Analyse Numérique - Exercices Corrigés
de l'itération dans l'intervalle de convergence puis trouver x limite de la suite. Donner l'ordre de la méthode. Exercice 6 On veut calculer les solutions de l
Analyse Numérique
et les exercices. 1.2.2 Perte de chi res signi catifs. Pour faciliter la compréhension nous nous placerons dans l'environnement rassurant de la base 10
Exercices corrigés
enseignant d'analyse numérique pour lui poser une question. Il n'y a donc qu'une seule équation pour relier les variables x1 et x2 d'où l'infinité de ...
ANALYSE NUMERIQUE Mazen SAAD
solutions sont les couples (u P) avec. P = (kπ)2
Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours exercices et examens
1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 2 Approximations des solutions de l'équation f(x) = 0. 22. 2.1
Analyse Numérique
le problème en un grand nombre de micro-problèmes puis de superposer les solutions de ces micro- exercice 82 avec une démonstration différente de celle qui ...
Exercices Corrigés - Analyse numérique et optimisation Une
27 jan. 2011 Correction. Dans un premier temps nous allons vérifier formellement que l'ex- pression de θ(t
Exercices et problèmes dAnalyse numérique avec Matlab
solutions approchées sont très différents quand i devient grand avec n suffisamment grand. 2. Les solutions de y (t) = −b2y(t) forment un sous-espace
Chapitre 1 : Introduction à LAnalyse Numérique
Utiliser une approximation numérique de la solution ! Page 5. 5/18. Quelques exemples. Calculer les racines du polynôme p(x) = ax2 + bx + c. Page 6. 6/18.
Université Aix Marseille Licence de mathématiques Cours dAnalyse
Schatzman Analyse numérique
Analyse Numérique
1.5 Exercices du chapitre 1 . Un des buts de l'analyse numérique consiste ... Les zéros de f2 sont exactement les solutions de (2.2). D'autre.
ANALYSE NUMERIQUE Mazen SAAD
Devoir surveillé d'Analyse Numérique (2010) et son corrigé. Exercice 1. ... (exacte ou approchée) de la solution d'une équation ou d'un syst`eme ...
M33 Analyse numérique
On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. Ceux-ci de difficulté variée
Université Aix Marseille Licence de mathématiques Cours dAnalyse
17 nov. 2021 M. Schatzman Analyse numérique
Analyse numérique : Résolution de systèmes linéaires
18 mars 2013 Analyse numérique (Pagora 1A). Résolution de ... Exercice introductif (correction) ... Le système précédent admet une infinité de solution.
Exercices Corrigés - Analyse numérique et optimisation Une
9 janv. 2011 d'introduction `a l'analyse numérique et l'optimisation de Grégoire Allaire [1] ... de la solution dans l' exercice précédent on montre que.
Université Aix Marseille Licence de mathématiques Cours dAnalyse
17 nov. 2021 M. Schatzman Analyse numérique
Analyse Numérique 0 0
Les uii étant non nuls l'inconnue x solution du syst`eme linéaire (1.3) est donnée par On revient sur la premi`ere matrice donnée dans l'exercice 2 :.
Exercices corrigés
Analyse numérique. 1ère année. Exercices corrigés. NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durant les séances de cours.
Analyse Numérique
Ce document propose un recueil d'exercices corrigés d'analyse numérique. Le mathématique de l'analyse numérique consiste à modéliser une solution à un.
Analyse Numérique - univ-toulousefr
sance raisonnable de l’analyse des fonctions d’une variable réelle disons du théorème des valeurs intermédiaires jusqu’à la formule de Taylor (qui sera rappelée) et une cer-taine familiarité avec les bases de l’algèbre linéaire (systèmes linéaires applications linéaires matrices et déterminants)
Analyse Numérique
Solutions Exercice 1 (a) g(x) = 1 1 5 sin(4x);x2R Montrons que gest contractante sur R on a : g0(x) = 4 5 cos(4x) et jg0(x)j 4 5; donc d'après le cours gest contractante de rapport de contraction inférieur ou égal à 4 5 (b) g(x) = 2+ 1 2 jxj;x2[ 1;1] Soient x;y2[ 1;1] montrons que jg(x) g(y)j 1 2 jx yjet le rapport de contraction est
Analyse numérique :
Résolution de systèmes linéaires
Pagora 1A
Chapitre 5
18 mars 2013
Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 1 / 31 Plan1Qu"est ce qu"un système linéaire?
2Existence et unicité des solutions
3Calcul de solution
Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 2 / 31Qu"est ce qu"un système linéaire?
Plan1Qu"est ce qu"un système linéaire?
2Existence et unicité des solutions
3Calcul de solution
Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 3 / 31Qu"est ce qu"un système linéaire?
Système d"équations linéaires
Un système d"équations linéaires est un ensemble d"équations portant sur les mêmes inconnues. En général, un système deméquations linéaires àninconnues peut êtreécrit sous la forme suivante :
8>>>>>><
>>>>>:a1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxn=b1
a2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxn=b2...
a m;1x1+am;2x2+:::+am;nxn=bmoùx1,x2,:::,xnsont les inconnues.Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 4 / 31
Qu"est ce qu"un système linéaire?
Forme matricielle d"un système linéaire
Un système d"équations linéaires peut aussi s"écrire sous la forme matricielle Ax=b oùAest une matrice de taillemn,xest un vecteur de taillenetbest un vecteur de taillem. A=0 B BB@a1;1a1;2:::a1;n
a2;1a2;2:::a2;n............
a m;1am;2:::am;n1 CCCAx=0
B BB@x 1 x 2... x n1 CCCAb=0
B BB@b 1 b 2... b m1 C CCAAnalyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 5 / 31Existence et unicité des solutions
Plan1Qu"est ce qu"un système linéaire?
2Existence et unicité des solutions
3Calcul de solution
Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 6 / 31Existence et unicité des solutions
Cas possibles pour un système linéaire
Soit le système linéaire
Ax=bavec :xvecteur contenant lesnvariablesréellesrechérchées.Amatrice de taillemncontenant des coefficientsréels.bvecteur contenantmréels.
Seulement 3 cas sont possibles pour ce système linéaire :Le système n"a pas de solutionLe système a une solution unique
Le système a une infinité de solutions
Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 7 / 31Existence et unicité des solutions
Exercice introductif
A votre avis, les systèmes suivants ont-ils une solution unique, une infinité de solution ou pas de solution?2x1+6x2=4
4x112x2=8(1)
x1+3x2=72x1x2=0(2)
4x13x2=14
16x112x2=2(3)Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 8 / 31
Existence et unicité des solutions
Exercice introductif (correction)
A votre avis, les systèmes suivants ont-ils une solution unique, une infinité de solution ou pas de solution?2x1+6x2=4
4x112x2=8
Le système précédent admet une infinité de solution. x1+3x2=72x1x2=0
Le système précédent admet une unique solution solution.4x13x2=14
16x112x2=2
Le système précédent n"admet pas de solution. Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 9 / 31Existence et unicité des solutions
Un peu de théorie (1)
Définition: Lerangd"une matriceA, noté rg(A)est le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants. Remarque :SiAest de taillemn, alors rg(A)min(m;n).Exercice: Quel est le rang de cette matrice?
A=0 BB@1 4 6 5
2 7 3 1
4 10 7 2
0 5 8 91
C CAAnalyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 10 / 31Existence et unicité des solutions
Correction
Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 11 / 31Existence et unicité des solutions
Un peu de théorie (1)
Exercice: Quel est le rang de cette matrice?
A=0 BB@1 4 6 5
2 7 3 1
4 10 7 2
0 5 8 91
C CA Correction: Notonsli,i=1;:::;4 les lignes de la matriceA. Au moins une des lignes est non nulle, donc rg(A)1. l1etl2sont linéairement indépendants. En effet, il n"existe pas de réeltel
quel2=l1, donc rg(A)2. l1,l2etl4sont linéairement indépendants. En effet, il n"existe pas de réels
ettel quel4=l1+l2, donc rg(A)3. l3=2l1+l2l4,l3n"est pas linéairement indépendante del1,l2etl4d"où
rg(A) =3Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 12 / 31
Existence et unicité des solutions
Un peu de théorie (2)
Théorème de Rouché-Fontené:
Soit le système suivantAx=bavecxvecteur contenant lesnvariablesréellesrechérchées.Amatrice de taillemncontenant des coefficientsréels.bvecteur contenantmréels.
Ce système admet une solutionsi et seulement si rg(A) =rg([Ajb]) De plus, si rg(A) =n, alors le système admet une unique solution. Sinon, le système admet une infinité de solutions. Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 13 / 31Existence et unicité des solutions
Un peu de théorie (3)
Décomposition en valeurs singulières:
SoitMune matrice de taillemndont les coefficients sont desréels.Alors, il existe une factorisation de la forme :
M=UVTavec :Umatriceorthogonalede taillemm(UUT=UTU=Im)Vmatriceorthogonalede taillenn(VVT=VTV=In)matrice de taillemndont les termes diagnonaux (appelés
valeurs singulières) sont positifs ou nuls et tous les autres sont nuls. Remarque: La décomposition en valeur singulière de la matriceMn"est pas forcément unique. Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 14 / 31Existence et unicité des solutions
Un peu de théorie (4)
La matriceest de la forme
0 B BBB@10:::0 0:::0
02...............
.........0.........0:::0m0:::01
CCCCAou0
BBBBBBBBBBB@
10:::0
02......
.........00:::0n
0::: :::0
0::: :::01
CCCCCCCCCCCA
En général, on range lesi0 (i=1;:::;min(m;n)) par ordre décroissant.Proposition :
rg(M) =nombre de valeurs singulières>0Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 15 / 31
Calcul de solution
Plan1Qu"est ce qu"un système linéaire?
2Existence et unicité des solutions
3Calcul de solution
Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 16 / 31Calcul de solution
Avec la décomposition en valeurs singulières Dans toute la suite, on admet que le système linéaire Ax=b admet une unique solution. Cela implique que :rg(A) =navecAmatrice de taillemnmn La décomposition en valeurs singulière deAn"est pas toujours unique, les matricesUetVpeuvent ne pas être uniques mais la matriceavec les valeurs singulières triées dans l"ordre décroissant sur la diagonale est elle unique. Cependant, elle permet de résoudre le système linéaire.Si on a la décompositionA=UVT
on ax=V1UTbAnalyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 17 / 31
Calcul de solution
"Inverse" de la matrice Dans le cas où le système linéaireAx=badmet une unique solution. Les valeurs singulièresisont strictement positives (i=1;:::;n) et =0 BBBBBBBBBBB@
10:::0
02......
.........00:::0n
0::: :::0
0::: :::01
CCCCCCCCCCCA
1=0 B BBB@110:::0 0:::0
0 12...............
.........0.........0:::01
n0:::01 C CCCAAnalyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 18 / 31Calcul de solution
Exercice
Soit le système à résoudre suivant
8< :3x1+2x2=122x1+3x2=13
2x12x2=2
On a l"égalité suivante
0 @3 2 2 3 221A =0 B B@ p2 2 p2 6 23
p2 2 p2 6 23
0 2p2 3 13 1 C CA0 @5 0 0 3 0 01 A p2 2 p2 2 p2 2 p2 2 Vérifier que l"égalité précédente est une décomposition en valeurs singulières et l"utiliser pour montrer que2 3 est l"unique solution duquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48
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