[PDF] Objectifs dapprentissage La notation fractionnaire revient à diviser

View - Download Objectifs dapprentissage

Previous PDF

Next PDF

1

Formats numériques et effets de

quantisation

Objectifs d'apprentissage

Notation des nombres en virgule fixe vs. virgule flottante

Format de notation en virgule fixe

Binaire non signé

Binaire signé

Binaire en complément de 2

Format Q

Représentation en virgule flottante

Effets de longueur de mot dans les DSP

Effet de quantisation

Effet de longueur de mot

2

Virgule fixe vs virgule flottante

Traitement en virgule fixe

Les nombres sont codés et manipulés en utilisant une séquence de bits en complément de 2.

Conséquences

Gamme dynamique plus réduite

Effort de codage plus grand à cause des effets secondaires

Traitement en virgule flottante

Les nombres sont codés en notation scientifique àbase 2 et consistent en une mantisse fractionnaire suivie d'un exposant.

Conséquences

Demande un DSP qui possède le matériel nécessaire

DSP plus coûteux

Calculs plus lents qu'en virgule fixe

Notation binaire sans signe

Permet de représenter un intervalle de valeurs

absolues allant de 0 à 2 N -1.

La valeur décimale équivalente est :

Exemples pour N=8 :

0000 0111 -> 7 0001 0000 -> 16

1000 0000 -> 128 1111 1111 -> 255

Inconvénient majeur : ne permet pas de représenter des nombres négatifs ! }1,0{, 01221
iNN bbbbbbB 0 01 12 22
21
1

22222)(bbbbbBD

N NN N 3

Notation binaire avec signe

Permet de représenter des nombres entiers compris entre -2 (N-1) +1 et +2 (N-1) -1

Le bit le plus significatif représente le signe : "1" signifie un nombre négatif, "0" signifie un nombre positif

La valeur décimale équivalente est :

Ou

Exemples pour N=8 :

0000 0111 -> 7 0001 0000 -> 16

1000 0000 -> 0 1111 1111 -> -127

Inconvénient majeur : les additions et les soustractions demandent des ressources matérielles différentes !

}1,0{, 01221
iNN bbbbbbB 0 01 12 22
2

22221)(bbbbBD

N N 0 01 12 22
2

22221)(bbbbBD

N N

Notation en complément de 2

Permet de représenter des nombres entiers compris entre -2 (N-1) et +2 (N-1) -1 Représente les nombre positifs comme précédemment et les nombres négatifs par la valeur positive à ajouter à -2 (N-1) pour atteindre 0 : 0 01 12 22
211

22222)(bbbbbBD

N NNN

Exemples pour N=8 :

•0000 0111 -> 7 •0001 0000 -> 16 •1000 0000 -> -128 •1111 1111 -> -1 4

Avantages et inconvénients de la

notation en complément de 2

La soustraction devient une addition de nombres en complément de 2 (pas besoin d unité dédiée)

La modification de la longueur d'un registre demande seulement à mettre des 0 ou des 1 dans les bits ajoutés :

Exemples pour une modification de 8 bits à 16 bits :

N= 3 : 00000011 -> 0000 0000 0000 0011

N=-3 : 1111 1101 -> 1111 1111 1111 1101

N=-7 : 1111 1001 -> 1111 1111 1111 1001

Une seule notation pour la valeur 0 (pas de +0 et -0) Inconvénient majeur : débordement arithmétiques La multiplication de deux nombres de N bits peut donner un résultat long de 2N bits L'addition de deux nombres de N bits peut donner un résultat long de N+1 bits

Solutions possibles aux problèmes

de débordement Concevoir des algorithmes de calcul qui les évitent Prévoir un mécanisme palliatif de saturation :

Exemple pour N=4 (gamme dynamique -8 à +7):

5 x 2 = 1010 (=-6) : débordement ! - > 5 x 2 = 0111 : saturation

Prévoir des registres de taille surdimensionnée pour éviter les débordements lors de calculs intermédiaires :

Exemple pour N=4 avec un registre de taille N+1=5 :

5 x 2 - 4 = 10 - 4 = 6

Le registre de 5 bits évite le débordement qu'aurait occasionné la valeur intermédiaire 10 dans un registre de 4 bits !

Utiliser une notation fractionnaire

La multiplication de deux nombres compris entre -1 et 1 donne toujours un résultat compris entre 1 et -1; pas de débordement possible !

5

Le format Q : tout est question de

virgule ! b n-1 b n-2 ...b 0 b' N-1 b' N-2 ...b' 0

Fromat NQn

-2 N b' N-1 +...+2 1 b' 1 +2 0 b' 0 +2 -1 b n-1 + 2 -2 b n-2 ...+2 -n b 0

Exemples :

1110 -> -2

3 + 2 2 + 2 1 = -2

11.10 -> -2

1 + 2 0 + 2 -1 = -2 + 1 + 0.5 = -0.5

1.110 -> -2

0 + 2 -1 + 2 -2 = -1 + 0.5 + 0.25 = -0.25 La notation fractionnaire revient à diviser la valeur entière par 2 n , où n est le nombre de bits de fraction désiré !

Exemple pour N=16 bits

La valeur codée représente des quantités différentes dépendant du format Q choisi fraction (15 bits)sentier (15 bits)s

Position de la virgule.

16Q01Q15 or Q15

14 bits restants2 bits de poids fort

2Q14

Utilisé dans

les DSP 6

Exemple d'effet sur la multiplication

La gamme dynamique pour N=4 est excédée

Le résultat est à l'interieur de

la gamme dynamique

Le format Qn

Permet de représenter des nombres compris entre -1.0 et 12 (n-1) , où n est le nombre de bits utilisé

La multiplication de deux nombres en format Qn donne toujours un résultat supérieur ou égal à -1 et inférieur à 1

L'addition de deux nombres en format Qn peut déborder !

Cas particulier : Q15

Standard dans les DSP à 16 bits

Utilisé aussi dans les DSP à 24 et 32 bits (en mode 16 bits) Revient à diviser les codes entiers emmagasinée par 2 15 pour déterminer la vraie valeur 7

Le Format Q15

Revient à diviser les codes entiers emmagasinés par 2 15

Gamme dynamique

Exemple de coder 0.2625 en format Q15 :

Par troncation : 0.2625*(2

15 -1)=8601 -> 0010 0001 0110 1001

Par arrondi : 0.2625*(2

15 -1)=8602 -> 0010 0001 0110 1010

Règles d'utilisation

Éviter les opérations avec des nombre plus grands que 1 !

2.0x(0.5x0.45)=(0.5x0.45)+0.5x0.45)

Convertir les nombres en Q15 avant les calculs

0.5 -> 0.5x32767=16384

-3276832767Format Q15-10.999FractionValeur min.Valeur max.

Opérations arthmétique en format Q15

Addition

L'addition peut déborder !

Multiplication

0.05 !16384+18022=1638 !0.5+0.55=1.050.5516384+1638=180220.5+0.05=0.55Normalisation

(Q15/32767)Q15Décimal

7373Normalisation

(x/32767)

0.457373+7373 = 14746 0.225+0.225=0.450.22516384x14745 = 2415845370.5x0.45=0.225Normalisation

(Q15/32767)Q15Décimal 8

La multiplication en format Q15

Le produit de deux nombres en format Q15 est en format Q30. Le résultat de 32 bits contient deux bits de signe avant la virgule !

Idéalement, la multiplication de NxN en format Q devraitdonner un résultat de 2N-1 bits en format Q

Dans les faits, il y a extension du signe de bit

En pratique, seuls les 15 bits les plus significatifs, plus le premier bit de signe sont retenus dans le résultat, cela revient à décaler le résultatde 15 positions à droite.

Q15Q15

X

16-bit memory

15 bits15 bitsBit de signe

bit de signe étendu Dans un système à 32 bits, il faudrait décaler le résultat de 1 bit à gauche

Format en virgule flottante

Deux représentations sont possibles

Précision simple

Précision double

Le standard IEEE 754 précise les format et gère les cas particuliers 9

Format en précision simple

s : signe (bit 31) exp : exposant (bits 23 à 30) frac : mantisse (bits 0 à 22)

Maximum : Minimum :

Équivalent décimal

sexpfrac31 30 23 22 0

frac s .121 )127(exp 38
104.3
38

10175.1

X=(-2+0.f) x 2

exp s=1X=1.f x 2 exp s=0

Format en précision double

exp : exposant (bits 20 à 30) frac : mantisse (bits 0 à 31 du premier mot, plus 0 à 19 du second)

Maximum : Minimum :

sexpfracfrac31 30 20 19 0 31 0

frac s .121 )1023(exp 308
107.1
308
102.2
10

Exemples de nombres en virgule flottante

Précision simple :

1=1x2 0

15=1.875x2

3 -3=-1.5x2 1 =(-2+0.5)x2 1

Précision double

4=1x2 2

31 30 23 22 0

0-1270

31 30 23 22 0

0.875-1240

31 30 23 22 0

0.5-1261

3130 23 22 0

00-10210

31 0

Le Format IEEE 754

Définit la valeur d'un nombre exprimé en virgule flottante selon 5 cas :

Si exp = 255 et frac0, alors x = NaN

Si exp = 255 et frac = 0, alors x = (-1)

s x

Si 0 < exp < 255, alors x = (-1)

s x2 exp-127 (1.frac)

Si exp = 0 et frac0, alors x = (-1)

s x2 -126 (0.frac)

Si exp = 0 et frac = 0, alors x = (-1)

s x0 Les max et min en précision simple sont définis par ...)999.1(2)1(104.3 )127254(038 ...)999.0(2)1(10175.1

126038

11

Virgule fixe vs flottante

Plus cherMoins cherCoût du système

Plus cherMoins cherCoût du designPlus demandantMoins demandantConsommation de puissance Plus cherMoins cherCoût du DSPMoins rapidePlus rapideRapidité de calcul Plus facilePlus difficileFacilité de programmation Plus efficaceMoins efficaceEfficacité de compilation

Moins grandPlus grandDélai de mise en marchéComparableComparableRésolutionPlus grandePlus petiteGamme dynamiqueVirgule flottanteVirgule fixeCharactéristique

Résolution de quantisation

Dépend du nombre de bits

V ref : Tension de référence n : longueur de mot en bits

Bruit de quantisation

Dépend de Q

Effet de quantisation

1 2 nref VQ (a) Conversion de tension continu à discret(b) Bruit de quantisation correspondant Q 12

Bruit de quantisation

On peut modeler le bruit de quantisation par un

signal aléatoire q(t) uniformément réparti entre

La puissance du bruit est alors

Et le rapport signal-sur-bruit pour

un signal x(t) donné est :

2Qe2Qt

nref q VQtqE 22
2 22

2312)]([

2 x 2 q2 x 10 Q

Output

Input )(tq )(tq e

Bruit de quantisation

Pour un signal sinusoïdal d'amplitude 1, et V

ref normalisé à 1, la puissance est ½ et le rapport signal-sur bruit est

Si on suppose un signal gaussien avec =0 et

on a Dans les deux cas, l'ajout d'un bit de résolution augmente le rapport de 6dB

Multiplier le signal par modifie sa variance à

Le rapport signal-sur-bruit devient :

8.16nSNR(dB)

22
x

Į20logK20log16.86bSNR

1010A/D

K20log16.86n(dB)SNR

10A/D

K20log16.86n(dB)SNR

10A/D xref KV 13

Effet de longueur de mots

Considérer un signal continu converti par un CAN de n bits :

Si les valeurs discrètes obtenues sont emmagasinées dans une mémoire de M bits, M Les b-M bits de poids faible de chaque mot sont perdus. La gamme d'amplitudes couverte par l'erreur de troncation, , est donnée par L'erreur se répercute sur les calculs subséquents bM t 22||0
tquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

[PDF] écriture décimale d'une puissance de 10

[PDF] the runaway (1958) norman rockwell analysis

[PDF] ruby bridges

[PDF] norme apa mise en page

[PDF] rayon de la terre

[PDF] produit de deux vecteurs

[PDF] produit vectoriel exercice

[PDF] projection d'un vecteur sur un autre

[PDF] forme trigonométrique d'un nombre complexe applications capes

[PDF] l'influence sociale en psychologie

[PDF] non conformité définition iso 9001

[PDF] qu'est ce que la psychologie sociale

[PDF] psychologie sociale cours licence 1

[PDF] cours d introduction psychologie sociale

[PDF] psychologie sociale cours et exercices pdf