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Solutions Exercice 1 (a) g(x) = 1 1 5 sin(4x);x2R Montrons que gest contractante sur R on a : g0(x) = 4 5 cos(4x) et jg0(x)j 4 5; donc d'après le cours gest contractante de rapport de contraction inférieur ou égal à 4 5 (b) g(x) = 2+ 1 2 jxj;x2[ 1;1] Soient x;y2[ 1;1] montrons que jg(x) g(y)j 1 2 jx yjet le rapport de contraction est
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Table des matières1 Résolution numérique de systèmes linéairesAX=B51.1 Méthodes directes de résolution de AX=B . . . . . . . . . . . . . . .. 5
1.1.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Méthode de Gauss(avec et sans pivot) . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Factorisation de Choleski (matrice symétrique) . . . .. . . . . 13
1.1.5 Factorisation de Householder (matrice unitaire ) . . .. . . . . 14
1.2 Méthodes indirectes de résolution de AX=B . . . . . . . . . . . . .. . 15
1.2.1 Quelques rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Méthodes classiques(Jacobi, Gauss Seidel, Relaxation) . . . . 15
1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Approximations des solutions de l"équationf(x) =022
2.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Méthode de Newton : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Méthode de Newton modifiée : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Méthode de dichotomie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Méthode de fausse position ( Regula Falsi) : . . . . . . . . . . . .. . 31
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Inroduction à l"interpolation36
3.1 Rappel et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Interpolant de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Interpolant de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Existence et Unicité de l"interpolant . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 41
3.4.1 Interpolation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Erreur d"interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
14 Intégration numérique46
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.1 Approximation par des rectangles à gauche . . . . . . . . . .. 48
4.2.2 Approximation par des rectangles à droite . . . . . . . . . .. 49
4.2.3 Approximation par des rectangles médians . . . . . . . . . .. 50
4.2.4 Approximations par des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.5 Formule de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Interpolation et Erreur d"intégration numérique . . . . .. . . . . . . 53
4.3.1 Interpolation linèaire et la formule du trapèze : . . . .. . . . . 53
4.3.2 Formule du trapèze composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.3 Erreur de la formule de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Analyse numérique des équations differentielles ordinaires (e.d.o) 56
5.1 Rappels sur les équations differentielles ordinaires (e.d.o) . . . . . . 56
5.2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Notions de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Systèmed"équationsauxdifferenceslinéaires aveccoéfficientsconstants 60
5.5 Méthodes numériques pour les problèmes de condition initiale . . . 61
5.5.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5.2 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5.4 Méthode d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5.5 Méthodes de Taylor dans le cas scalaire . . . . . . . . . . . . . 66
5.5.6 Méthodes de Runge-Kutta (R.K) dans le cas scalaire . . . . . .67
5.5.7 Méthodes de Runge-Kutta explicites . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Examens77
6.1 F.S.O Session ordinaire 2012-2013 (Durée : 1h30) . . . . . .. . . . . . 77
6.2 F.S.O Session Rattrapage 2012-2013 (Durée : 1h30) . . . . .. . . . . . 79
6.3 F.S.O Session ordinaire 2011-2012 (Durée : 1h30) . . . . . .. . . . . . 81
6.4 F.S.O Session de rattrapage 2011-2012 (Durée : 1h30) . . .. . . . . . . 83
6.5 F.S.O Session ordinaire 2010-2011 (Durée :1h30) . . . . . .. . . . . . . 85
6.6 F.S.O Session Rattrapage 2010-2011 (Durée : 1h30) . . . . .. . . . . . 87
6.7 F.S.O Examen 2009-2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.8 F.S.O Session ordinaire 2008/2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 91
26.9 F.S.O Session rattrapage 2008-2009 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 93
6.10 F.S.O Session ordinaire 2007-2008(Durée : 1h30) . . . . .. . . . . . . . 94
6.11 F.S.O Examen blanc 2007-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
6.12 F.S.O Devoir à faire chez soi 2007-2008 . . . . . . . . . . . . . .. . . . 98
6.13 F.S.O Session ordinaire Janvier 2003 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 99
3Table des figures
2.1la solution estx=1.3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2f(1).f(2)<0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3x=2.7133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1Interpolation de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2Interpolation de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1 Approximation par des rectangles à gauche . . . . . . . . . . . .. . . 49
4.2 Approximation par des rectangles à droite . . . . . . . . . . . .. . . . 50
4.3 Approximation par des rectangles médians . . . . . . . . . . . .. . . 51
4 Chapitre 1Résolution numérique de systèmeslinéairesAX=B1.1 Méthodes directes de résolution de AX=B
1.1.1 Exemples
1. Résoudre(S):?
x1-x2=0L1
x1+x2=2L2
Par substitution
L1→x1=x2
L2→2x1=2→x1=1→x2=x1=1
Par combinaison de lignes
L1→x1-x2=0
LPar Inversion de la matrice
(S)? 1-11 1? ?
x 1 x 2? 0 2? AX=B detA=2;A-1=1 detAt comA=12? 1 1 -1 1?SiA-1existe alorsX=A-1B
x 1 x 2? =(((1 212-1
212)))
0 2? 1 1? par méthode de Cramer 5 +13x2+5x3+4x4=0L2 -2x3+5x4=8L37x4=14L4
(S)((((((4 15 3-170 13 5 4
0 0-2 5
0 0 0 7))))))
x 1 x 2 x3 x4)))))) =((((((-18 0 814))))))
Résolution par remontée ( en commençant parx4) L4→x4=14
7=2 L3→x3=(8-5×2)
-2=1 L2→x2=(0-4×2-5×1)
13=-1 L1→x1=(-18+17×2-3×1+15×1)
4=73. Système triangulaire : cas général
ST11x1+u12x2+···+u1nxn=b1L1
u22x2+···+u2nxn=b2L2...
u x 1 x 2 x n)))))) =((((((b 1 b 2 b n))))))On suppose queukk?=0k=1,···,n
x n=bn unn x n-1= (bn-1-unnbn)/un-1n-1 x i= (bi-∑j=n j=i+1uijbj)/uiii=n-1,....1Algorithme de résolution pourUX=B
x n=bn unnPouri=n-1 à 1 x i=biPourj=i+1 àn
x i=xi-uijxj Fin j Fin iRemarques 1.1.1.Remarques :
1. La matrice U est dite triangulaire supérieure. Elle est inversible si tous les
termes diagonaux sont non nuls et detU=u11?u22? ··· ?unn 62. La matrice triangulaire inférieure se traite de façon similaire
3. le nombre d"opérations nécéssaires est :
n(n-1)1.1.2 Méthode de Gauss(avec et sans pivot)
Elle consisteàramenerunsystèmelinéaire dela formeAX=B(Aavec matrice pleine) à un système de la formeUX=Dpuis à résoudre ce dernier.Exemple 1.1.1.Résoudre
(S?):?????3x1+5x2+2x3=8L10x1+8x2+2x3=-7L2
6x1+2x2+8x3=26L3
Etape1:
?3x1+5x2+2x3=8L(1) 1=L10+8x2+2x3=-7L(1)
2=L20-8x2+4x3=10L(1)
3=L3-2L1?????
Etape2:
?3x1+5x2+2x3=8L(1) 1=L1quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] analyse numérique exercices et problèmes corrigés
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