose q(A) = tr(A2). 1. Montrer que q est une forme quadratique sur E et déterminer sa forme polaire (en cherchant à minimiser les
Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens
On suppose que E est de dimension finie n ? N?. Soient ? une forme hermitienne q la forme quadratique hermitienne associée et e = (e1
chapitre 2 formes quadratiques
Soit q une forme quadratique de forme polaire . Alors est donnée par . PREUVE: • Il faut montrer que est bilinéaire symétrique. • q lui est associée.
Sommaire 1. Produit Scalaire sur E
Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique Théorème : Si q une forme quadratique sur E
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Remarque - L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilinéaire symétrique associée `a une forme quadratique positive est continue
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Cette fonction est appelée forme quadratique associée `a ? Le terme quadratique vient de la propriété q(?x) = ?2q(x) et du fait que dans Rd la forme q va
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2 nov 2014 · On va montrer dans ce mémoire que l'étude algébrique des formes quadratiques permet de déduire des résultats aussi bien en géométrie qu'en
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Soit q une forme quadratique de forme polaire Alors est donnée par PREUVE: • Il faut montrer que est bilinéaire symétrique • q lui est associée
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Formes quadratiques diverses approches Les formes quadratiques peuvent être abordées de différentes façons : par les fonctions polynômes par les formes
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Montrer que Q est une forme quadratique positive 1 Page 2 2 Montrer que Q est définie positive si et seulement si la famille
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Q est la forme quadratique associée à ? et que ? est la forme polaire (abr fp) de ? Q II En dimension finie : matrices • Définition :
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(3) q(?x + ?y) = ?2q(x)+2??f(x y) + ?2q(y) est une forme quadratique par rapport à (??) Théorème 1 2 L'application q de E dans K qui à x de E associe l'
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Montrer que l'application q : E ?? k u ?? ? ? ? n=0 u2 n est une forme quadratique sur E associée `a la forme bi- linéaire symétrique
[PDF] CHAPITRE 2 FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES ET FORMES
Si q est une forme quadratique sur E alors il existe une unique forme bilinéaire symétrique ? telle que q(x) = ?(x x) pour tout x ? E Démonstration
Comment montrer que c'est une forme quadratique ?
On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait q ( x ) = ? ( x , x ) .Comment calculer le noyau d'une forme quadratique ?
Il te faut 2 vecteurs de l'espace vectoriel ambiant pour calculer une valeur de g. Par ailleurs, le noyau de g est l'ensemble des vecteurs v tels que g(v,w)=0 pour tout w, et non pas l'ensemble des vecteurs v tels que g(v,v)=0. Si tu calcules l'ensemble des vecteurs isotropes, tu trouveras bien 0.Quand Dit-on qu'une forme quadratique est positive ?
La forme quadratique est non dégénérée si et seulement si p + s = n . On dit que est positive (ou que est positive) si : ? x ? E , q ( x ) ? 0 .- Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu'elle est linéaire par rapport à une variable, au choix, et qu'elle est symétrique. en faisant jouer la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable. On obtient bien la deuxième linéarité.
Algèbre linéaire et bilinéaire
Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens
1 Formes hermitiennes et formes quadratiques hermitiennes
Dans toute cette partie,Eest unC-espace vectoriel. Définition.(i)On rapp ellequ"une application udeEdansEest ditelinéairesi pourx;y2E et2Con a u(x+y) =u(x) +u(y)etu(x) =x: (ii) On dit qu"une application udeEdansEestsemi-linéairesi pourx;y2Eet2Con a u(x+y) =u(x) +u(y)etu(x) =x: On note que cette dernière définition n"a de sens que pour un espace vectoriel surC. Définition.On appelleforme hermitiennesurEune application'deEEdansCvérifiant les propriétés suivantes : 'est linéaire à gauche et semi-linéaire à droite : pourx;x0;y;y02Eet2Con a '(x+x0;y) ='(x;y) +'(x0;y) et '(x;y+y0) ='(x;y) +'(x;y0): 'vérifie la propriété de symétrie hermitienne : pour tousx;y2Eon a '(x;y) ='(y;x):Remarque.Pourx2Eon a'(x;x) ='(x;x)et donc
'(x;x)2R: Définition.On appelleforme quadratique hermitienneune applicationq:E!Rtelle qu"il existe une forme hermitienne'pour laquelle on a8x2E; q(x) ='(x;x):
Il est important de noter qu"une forme quadratique hermitienne est à valeurs réelles. En outre pourx2Eet2Con a q(x) =jj2q(x):L2 Maths - S3 -Maths 3 - Algèbre linéaire et bilinéaireProposition.Soit'une forme hermitienne etqla forme quadratique hermitienne associée. Alors
pourx;y2Eon a Re '(x;y)=q(x+y)q(x)q(y)2 =q(x+y)q(xy)4 Im '(x;y)=q(x+iy)q(x)q(y)2 =q(x+iy)q(xiy)4 et donc '(x;y) =q(x+y)q(xy) +iq(x+iy)iq(xiy)4Cela prouve en particulier que la forme quadratique hermitienneqest associée à une unique forme
hermitienne', appelée forme polaire deq. Exemples.L"applicationz7! jzj2est une forme quadratique hermitienne surE=C, associée à la forme hermitienne (z;w)7!zw: L"application(z1;:::;zn)7! jz1j2++jznj2est une forme quadratique hermitienne surE=Cn, associée à la forme hermitienne (z1;:::;zn);(w1;:::;wn)7!z1w1++znw
n: Soient1;:::;n2R. L"application(z1;:::;zn)7!1jz1j2++njznj2est une forme qua- dratique hermitienne surE=Cn, associée à la forme hermitienne (z1;:::;zn);(w1;:::;wn)7!1z1w1++nznw
n: On observe que ce n"est plus le cas si les coefficients1;:::;nne sont pas réels. L"application qui à une fonctionfcontinue de [0,1] dansCassocie Z 1 0 jf(t)j2dt est une forme quadratique hermitienne surE=C0([0;1];C). Sa forme polaire est (f;g)7!Z 1 0 f(t)g(t)dt: Soitune fonction continue de[0;1]dansR. Alors l"application qui à une fonctionfcontinue de [0,1] dansCassocieZ1 0 (t)jf(t)j2dt est une forme quadratique hermitienne surE=C0([0;1];C). Définition.Soientn2NetA2Mn(C). On dit que la matriceAesthermitiennesitA=A.NotantA= (ai;j)16i;j6ncela signifie queaj;i=a
i;jpour tousi;j2J1;nK. Proposition.Soitn2N. SoitA2Mn(C)une matrice hermitienne. Alors l"application ':CnCn!C (X;Y)7!tXAY est une forme hermitienne surCn.2 Julien Royer - Université Toulouse 3Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens
Proposition-Définition.On suppose queEest de dimension finien2N. Soient'une forme hermitienne,qla forme quadratique hermitienne associée ete= (e1;:::;en)une base deE. On appelle matrice de'(ou deq) dans la baseela matriceA= (ai;j)16i;j6ntelle que pouri;j2J1;nK on a a i;j='(ei;ej): 1.L amatri ceAest hermitienne.
2.Soient x=Pn
j=1xjejety=Pn j=1yjej. On noteX=0 B @x 1... x n1 CAetY=0
@y 1 y n1 A . Alors on a '(x;y) =X16i;j6na
i;jxiy j=tXAY 3. Si e0est une autre base deE,Pest la matrice de passage de la baseeà la basePetA0est la matrice de'dans la basee0, alors on a A0=tPAP:
Remarque.Avec les notations précédentes on a q(x) =nX j=1a j;jjxjj2+X16i j: En outre les coefficients diagonauxaj;j,j2J1;nK, sont réels. Définition.On suppose queEest de dimension finien2N. Soient'une forme hermitienne et qla forme quadratique hermitienne associée. (i) On app ellerangde'le rang de la matrice de'dans n"importe quelle base deE. (ii) On dit que '(ouq) estnon-dégénéréesi'est de rangn. Définition.(i)On dit que qest positive siq(x)>0pour toutx2E. (ii) On dit que qest négative siq(x)60pour toutx2E.
(iii) On dit que qest définie positive siq(x)>0pour toutx2En f0g. (iv) On dit que qest définie négative siq(x)<0pour toutx2En f0g. 2 Orthogonalité
Dans toute cette partie,Eest unC-espace vectoriel,'est une forme hermitienne etqla forme quadratique hermitienne associée. Définition.(i)On dit que les v ecteursxetydeEsontorthogonauxsi'(x;y) = 0(on remarque que'(x;y) = 0()'(y;x) = 0). (ii) On dit que xest isotrope siq(x) = 0(c"est-à-dire sixest orthogonal à lui-même). (iii) On dit qu" unefamille de v ecteursest orthogonalesi ses éléments sont deux à deux orthogonaux.
(iv) On app ellenoyaudeq(ou de') l"ensemble desx2Etels que 8y2E; '(x;y) = 0:
On observe que le noyau deqest un sous-espace vectoriel deE.Année 2015-20163 L2 Maths - S3 -Maths 3 - Algèbre linéaire et bilinéaireRemarque.On suppose queEest de dimension finie. Soite= (e1;:::;en)une base deEet
e = (e1;:::;en)la base duale. Alors la baseeest orthogonale pourqsi et seulement si la matrice deqdans la baseeest diagonale, si et seulement si 8x2E; q(x) =nX
j=1 ej(x)2: Théorème 2.1.On suppose queEest de dimension finie. Alors il existe une baseedeEortho- gonale pourq. Remarque2.2.Soite= (e1;:::;en)la base donnée par le théorème. Si pourj2J1;nKtel que q(ej)6= 0on remplaceejparej=pjq(ej)j, on obtient une base deEdans laquelle la matrice deq est diagonale avec uniquement des coefficients -1, 0 et 1. Théorème(Réduction de Gauss).On suppose queEest de dimension finien2N. Il existe k2J1;nK,1;:::;k2Rn f0get des formes linéairesl1;:::;lksurEtels que 8x2E; q(x) =kX
j=1 jjlj(x)j2: Ce résultat peut être vu comme une conséquence de l"existence d"une base orthogonale. On peut
aussi en donner une preuve constructive directe, que l"on illustre sur des exemples. Exemples.
Cas où il y a un terme en c arré: On considère surC3la forme quadratique hermitienne q: (z1;z2;z3)7!z1z 1+ 3z2z
2z3z 3+iz1z
2iz2z 1z1z 3z3z 1+ 2iz2z
32iz3z
2: Pour(z1;z2;z3)2C3on a
q(z1;z2;z3) = jz1j2+ 2Re(iz1z 2) + 2Re(z1z
3) + 3jz2j2 jz3j2+ 2Re(2iz2z 3) jz1iz2z3j2 jz2j2 jz3j22Re(iz2z 3) + 3jz2j2 jz3j2+ 4Re(iz2z 3) =jz1iz2z3j2+ 2jz2j22jz3j2+ 2Re(iz2z 3) =jz1iz2z3j2+ 2z2iz32 2 5jz3j22
Cas où il n"y a que des termes croisés :On considère surC3la forme quadratique hermitienne q: (z1;z2;z3)7!2Re(iz1z 2) + 2Re(z1z
3) + 2Re((1 +i)z2z
3) Soit(z1;z2;z3)2C3. On notew1=iz1+z22
etw2=iz1z22 , de sorte queRe(iz1z 2) =jw1j2 jw2j2,
z 1=iw1iw2etz2=w1w2. On a alors
q(z1;z2;z3) = 2jw1j22jw2j2+ 2Re((1 + 2i)w1z 3)2Re(w2z
3) = 2w1+12 i z 32
52
jz3j22w2+z32 2+jz3j22
12 jiz1+z2+ (12i)z3j212 jiz1z2+z3j22jz3j2:4 Julien Royer - Université Toulouse 3 Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens
3 Signature d"une forme quadratique
On suppose queEest unC-espace vectoriel de dimension finien2N. On considère une forme quadratique hermitienneqsurEet on note'sa forme polaire. Proposition-Définition.Il existe un unique couple(p;m)d"entiers vérifiant les propriétés sui-
vantes : (i) Si e= (e1;:::;en)est une base orthogonale alors
(ii) Si les formes liné airesl1;:::;lk(aveck2N) sont linéairement indépendantes et telles que pour1;:::;k2Rn f0gon a 8x2E; q(x) =1jl1(x)j2++kjlk(x)j2
(réduction de Gauss), alors parmi leskcoefficients1;:::;kpsont strictement positifs et msont strictement négatifs. Le couple(p;m)est alors appelé signature de la forme quadratiqueq. Proposition.Soit(p;m)la signature deq. Alors
(i) le r angde qestp+m, (ii)qest non-dégénérée si et seulement sip+m=n, (iii)qest positive si et seulement sim= 0, (iv)qest définie positive si et seulement si(p;m) = (n;0), (v)qest négative si et seulement sip= 0, (vi)qest définie négative si et seulement si(p;m) = (0;n). 4 Espaces hermitiens
On suppose queEest unC-espace vectoriel de dimension finien2N. On considère une forme quadratique hermitienneqsurEet on note'sa forme polaire. Définition.Siqest définie positive alors on dit que sa forme polaire'est un produit scalaire hermitien. Dans ce cas on note souvent'(x;y) =hx;yipour tousx;y2E. Définition.On appelle espace hermitien unC-espace vectoriel de dimension finie muni d"un pro- duit scalaire hermitien. Exemple.Cnmuni du produit scalaire': ((z1;:::;zn);(w1;:::;wn))7!z1w 1++znw
nest un espace hermitien.'est le produit scalaire hermitien usuel surCn. A partir de maintenant on suppose que(E;h;i)est un espace hermitien. Proposition(Inégalité de Cauchy-Schwarz).Pour tout(x;y)2E2on a jhx;yij6phx;xiphy;yi: En outre il y a égalité si et seulement sixetysont colinéaires. Pour la démonstration on pourra étudier les fonctionst7! hx+ty;x+tyiett7! hx+iy;x+iyi. Définition.On appelle norme hermitienne sur leC-espace vectorielEune applicationN:E!R+ telle queAnnée 2015-20165 L2 Maths - S3 -Maths 3 - Algèbre linéaire et bilinéaire(i)p ourx2E,N(x) = 0si et seulement six= 0(séparation),
(ii) p ourtous x2Eet2Con aN(x) =jjN(x)(homogénéité), (iii) p ourtous x;y2E,N(x+y)6N(x) +N(y)(inégalité triangulaire). Proposition.L"applicationx7! kxk=phx;xidéfinit une norme surE. Proposition(Théorème de Pythagore).(i)Pou rx;y2Eon a hx;yi () kx+yk2=kxk2+kyk2: (ii) Si la famil le(x1;:::;xk)de vecteurs deEest orthogonale, alors kx1++xkk2=kx1k2++kxkk2: Proposition.Une famille orthogonale deEest libre.
Définition.On dit d"une famille de vecteurs deEqu"elle est orthonormée si elle est orthogonale et si tous ses vecteurs sont de norme 1. Proposition.Eadmet des bases orthonormées.
Proposition 4.1.Soite= (e1;:::;en)une base orthonormée deE. Alors pour tousx;y2Eon a x=nX j=1hx;ejiej et hx;yi=nX k=1hx;ejihy;eji: En particulier
kxk2=nX j=1jhx;ejij2: Proposition-Définition(Supplémentaire orthogonal).SoitFun sous-espace deE. On noteF? l"ensemble des vecteurs à tout vecteur deF: F ?=fx2Ej8y2E;hx;yi= 0g: C"est un sous-espace vectoriel deE. En outreFetF?sont supplémentaires dansEet(F?)?=F. Proposition-Définition.SoitFun sous-espace deE. On appelle projection orthogonale surF la projectionpFsurFparallèlement àF?. Si(e1;:::;ek)est une base orthonormée deF(avec k= dim(F)) alors pour toutx2Eon a p F(x) =kX
j=1hx;ejiej: En outrepF+pF?= IdE.6 Julien Royer - Université Toulouse 3 Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens
5 Endomorphismes d"un espace hermitien
Proposition-Définition(Adjoint d"un endomorphisme).Soitu2L(E). Alors il existe une unique applicationudeEdansEtel que 8x;y2E;hu(x);yi=hx;u(y)i:
En outreu2L(E).uest appelé l"endomorphisme adjoint deu. Proposition.(i)L"applic ation
:L(E)!L(E) u7!u est semi-linéaire (en particulier on a(u)=u (ii) Pour tout u2L(E)on a(u)=u.
(iii) On a (IdE)= IdE.
(iv) Pou ru;v2L(E)on a(vu)=uv.
quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
On dit que qest négative siq(x)60pour toutx2E.
(iii) On dit que qest définie positive siq(x)>0pour toutx2En f0g. (iv) On dit que qest définie négative siq(x)<0pour toutx2En f0g.2 Orthogonalité
Dans toute cette partie,Eest unC-espace vectoriel,'est une forme hermitienne etqla forme quadratique hermitienne associée. Définition.(i)On dit que les v ecteursxetydeEsontorthogonauxsi'(x;y) = 0(on remarque que'(x;y) = 0()'(y;x) = 0). (ii) On dit que xest isotrope siq(x) = 0(c"est-à-dire sixest orthogonal à lui-même). (iii)On dit qu" unefamille de v ecteursest orthogonalesi ses éléments sont deux à deux orthogonaux.
(iv) On app ellenoyaudeq(ou de') l"ensemble desx2Etels que8y2E; '(x;y) = 0:
On observe que le noyau deqest un sous-espace vectoriel deE.Année 2015-20163L2 Maths - S3 -Maths 3 - Algèbre linéaire et bilinéaireRemarque.On suppose queEest de dimension finie. Soite= (e1;:::;en)une base deEet
e = (e1;:::;en)la base duale. Alors la baseeest orthogonale pourqsi et seulement si la matrice deqdans la baseeest diagonale, si et seulement si8x2E; q(x) =nX
j=1 ej(x)2: Théorème 2.1.On suppose queEest de dimension finie. Alors il existe une baseedeEortho- gonale pourq. Remarque2.2.Soite= (e1;:::;en)la base donnée par le théorème. Si pourj2J1;nKtel que q(ej)6= 0on remplaceejparej=pjq(ej)j, on obtient une base deEdans laquelle la matrice deq est diagonale avec uniquement des coefficients -1, 0 et 1. Théorème(Réduction de Gauss).On suppose queEest de dimension finien2N. Il existe k2J1;nK,1;:::;k2Rn f0get des formes linéairesl1;:::;lksurEtels que8x2E; q(x) =kX
j=1 jjlj(x)j2:Ce résultat peut être vu comme une conséquence de l"existence d"une base orthogonale. On peut
aussi en donner une preuve constructive directe, que l"on illustre sur des exemples.Exemples.
Cas où il y a un terme en c arré: On considère surC3la forme quadratique hermitienne q: (z1;z2;z3)7!z1z1+ 3z2z
2z3z3+iz1z
2iz2z 1z1z 3z3z1+ 2iz2z
32iz3z
2:Pour(z1;z2;z3)2C3on a
q(z1;z2;z3) = jz1j2+ 2Re(iz1z2) + 2Re(z1z
3) + 3jz2j2 jz3j2+ 2Re(2iz2z 3) jz1iz2z3j2 jz2j2 jz3j22Re(iz2z 3) + 3jz2j2 jz3j2+ 4Re(iz2z 3) =jz1iz2z3j2+ 2jz2j22jz3j2+ 2Re(iz2z 3) =jz1iz2z3j2+ 2z2iz32 25jz3j22
Cas où il n"y a que des termes croisés :On considère surC3la forme quadratique hermitienne q: (z1;z2;z3)7!2Re(iz1z2) + 2Re(z1z
3) + 2Re((1 +i)z2z
3)Soit(z1;z2;z3)2C3. On notew1=iz1+z22
etw2=iz1z22 , de sorte queRe(iz1z2) =jw1j2 jw2j2,
z1=iw1iw2etz2=w1w2. On a alors
q(z1;z2;z3) = 2jw1j22jw2j2+ 2Re((1 + 2i)w1z3)2Re(w2z
3) = 2w1+12 i z 3252
jz3j22w2+z32
2+jz3j22
12 jiz1+z2+ (12i)z3j212 jiz1z2+z3j22jz3j2:4 Julien Royer - Université Toulouse 3Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens
3 Signature d"une forme quadratique
On suppose queEest unC-espace vectoriel de dimension finien2N. On considère une forme quadratique hermitienneqsurEet on note'sa forme polaire.Proposition-Définition.Il existe un unique couple(p;m)d"entiers vérifiant les propriétés sui-
vantes : (i)Si e= (e1;:::;en)est une base orthogonale alors
(ii) Si les formes liné airesl1;:::;lk(aveck2N) sont linéairement indépendantes et telles que pour1;:::;k2Rn f0gon a8x2E; q(x) =1jl1(x)j2++kjlk(x)j2
(réduction de Gauss), alors parmi leskcoefficients1;:::;kpsont strictement positifs et msont strictement négatifs. Le couple(p;m)est alors appelé signature de la forme quadratiqueq.Proposition.Soit(p;m)la signature deq. Alors
(i) le r angde qestp+m, (ii)qest non-dégénérée si et seulement sip+m=n, (iii)qest positive si et seulement sim= 0, (iv)qest définie positive si et seulement si(p;m) = (n;0), (v)qest négative si et seulement sip= 0, (vi)qest définie négative si et seulement si(p;m) = (0;n).4 Espaces hermitiens
On suppose queEest unC-espace vectoriel de dimension finien2N. On considère une forme quadratique hermitienneqsurEet on note'sa forme polaire. Définition.Siqest définie positive alors on dit que sa forme polaire'est un produit scalaire hermitien. Dans ce cas on note souvent'(x;y) =hx;yipour tousx;y2E. Définition.On appelle espace hermitien unC-espace vectoriel de dimension finie muni d"un pro- duit scalaire hermitien. Exemple.Cnmuni du produit scalaire': ((z1;:::;zn);(w1;:::;wn))7!z1w1++znw
nest un espace hermitien.'est le produit scalaire hermitien usuel surCn. A partir de maintenant on suppose que(E;h;i)est un espace hermitien. Proposition(Inégalité de Cauchy-Schwarz).Pour tout(x;y)2E2on a jhx;yij6phx;xiphy;yi: En outre il y a égalité si et seulement sixetysont colinéaires. Pour la démonstration on pourra étudier les fonctionst7! hx+ty;x+tyiett7! hx+iy;x+iyi. Définition.On appelle norme hermitienne sur leC-espace vectorielEune applicationN:E!R+ telle queAnnée 2015-20165L2 Maths - S3 -Maths 3 - Algèbre linéaire et bilinéaire(i)p ourx2E,N(x) = 0si et seulement six= 0(séparation),
(ii) p ourtous x2Eet2Con aN(x) =jjN(x)(homogénéité), (iii) p ourtous x;y2E,N(x+y)6N(x) +N(y)(inégalité triangulaire). Proposition.L"applicationx7! kxk=phx;xidéfinit une norme surE. Proposition(Théorème de Pythagore).(i)Pou rx;y2Eon a hx;yi () kx+yk2=kxk2+kyk2: (ii) Si la famil le(x1;:::;xk)de vecteurs deEest orthogonale, alors kx1++xkk2=kx1k2++kxkk2:Proposition.Une famille orthogonale deEest libre.
Définition.On dit d"une famille de vecteurs deEqu"elle est orthonormée si elle est orthogonale et si tous ses vecteurs sont de norme 1.Proposition.Eadmet des bases orthonormées.
Proposition 4.1.Soite= (e1;:::;en)une base orthonormée deE. Alors pour tousx;y2Eon a x=nX j=1hx;ejiej et hx;yi=nX k=1hx;ejihy;eji:En particulier
kxk2=nX j=1jhx;ejij2: Proposition-Définition(Supplémentaire orthogonal).SoitFun sous-espace deE. On noteF? l"ensemble des vecteurs à tout vecteur deF: F ?=fx2Ej8y2E;hx;yi= 0g: C"est un sous-espace vectoriel deE. En outreFetF?sont supplémentaires dansEet(F?)?=F. Proposition-Définition.SoitFun sous-espace deE. On appelle projection orthogonale surF la projectionpFsurFparallèlement àF?. Si(e1;:::;ek)est une base orthonormée deF(avec k= dim(F)) alors pour toutx2Eon a pF(x) =kX
j=1hx;ejiej: En outrepF+pF?= IdE.6 Julien Royer - Université Toulouse 3Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens
5 Endomorphismes d"un espace hermitien
Proposition-Définition(Adjoint d"un endomorphisme).Soitu2L(E). Alors il existe une unique applicationudeEdansEtel que8x;y2E;hu(x);yi=hx;u(y)i:
En outreu2L(E).uest appelé l"endomorphisme adjoint deu.Proposition.(i)L"applic ation
:L(E)!L(E) u7!u est semi-linéaire (en particulier on a(u)=u (ii)Pour tout u2L(E)on a(u)=u.
(iii)On a (IdE)= IdE.
(iv)Pou ru;v2L(E)on a(vu)=uv.
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