[PDF] Université Paris VII 2009-2010 CM4 Groupe concours TD1 Formes

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Universit´e Paris VII 2009-2010

CM4Groupe concoursTD1

Formes quadratiques

Exercice1 - Montrer que les vecteursu1= (1,-1,2),u2= (2,0,2) etu3= (1,1,1) forment une base deR3. Exprimer la base duale au moyen de la base (e?1,e?2,e?3) duale de la base canonique .

Exercice2 - Montrer que les formes lin´eaires suivantes forment une base de (R4)?et d´eterminer la

base dont elle est duale : l

1(x,y,z,t) =x+y-z+ 2t,l2(x,y,z,t) =x+z,l3(x,y,z,t) =x+y+z-t,l4(x,y,z,t) =t

Exercice3 - On noteE=R2[X] l "espace vectoriel des polynˆomes r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2

et l"on poseφ1(P) =P(1),φ2(P) =P?(1),φ3(P) =P(0) , pour toutP?E.

1. Montrer queφ1,φ2,φ3est une base deE?.

2. D´eterminer la base dont elle est duale.

3. Mˆemes questions pour (φ1,φ2,ψ3) o`uψ3(P) =P??(1) pour toutP?E?

Exercice4 - Soientn?N,E=Rn[X] eta0,...,andes r´eels tous distincts.On pose f

1. Montrer que?

2. D´eterminer la base dont elle est duale.

E ?. De quelle base est-elle duale? Exercice5 - SoientEun espace vectoriel de dimension finie etf,gdes formes lin´eaires sur

E.Montrer que

Kerf= Kerg?(?α?R?, g=αf).

Exercice6 - SoientEun espace vectoriel de dimension finie etL,l1,...,lndes formes lin´eaires surE.

Montrer que l"on a?

pourra extraire del1,...,lpune famille libre puis la compl´eter en une base deE?. 1 Exercice7 - Soitfla forme bilin´eaire surR3dont la matrice dans la base canonique est (1 2 4 -1 3 1

2-3 1)

On poseu1= (1,3,1),u2= (2,1,-1),u3= (1-1,1).

1. Montrer que (u1,u2,u3) est une base.

2. Donner la matrice defdans cette base.

Exercice8 - Soitf:R×R→Rl"application d´efinie par f(u,v) = (x+y-z)(x?-y?+z?)-2(y+z)(y?+z?) +zz? o`uu= (x,y,z) et (v=x?,y?,z?).

1. Montre quefest une forme bilin´eaire.

2. Montrer quefn"est pas sym´etrique.

3. Soitqla forme quadratique surR3d´efinie parq(u) =f(u,u). Calculer la forme polairebdeq.

4. Posonsg(u,v) =f(u,v)-b(u,v). Montrer quegest une forme biin´eaire antisym´etrique (c-`a-d

g(u,v) =-g(v,u)).

Exercice9 - D´eterminer, pour les formes quadratiques suivantes, les formes polaires, et donner les

matrices dans la base canonique. -q1:R2-→Rd´efinie parq1(x,y) = 3x2-2xy+y2. -q2:R3-→Rd´efinie parq2(x,y,z) = 2xy-y2+ 5yz+ 3z2. -q3:R3-→Rd´efinie parq3(x,y,z) = 3x2-6xy+ 4xz-8y2+ 5yz. -q4:R3-→Rd´efinie parq4(x,y,z) = 2(x+y-z)2-(y-2z)2-(2x+y)2. -q5:R4-→Rd´efinie parq5(x,y,z,t) =z2-3yt+xz+ 3xt-2xy+t2-2yz+ 6tz-x2. Exercice10 - SoitEl"espace vectoriel des fonctionsf:R→Rde la forme f(x) =acosx+bsinx+c, o`ua,b,c?Rsont des constantes. On consid`ere, surE, la forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie par

φ(f,g) =?

0 f(x)g(x)dx.

1. Calculer la matrice deφdans la base (e1,e2,e3), o`u l"on a pos´e

e

1:x?→cosx, e2:x?→sinx, e3:x?→1.

2. D´eterminer le sous-espace vectorielFdes vecteurs deEorthogonaux `ae1ete3pourφ.

3. En d´eduire une base orthogonale pourE.

Exercice11 - SoitE=R2[X] l"espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2. On

consid`ere, surE, l"application d´efinie par q(P) =? 1 0

P(x)2dx.

2

1. Montrer queqest une forme quadratique et expliciter sa forme polaireb.

2. Calculer la matrice debdans la base canoniqueB= (X0,X,X2) deE.

3. Soient les polynˆomesP1,P2etP3d´efinis par

P

1=X0,P2=-12

+X ,P3=12 -X+X2. Montrer queB?= (P1,P2,P3) est une base deEet donner la matrice debdans cette base.

4. En d´eduire quebest non d´eg´en´er´ee.

Exercice12 - Soitq:R4-→Rl"application d´efinie par q(x,y,z,t) =xy+ztpour tout vecteur (x,y,z,t)?R4

1. Montrer queqest une forme quadratique et expliciter sa forme bilin´eaire sym´etrique associ´eeb.

Est elle d´eg´en´er´ee?

2. SoitB= (e1,e2,e3,e4) la base canonique deR4. V´erifier que les vecteurse?1=e1+e2, e?2=

e

1-e2, e?3=e3+e4ete?4=e3-e4forment une base deR4que l"on noteraB?.

3. D´eterminer la matrice debdansB?et exprimerqdans cette base.

4. SoitFle sous espace vectoriel d´efini par le syst`eme d"´equations :

?x+y+z+t= 0 x-y+z-t= 0

Trouver une base deF?.

Exercice13 - Soitq:R3-→Rla forme quadratique d´efinie par : q(x,y,z) =x2+ 3y2+ 4z2-2xy+ 2xz-6yzpour tout vecteur (x,y,z)?R3.

1. D´ecomposer la forme quadratiqueqen somme de carr´es de formes lin´eaires lin´eairement ind´ependantes.

2. Montrer que pour toutu?= 0 dansR3on aq(u)>0.

3. SoitAla matrice deqdans la base canonique. Montrer qu"il existe une matrice inversibleP?

GL

3(R) telle queA=tPP.

Exercice14 - Soitqla forme quadratique d´efinie surR3par q(x,y,z) =x2+y2+z2-xy-xz-yzpour tout vecteur (x,y,z)?R3.

1. Ecrire la matrice deqdans la base canonique.

2. Montrer queqest une forme quadratique d´eg´en´er´ee et trouver une base du noyau deq.

3. Trouver une base orthogonale pourq. Quelle est la matrice deqdans cette base?

Exercice15 -

1. Soita?Retqla forme quadratique d´efinie surR3par

q(x,y,z) =x2-y2+z2+axy+ 2xzpour tout vecteur (x,y,z)?R3.

D´ecomposer la forme quadratiqueqen somme de carr´es de formes lin´eaires lin´eairement ind´ependantes.

Trouver une base orthogonale pourq.

3

2. SoitE=R2[X] l"espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 etb?R. On

consid`ere, surE, l"application d´efinie par q(P) =P(1)P(-1) +bP(0)P?(0).pour tout polynˆomeP?E. (a) Montrer queqest une forme quadratique et trouver sa forme polaire. (b) Donner la matrice deqdans la base canonique (1,X,X2). (c) D´eterminer le rang, la signature, le noyau deqet une base orthogonale deq. Exercice16 - Soitaun nombre r´eel. Soitq:R4-→Rla forme quadratique d´efinie par q(x,y,z,t) =a(z2-x2)-y2+ 2axy+ 6ztpour tout vecteur (x,y,z,t)?R4.

1. Pour quelles valeurs deala forme quadratique est-elle non d´eg´en´er´ee?

2. On suppose queqest d´eg´en´er´ee. Trouver une base orthogonale pourq.

Exercice17 - Soitaun nombre r´eel, et soitq:R3-→Rla forme quadratique d´efinie par q(x,y,z) =a(x2+y2+z2)-2xy+ 2xz+ 2yzpour tout vecteur (x,y,z)?R3.

1. Pour quelles valeurs deala forme quadratique est-elle non d´eg´en´er´ee?

2. On suppose quea= 0. SoitDla droite deR3engendr´e par le vecteurv= (2,2,1). Trouver une

base deD?. Les sous-espaces vectorielsDetD?sont-ils suppl´ementaires?

3. Montrer que la forme quadratiqueqest d´efinie positive si et seulement sia >2.

4. On suppose quea= 4. SoitPle plan deR3d"´equation 9x-y+ 6z= 0. Trouver une base deP?.

Exercice18 - Soitaun nombre r´eel, et soitq:R3-→Rla forme quadratique d´efinie par q(x,y,z) =a2x2+ 4xy+xz+yzpour tout vecteur (x,y,z)?R3.

1. D´eterminer la signature deq.

2. Soitq?:R3-→Rla forme quadratique d´efinie parq?(x,y,z) =x2-y2-z2. Pour quelles valeurs

deaexiste-t-il une application lin´eairef:R3-→R3bijective telle queq=q?◦f. Dans ce cas, expliciterf.

Exercice19 - PosonsA=(

(5 4 3 4 5 3

3 3 2)

etB=( (9 0-6 0 1 0 -6 0 4) Montrer qu"il existe une matriceUdeGL3(R) telle queB=tUAU. Exercice20 - Soitq:R3-→Rla forme quadratique d´efinie par q(x,y,z) = 4x2+ 2y2+z2+ 4xy-2yzpour tout vecteur (x,y,z)?R3. Trouver le noyau, une base orthogonale, et ´ecrire la matrice deqdans la base trouv´ee. Exercice21 - Calculer la signature des formes quadratiques suivantes : 4 -q1:R3-→Rd´efinie parq1(x,y,z) =x2+y2+z2-4xy-4xz-4yz -q2:R3-→Rd´efinie parq2(x,y,z) = 2x2+ 3y2-z2-8xz -q3:R3-→Rd´efinie parq3(x,y,z) =x2-3y2-2xy+ 4xz -q4:R4-→Rd´efinie parq4(x,y,z,t) =xy+xz+xt+yz+yt+zt -q5:R4-→Rd´efinie parq5(x,y,z,t) =xy+xz+xt-yz+yt+ 2zt Exercice22 - Soientq1etq2les formes quadratiques d´efinies surR2par q

1(x,y) = 3x2+ 2xy+y2etq2(x,y) = 7x2+ 6xy+ 2y2pour tout (x,y)?R2.

1. Montrer qu"il existe une base deR2qui est `a la fois orthonorm´ee pourq1et orthogonale pourq2.

Exercice23 - Soitaun nombre r´eel. Calculer la signature des formes quadratiques suivantes : -q1:R4-→Rd´efinie parq1(x,y,z,t) =x2+y2-at2+ 2axy+ 4zt. -q2:R4-→Rd´efinie parq2(x,y,z,t) =x2+y2+z2-2t2-2xy+ 2xz-2xt+ 2yz-4ayt. Exercice24 - Soitq:R3-→Rla forme quadratique d´efinie par q(x,y,z) =x2+ 2y2+ 2xy-2xz-yzpour tout vecteur (x,y,z)?R3.

1. Montrer qu"il existe des sous-espaces vectorielsFetGdeR3tels queq|Fest d´efinie positive,q|G

est d´efinie n´egative, etR3=F?G.

2. Trouver une base d"un tel sous-espace vectorielFet d"un tel sous-espace vectorielG.

3. Soitlla forme lin´eaire surR3d´efinie parl(x,y,z) =x+y+z. Montrer qu"il existe un unique

vecteurv?R3tel quel(u) =B(u,v) pour toutu?R3, o`uBest la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee `aq. D´eterminerv.

Exercice25 - SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie sup´erieure ou ´egale `a 2. Soientqune

forme quadratique non d´eg´en´er´ee surEetBsa forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee. On suppose qu"il

existe un vecteurunon nul deEtel queq(u) = 0.

1. Montrer qu"il existe un vecteur deEtel queB(u,v) = 1.

2. Soitv?Etel queB(u,v) = 1. Montrer qu"il existe un nombre r´eelλtel que l"on aitB(u,v+λu) = 1

etq(v+λu) = 0.

3. Soitv?Etel queB(u,v) = 1 etq(v) = 0.

(a) Montrer que les vecteursuetvsont lin´eairement ind´ependants. (b) SoitPle plan deEengendr´e paruetv. Montrer queE=P?P?.

Exercice26 - On rappelle que latraced"une matrice carr´ee est la somme de ses coefficients diagonaux.

SoitE=Mn(R) l"espace vectoriel des matrices carr´ees r´eelles de taillen. On d´efinitf:E×E→Rpar

f(X,Y) = Tr(XY).

1. Montrer quefest une forme bilin´eaire sym´etrique surE.

2. On suppose d´esormais quen= 2. On pose :

A

1=?1 0

0 0? , A

2=?0 0

0 1? , A

3=?0 1

1 0? , A

4=?0 1

-1 0? Montrer que (A1,A2,A3,A4) est une base deEet d´eterminer la matrice defdans cette base. 5

3. On revient au cas g´en´eral : on noteA(resp.S) le sous-espace vectoriel form´e des matrices anti-

sym´etriques (resp. sym´etriques ). Montrer queA?=Set queS?=A. Exercice27 - SoitEun espace vectoriel surKetQ(E) l"ensemble des formes quadratiques surE.

1. Soient?? L(E) etq? Q(E).Montrer queq◦?? Q(E). On suppose que dans une baseBdeE,?

est repr´esent´e par la matriceBetqpar la matriceA. Quelle est la matrice deq◦?dans la base

B?

2. Soientq,q?? Q(E)2. On dit queq?est´equivalente`aqs"il existe?? L(E) tel queq?=q◦?.

Montrer que pour toutes formes quadratiquesq1,q2,q3dansQ(E), on ales propri´et´es suivantes : (a)q1est ´equivalente `a elle-mˆeme; (b) Siq1est ´equivalente `aq2, alorsq2est ´equivalente `aq1; (c) Siq1est ´equivalente `aq2etq2est ´equivalente `aq3, alorsq1est ´equivalente `aq3.

3. On suppose queK=Cet queE=C2. Montrer que toute forme quadratique surEest ´equivalente

`a l"une des trois formes suivantes; q

0(x,y) = 0, q1(x,y) =x2, q2(x,y) =x2+y2.

4. On suppose queK=Ret queE=R2. Montrer que toute forme quadratique surEest ´equivalente

`a l"une des six formes suivantes; q

0= 0, q1,+=x2, q1,-=-x2, q2,+=x2+y2, q2,-=-x2-y2, q2=x2-y2.

Exercice28 - SoitE=M2(R) l"espace vectoriel des matrices r´eelles 2×2. On consid`ere l"application

q:E→Rd´efinie parq(A) = detA.

1. Montrer quequne forme quadratique surEet donner sa forme polaire.

2. D´eterminer le cˆone isotrope deqainsi que sa signature et son rang.

3. D´eterminer une base orthogonale pourq.

4. SoitFl"ensemble des matrices de trace nulle. Trouver l"orthogonal deF.

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